1、高中數學數學思想方法匯總目錄（一）對高考中數學思想方法教學的思考.第2頁（二）轉化與化歸的思想方法.第3頁（三）函數與方程的思想方法.第22頁（四）數形結合的思想方法.第27頁（五）分類整合的思想方法.第36頁（六）必然與或然的思想方法第61頁（一） 對高考中的思想方法的思考一、高考復習中數學思想方法教學的必要性。高考試題重在考查對知識理解的準確性、深刻性，重在考查知識的綜合靈活運用。它著眼于知識點新穎巧妙的組合，試題新而不偏，活而不過難；著眼于對數學思想方法、數學能力的考查。高考試題這種積極導向，決定了我們在教學中必須以數學思想指導知識、方法的運用，整體把握各部分知識的內在聯系。只有加強數學

2、思想方法的教學，優化學生的思維，全面提高數學能力，才能提高學生解題水平和應試能力。高考復習有別于新知識的教學。它是在學生基本掌握了中學數學知識體系、具備了一定的解題經驗的基礎上的復課數學，也是在學生基本認識了各種數學基本方法、思維方法及數學思想的基礎上的復課數學。其目的在于深化學生對基礎知識的理解，完善學生的知識結構，在綜合性強的練習中進一步形成基本技能，優化思維品質，使學生在多次的練習中充分運用數學思想方法，提高數學能力。高考復習是學生發展數學思想，熟練掌握數學方法理想的難得的教學過程。二、高考復習中數學思想方法教學的原則。、把知識的復習與思想方法的培養同時納入教學目的原則。各章應有明確的數

3、學思想方法的教學目標，教案中要精心設計思想方法的教學過程。、寓思想方法的教學于完善學生的知識結構之中、于教學問題的解決之中的原則。知識是思想方法的載體，數學問題是在數學思想的指導下，運用知識、方法“加工”的對象。皮之不存，毛將焉附？離開具體的數學活動的思想方法的教學是不可能的。、適當章節的強化訓練與貫通復課全程的反復運用相結合的原則。數學思想方法與數學知識的共存性、數學思想對數學活動的指導作用、被認知的思想方法只有在反復的運用中才能被真正掌握這一教學規律，都決定了成功的思想方法和教學只能是有意識的貫通復課全程的教學。特別是有廣泛應用性的數學思想的教學更是如此。如數形結合的思想，在數學的幾乎全部

4、的知識中，處處以數學對象的直觀表象及深刻精確的數量表達這兩方面給人以啟迪，為問題的解決提供簡捷明快的途徑。它的運用，往往展現出“柳暗花明又一村”般的數形和諧完美結合的境地。在某種思想方法應用頻繁的章節，應適當強化這種思想方法的訓練。如在數學歸納法一節，應精心設計循序漸進的組題，在問題解決中提煉并明確總結聯合運用不完全歸納法、數學歸納法解題這一思想方法，在學生能熟練運用的基礎上，通過反復運用，才能形成自覺運用的意識。三、高考復習中數學思想方法教學的途徑。、用數學思想指導基礎復習，在基礎復習中培養思想方法。基礎知識的復習中要充分展現知識形成發展過程，揭示其中蘊涵的豐富的數學思想方法。如幾何體體積公

5、式的推導體系，集公理化思想、轉化思想、等積類比思想及割補轉換方法之大成，就是這些思想方法靈活運用的完美范例。只有通過展現體積問題解決的思路分析，并同時形成系統的條理的體積公式的推導線索，才能把這些思想方法明確地呈現在學生的眼前。學生才能從中領悟到當初數學家的創造思維進程，這對激發學生的創造思維，形成數學思想，掌握數學方法的作用是不可低估的。注重知識在教學整體結構中的內在聯系，揭示思想方法在知識互相聯系、互相溝通中的紐帶作用。如函數、方程、不等式的關系，當函數值等于、大于或小于一常數時，分別可得方程，不等式，聯想函數圖象可提供方程，不等式的解的幾何意義。運用轉化、數形結合的思想，這三塊知識可相互

6、為用。注意總結建構數學知識體系中的教學思想方法，揭示思想方法對形成科學的系統的知識結構，把握知識的運用，深化對知識的理解等數學活動中指導作用。如函數圖象變換的復習中，我把散見于二次函數、反函數、正弦型函數等知識中的平移、伸縮、對稱變換，引導學生運用化曲線間的關系為對應動點之間的關系的轉化思想及求相關動點軌跡的方法統一處理，得出圖象變換的一般結論。深化學生圖象變換的認識，提高了學生解決問題的能力及觀點。、用數學思想方法指導解題練習，在問題解決中運用思想方法，提高學生自覺運用數學思想方法的意識。注意分析探求解題思路時數學思想方法的運用。解題的過程就是在數學思想的指導下，合理聯想提取相關知識，調用一

7、定數學方法加工、處理題設條件及知識，逐步縮小題設與題斷間的差異的過程。也可以說是運用化歸思想的過程，解題思想的尋求就自然是運用思想方法分析解決問題的過程。注意數學思想方法在解決典型問題中的運用。如解題中求二面角大小最常用的方法之一就是：根據已知條件，在二面角內尋找或作出過一個面內一點到另一個面上的垂線，過這點再作二面角的棱的垂線，然后連結二垂足。這樣平面角即為所得的直角三角形的一銳角。這個通法就是在化立體問題為平面問題的轉化思想的指導下求得的。其中三垂線定理在構圖中的運用，也是分析，聯想等數學思維方法運用之所得。調整思路，克服思維障礙時，注意數學思想方法的運用。通過認真觀察，以產生新的聯想；分

8、類討論，使條件確切，結論易求；化一般為特殊，化抽象為具體，使問題簡化等都值得我們一試。分析、歸納、類比等數學思維方法，數形結合、分類討論、轉化等數學思想是走出思維困境的武器與指南。用數學思想指導知識、方法的靈活運用，進行一題多解的練習，培養思維的發散性，靈活性，敏捷性；對習題靈活變通，引伸推廣，培養思維的深刻性，抽象性；組織引導對解法的簡捷性的反思評估，不斷優化思維品質，培養思維的嚴謹性，批判性。對同一數學問題的多角度的審視引發的不同聯想，是一題多解的思維本源。豐富的合理的聯想，是對知識的深刻理解，及類比、轉化、數形結合、函數與方程等數學思想運用的必然。數學方法、數學思想的自覺運用往往使我們運

9、算簡捷、推理機敏，是提高數學能力的必由之路。“授之以魚，不如授之以漁”，方法的掌握，思想的形成，才能使學生受益終生。（二）轉化與化歸的思想方法化歸與轉化的思想確是指在解決問題時，采用某種手段使之轉化，進而使問題得到解決的一種解題策略，是數學學科與其它學科相比，一個特有的數學思想方法，化歸與轉化思想的核心是把生題轉化為熟題，將復雜問題化歸為簡單問題，將較難問題化為較易問題，將未解決問題化歸為已解決問題。事實上，解題的過程就是一個縮小已知與求解的差異的過程，是求解系統趨近于目標系統的過程，是未知向熟知轉化的過程，因此每解一道題，無論是難題還是易題，都離不開化歸。例如，對于立體幾何問題，通常要轉化為

10、平面幾何問題，對于多元問題，要轉換為少元問題，對于高次函數，高次方程問題，轉化為低次問題，特別是熟悉的一次，二次問題，對于復雜的式子，通過換元轉化為簡單的式子問題等等。化歸靈活性、多樣性，無統一模式，利用動態思維，去尋找有利于問題解決的變換途徑與方法。在高考中，對化歸思想的考查，總是結合對演繹證明，運算推理，模式構建等理性思維能力的考查進行，因此可以說高考中的每一道試題，都在考查化歸意識和轉化能力。高考重視常用變換方法：一般與特殊的轉化、繁與簡的轉化、構造轉化、命題的等價轉化。1. 轉化運算例1.若動直線與函數和的圖像分別交于兩點，則的最大值為（ ）A1BCD2分析: 動直線與函數和的圖像分別

11、交于兩點, 橫坐標相同，那么就是縱坐標之差，即求最值。解: 最大值為評注:審題要審準，讀懂題意，將問題學會轉化。例2（2008湖北卷，理14）已知函數,等差數列的公差為.若,則 .分析：題目中的已知條件很容易求得，而所求的為可以轉化為等差數列的前10項之和，根據公差，可以把前10項之和轉化為用表示出來，從而求得。解：由和知，=評注：仔細分析題目，把運算進行轉化，可以大大地節省時間，提高做題的效率。本題中把等差數列的前10項之和轉化為用表示出來，比較快捷，減少計算量。2新定義運算轉化為普通運算例3（2008山東省泰安市）如圖所示的韋恩圖中，A、B是非空集合，定義集合A#B為陰影部分表示的集合若，

12、 則A#B為（ ）A BC D分析：根據圖形語言可知定義的A#B轉化為原有的運算應該是表示為，所以需要求出和，借助數軸求出并集與交集。0 1 2 x解：，則，根據新運算，得A#B=故選D答案：D評注：本題是集合中的新定義運算題，綜合考查了圖形語言、集合的描述法表示，函數的定義域和值域，以及集合的交并補的運算。解題的關鍵是由圖形語言把新定義運算轉化為原有的普通運算解出。例4（2008山東省鄆城一中）定義一種運算，令，且，則函數的最大值是（ ）A B1 C D分析：根據新定義，知要確定函數的解析式，需要比較與的大小關系，即需要求的取值范圍，另外，還要注意自變量的取值范圍，再確定的解析式，從而求出函

13、數的最大值。解：設，即，根據新定義的運算可知，（）函數的最大值是，故選A答案：A評注：解決新定義問題，首先要把定義讀懂理解透，把陌生的新內容轉化為熟悉的已知的內容，在此基礎上進一步研究熟悉的問題。3轉化函數關系例5（2008山東卷，文15）已知，則的值等于 分析：本題中的函數不是以為整體，而是以為整體給出的解析式，所以要求函數值，需要先求關于的解析式，再代入求值。解：，則評注：有些題目中往往所給的解析式不是關于的解析式，這時需要我們把解析式進行轉化，本題中先把函數進行轉化，然后進行運算。4函數與導函數之間的轉化例6（2008湖北卷，理7）若上是減函數，則的取值范圍是 （ ）A. B. C. D

14、. 分析：把已知條件函數在某區間上是單調減函數需要轉化為函數的導函數在此區間上是恒負，再分化出，轉化為函數研究最值問題解決。解：上是減函數，在上恒成立，即在上恒成立，設在上單調遞增，當時，在上恒成立，即上是減函數。故選C答案：C評注：函數的單調性通常轉化為導函數的正負判斷，而不等式恒成立又常常轉化為函數研究最值問題，本題中還要注意做題的嚴密性，等號不能丟掉。例7（2008福建卷，理12）已知函數y=f(x),y=g(x)的導函數的圖象如下圖，那么y=f(x),y=g(x)的圖象可能是（ ）分析：注意觀察導函數的圖象以及原函數的圖象，并把所得到的信息轉化為原函數的信息，加以排除選擇。解：令，則，

15、當時，由圖象知，即，是增函數，則答案，錯，當時，即，是減函數，則答案錯，故選答案：評注：對于由圖形給出的信息要從中提煉出來，并適當地用數學語言表述準確，本題中的兩個函數可以轉化為一個函數，進行構造，導函數的正負轉化為原函數的增減。5.三視圖轉化為立體圖例8（2009萊陽模擬）一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側視圖是腰長為4的兩個全等的等腰直角三角形若該幾何體的體積為V，并且可以用n這樣的幾何體拼成一個棱長為4的正方體，則V，n的值是（ ） A BC D 分析：由三視圖轉化為立體圖，再做解答。解：根據三視圖，可知此幾何體為一個如圖所示的四棱錐，其體積為，故選B 答案：B 評注：高考題注重

16、對立體幾何中的三視圖的考查，一般是給出幾何體的三視圖，讓我們還原為立體圖，然后求出一些幾何量。例9（2008山東淄博市模擬）一個幾何體的三視圖如下圖所示，其中正視圖中是邊長為的正三角形，俯視圖為正六邊形，那么該幾何體的側視圖的面積為（ ） BCDEFMNO 正視圖 側視圖 俯視圖 A B CD分析：先把三視圖還原為立體圖，再由立體圖進行解答。解：有三視圖可知，此幾何體為正六棱錐，如圖，其中正視圖為，是正三角形，則，底面邊長為1，側棱長為2，則高為，設分別為的中點，則為側視圖，側視圖的面積為，故選。答案：評注：正確對待三視圖，要會還原為立體圖，找出相應的量解出，注意對應的量不能出錯。6極坐標與參

17、數方程轉化為普通方程例10（2008南通四縣）（坐標系與參數方程）已知曲線C的極坐標方程是以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l的參數方程是：，求直線l與曲線C相交所成的弦的弦長分析：本題既有參數方程又有極坐標方程，用極坐標方程和參數方程研究弦長問題很難解決，可以轉化為普通方程求出。解：曲線C的極坐標方程是化為直角坐標方程為，即 直線l的參數方程，化為普通方程為xy1=0，曲線C的圓心（2，0）到直線l的距離為 所以直線l與曲線C相交所成的弦的弦長= 評注：研究極坐標與參數方程問題可以直接研究，也可以轉化為普通方程研究，特別是在研究直線與圓錐曲線的位置關系

18、時常常轉化為普通方程求出。7函數、方程、不等式之間的轉化例11（2009山東省濟寧市）若函數有三個不同的零點，則實數的取值范圍是A BC D分析:本題為三次函數有三個不同的零點，則函數應該有兩個極值點，一個極值為正，一個極值為負，所以要先求出其導數，再求其極值。解: 由函數有三個不同的零點,則函數有兩個極值點,且有,得,所以函數的兩個極值為和,結合圖象,應該有,故選A答案:A評注:一般地對于高次函數來說，要轉化為導函數研究問題，特別是在研究函數的單調性、最值等性質時要用導數解決。例12設函數為實數。（）已知函數在處取得極值，求的值； （）已知不等式對任意都成立，求實數的取值范圍。分析：（）中不

19、等式對任意都成立，可以轉化為的不等式在都成立，從而變為的一次函數由單調性來解答；也可以將分化出來，轉化為的不等式在恒成立，研究右邊函數的最值。解: (1)，由于函數在時取得極值，所以 即 (2) 方法一： 由題設知：對任意都成立 即對任意都成立 設 , 則對任意，為單調遞增函數 所以對任意，恒成立的充分必要條件是 即 ， 于是的取值范圍是 方法二：由題設知：對任意都成立 即對任意都成立 于是對任意都成立，即， 于是的取值范圍是評注：對于不等式恒成立問題，一般來說是要分化出參數，轉化為求右邊函數的最值問題；但有的也不容易分化，我們也可以轉換主變量，把二次函數轉化為一次函數，根據一次函數的單調性即

20、可容易完成。（湖北理）已知定義在正實數集上的函數，其中設兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同（I）用表示，并求的最大值；（II）求證：（）本小題主要考查函數、不等式和導數的應用等知識，考查綜合運用數學知識解決問題的能力解：（）設與在公共點處的切線相同，由題意，即由得：，或（舍去）即有令，則于是當，即時，；當，即時，故在為增函數，在為減函數，于是在的最大值為（）設，則故在為減函數，在為增函數，于是函數在上的最小值是故當時，有，即當時，8數列問題的轉化例13（2009萊陽高三理）若數列滿足，則稱數列為調和數列。已知數列為調和數列，且，則 。分析：根據調和數列的定義，可以看出其倒數數列符合等差數列

21、的定義，由此可以轉化，利用等差數列的定義求出前項和。解：根據調和數列的定義知：數列為調和數列，則，也就是數列為等差數列，現在數列為調和數列，則數列為等差數列，那么由，得，20答案：20評注：本題為新定義題，但也不要被表象所迷惑，通過現象看本質，轉化為我們熟悉的特殊數列等差數列進一步解答，此題中注意角色的變化，數列為調和數列，數列為等差數列是解題的關鍵。例14（2008陜西卷，文20）已知數列的首項，（）證明：數列是等比數列；（）數列的前項和分析：對于證明數列為等比數列，要按定義證明，但證明完后也提示我們下一步要用等比數列求出數列的通項公式，然后進一步判斷數列的類型，從而求出其前項和。解：（）

22、， ， ，又， 數列是以為首項，為公比的等比數列（）由（）知，即，設， 則，由得，又數列的前項和 評注：解決數列問題就要判斷是否為等差、等比數列，如果不是，那么能否構造新數列為特殊數列，注意轉換角色，把數列問題轉化為我們熟悉的特殊數列問題和研究方法解答。9平面向量、解析幾何中的化歸思想例15.（2008全國，理10）若直線通過點，則（ ）ABCD分析：點是單位圓上的點，則可以通過直線與單位圓的位置關系來轉化。，當然也可以把直線看作等式或看作向量的數量積來解答。解法一：由題意知直線與圓有交點，則.解法二：設向量，由題意知由可得答案: D評注：本題中的兩種方法都是把已知條件進行了轉化，利用化歸的思

23、想解決問題不適為捷徑，方法比較活躍，知識連接成網，這要靠我們平時積累和總結。例16.（全國，理21）設橢圓中心在坐標原點，是它的兩個頂點，直線與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點（）若，求的值；（）求四邊形面積的最大值分析：本題中涉及到的點比較多，其中都在直線上，（）中的向量要用點的坐標表示出，所以可以先設出各點的坐標，再轉化為關于的方程解出，（）中的四邊形面積可以轉化為兩個三角形的面積求出，可以都以為公共邊，也可以以為公共邊求出。DFByxAOE（）解：依題設得橢圓的方程為，直線的方程分別為，如圖，設，其中，且滿足方程，故由知，得；由在上知，得所以，化簡得，解得或（）解法一：根據點到直線

24、的距離公式和式知，點到的距離分別為，所以四邊形的面積為，當，即當時，上式取等號所以的最大值為解法二：由題設，設，由得，故四邊形的面積為，當時，上式取等號所以的最大值為評注：解析幾何中的問題常常與向量、函數、方程、不等式等問題相聯系，進行轉化解答。10.立體問題轉化為平面（向量）問題例17.（2008江蘇海頭高級中學）如圖，有一圓柱形的開口容器（下表面密封），其軸截面是邊長為2的正方形，P是BC中點，現有一只螞蟻位于外壁A處，內壁P處有一米粒，則這只螞蟻取得米粒所需經過的最短路程為_ _ 分析：研究最短距離，需要把立體圖展為平面圖，由兩點間的線段最短，求線段的長。解：把圓柱側面展開，并把里面也展

25、開，如圖所示，則這只螞蟻取得米粒所需經過的ABPDCABCDP最短路程為展開圖中的線段，則答案：評注：研究立體問題常常以平面為基準，把立體問題轉化為平面問題，把曲線問題轉化為直線問題，這是解決問題的轉化與化歸思想。例18.（2008年安徽卷，理18）如圖，在四棱錐中，底面四邊長為1的菱形，, , ,為的中點，為的中點（）證明：直線；（）求異面直線AB與MD所成角的大小； （）求點B到平面OCD的距離。分析：要證線面平行,可以在面內找的平行線,取的中點,通過線線平行證出,也可以找平面的平行平面通過面面平行證出; 異面直線AB與MD所成角可以通過平移轉化為平面角求出;而（）中點B到平面OCD的距離

26、不易找出,可以利用線轉化為點A到平面OCD的距離求出.還可以用向量法通過計算解答各題.解法一：（綜合法） （1）取OB中點E，連接ME，NE又 （2） 為異面直線與所成的角（或其補角）作連接所以 與所成角的大小為（3）點A和點B到平面OCD的距離相等，連接OP,過點A作 于點Q，又 ,線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離，所以點B到平面OCD的距離為解法二.(向量法)作于點P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標系(1)設平面OCD的法向量為,則即 取,解得(2)設與所成的角為, , 與所成角的大小為(3)設點B到平面OCD的距離為,則為在向量上的投影的絕對值, 由 , 得.所以

27、點B到平面OCD的距離為評注:立體幾何問題一般都可以用兩種方法綜合法和向量法.都要經過轉化,把立體問題轉化為平面問題,將空間問題轉化為代數運算從而證得求出.PBECDFA例19.（2008山東卷，理20）如圖，已知四棱錐，底面為菱形，平面，分別是的中點（）證明：；（）若為上的動點，與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值分析：比較容易證出,可以轉化為線面垂直證明出, （）的點為上的動點,而且與平面所成最大角不太容易找到,根據（）就要轉化為點到的距離最短,然后求出確定位置.另外,對于點的位置不確定而且比較容易建立直角坐標系時,用坐標計算比較簡單。解:（）證明：由四邊形為菱形，可得為正三角形因

28、為為的中點，所以又，因此PBECDFAHOS因為平面，平面，所以而平面，平面且，所以平面又平面，所以（）解：設，為上任意一點，連接由（）知平面，則為與平面所成的角在中，所以當最短時，最大，即當時，最大此時，因此又，所以，所以解法一：因為平面，平面，所以平面平面過作于，則平面，過作于，連接，則為二面角的平面角，在中，又是的中點，在中，又，在中，即所求二面角的余弦值為解法二：由（）知兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，又分別為的中點，所以PBECDFAyzx，所以設平面的一法向量為，則因此取，則，因為，所以平面，故為平面的一法向量又，所以因為二面角為銳角，所以所求二面角的余弦值為

29、評注：本題為探索性問題，難度比較大。特別是在使用線面角時不易找出。這就需要我們耐心分析，仔細體會前后問之間的關系，能否打通思路，把問題進行適當地轉化，做到立體問題平面化，幾何問題代數化，利用化歸思想解答問題。11.預測題（1）.（2008廣東）已知兩不等的實數滿足則過點和的直線與單位圓的位置關系為（ ）A.相切 B.相離 C.相交 D.不確定分析:本題給出的是兩個方程,所研究的是直線與圓的位置關系,需要兩點確定的直線方程,通過觀察就可以把已知的方程轉化為所求直線的方程,從而判斷直線與圓的位置關系.解:因為 實數滿足,所以點和的坐標都適合直線,即兩點確定的直線方程為,原點到此直線的距離為,所以直

30、線與圓相切.故選A答案:A評注:不要直接由兩點式寫方程,要注意觀察并把已知條件轉化,減少計算量.（2）.（08屆莆田四中）已知是內一點,且若、的面積分別為、, 則的最小值是（ ） A9 B. 16 C. 18 D. 20分析:已知條件為向量的數量積與夾角,可以得到兩邊之積,再由兩邊與夾角求得的面積,另一方面, 的面積又為、的面積之和,從而實現了由向量向代數式的轉化.然后用均值不等式求得最值.解:,又因為的面積為、的面積之和,得當且僅當時取等號.故選C.答案:C評注:本題完成了由向量向函數方程之間的轉化,進而又轉化為用均值不等式求最值.做題時要注意條件的聯系性和化歸的數學思想.（3）（寧夏銀川一

31、中）2008052524設函數 項和是2008052524（ ）A B C D分析:把題目中的函數求出,得到解析式,從而轉化為數列的通項與前項的和.解: 由函數知,所以, 所以,項和為=,故選C.答案:C評注:本題中給出的已知 條件是函數與導函數,由導函數確定原函數,從而求得數列的通項公式,然后求出前項的和.（4）（江蘇省鹽城中學）求直線（）被曲線所截的弦長.分析:本題給出的是參數方程和極坐標方程,要求弦長,就要轉化為普通方程.解:將方程,分別化為普通方程：，評注:對于參數方程和極坐標方程的方程,可以直接求解,也可以轉化為普通方程求解出.（5）.（原創）設函數,若,則點所形成的區域的面積為 (

32、 )A. B. C. D. 分析:首先分析由所確定的平面區域,再根據區域的形狀求其面積.解:由,得,即,所表示的區域為以為圓心,以為半徑的圓面.由,得,即,所表示的區域為直線的左下方.故點所形成的區域如圖陰影部分所示.到直線的距離為,又,故,對應的圓心角角為,扇形ABC的面積為;又的面積為,故陰影部分的面積為.即點所形成的區域的面積為.選D.AOxyBC評注:考查圓的標準方程,點到直線的距離,一元二次方程表示平面區域,扇形的面積以及函數的表示等知識.考查運算能力和化歸思想.函數,不等式的內容都是比較容易與其它知識相結合的知識點,本題在形式上是函數和不等式問題,但剖析之后可以發現,其實質是圓與線

33、性規劃相結合的問題.高考中,知識的交匯試題是主流,很多題目都是以一個知識點為載體考查另一個知識點,解題時一定要善于分析,透過表面看透問題的實質,從而合理轉化,尋求問題的解決途徑.（6）.（原創）已知過點（0,3）的直線與函數的導函數的圖象交于兩點, ,且,其中（1）求直線的方程,并求的長.（2）問若，問實數m取何值時，使得的圖象恒在的圖象的上方？分析:根據求導公式,將函數問題轉化為拋物線與直線的位置關系問題,通過解方程組,由韋達定理和向量的數量積坐標運算,利用待定系數法求解.解: 函數的導函數為,其圖象為開口向上的拋物線, 因為直線過點（0,3）, 與拋物線交于兩點,所以直線的斜率存在,設為,

34、則直線的方程為,解方程組消去得：，方程組有兩解，設，則，,，又 ，即，即或，當時，直線的方程為，此時，=.當時，直線的方程為，此時，=.（2）設，定義域為則，令，得，當時，為減函數；當時，為增函數；當時，最小，最小值為，要使得的圖象恒在的圖象的上方，需使最小值>0,即評注:考查函數求導,利用導數求函數的最值, 向量的數量積, 考查直線與圓錐曲線的位置關系等基礎知識,考查利用韋達定理計算弦長等綜合運算求解能力.本題通過函數求導,把問題轉化為研究直線與圓錐曲線的位置關系,并把兩曲線的位置關系的討論轉化為利用導數研究函數的最值的綜合性題目.做題時要仔細審題,逐步翻譯,求解直線或圓錐曲線的方程時

35、往往要先設后求,利用待定系數法和解方程組法由韋達定理解答.在解答問題時要注意直線的斜率是否存在,解方程組時,判別式是否大于0,函數的定義域等這些細節問題.高考資源網（三）函數與方程的思想方法一、知識整合函數與方程是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯系，方程f(x)0的解就是函數yf(x)的圖像與x軸的交點的橫坐標，函數yf(x)也可以看作二元方程f(x)-y0通過方程進行研究。就中學數學而言，函數思想在解題中的應用主要表現在兩個方面：一是借助有關初等函數的性質，解有關求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數的取值范圍等問題：二是在問題的研究中，通過建立函數關系式或構造中間函數，把所研究的問

36、題轉化為討論函數的有關性質，達到化難為易，化繁為簡的目的.許多有關方程的問題可以用函數的方法解決，反之，許多函數問題也可以用方程的方法來解決。函數與方程的思想是中學數學的基本思想，也是歷年高考的重點。1函數的思想，是用運動和變化的觀點，分析和研究數學中的數量關系，建立函數關系或構造函數，運用函數的圖像和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決。函數思想是對函數概念的本質認識，用于指導解題就是善于利用函數知識或函數觀點觀察、分析和解決問題。2方程的思想，就是分析數學問題中變量間的等量關系，建立方程或方程組，或者構造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得解決。

37、方程的數學是對方程概念的本質認識，用于指導解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察處理問題。方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關系.3(1) 函數和方程是密切相關的，對于函數yf(x)，當y0時，就轉化為方程f(x)0，也可以把函數式yf(x)看做二元方程yf(x)0。函數問題（例如求反函數，求函數的值域等）可以轉化為方程問題來求解，方程問題也可以轉化為函數問題來求解，如解方程f(x)0，就是求函數yf(x)的零點。(2) 函數與不等式也可以相互轉化，對于函數yf(x)，當y>0時，就轉化為不等式f(x)>0，借助于函數圖像與性質解決有關問題，而研究函數的性質，也離不開解不等式。(

38、3) 數列的通項或前n項和是自變量為正整數的函數，用函數的觀點處理數列問題十分重要。(4) 函數f(x)（nN*）與二項式定理是密切相關的，利用這個函數用賦值法和比較系數法可以解決很多二項式定理的問題。(5) 解析幾何中的許多問題，例如直線和二次曲線的位置關系問題，需要通過解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函數的有關理論。(6) 立體幾何中有關線段、角、面積、體積的計算，經常需要運用布列方程或建立函數表達式的方法加以解決。二、例題解析運用函數與方程、表達式相互轉化的觀點解決函數、方程、表達式問題。例1 已知，（a、b、cR），則有（ ）(A) (B) (C) (D) 解析 法一：依題設

39、有 a·5b·c0是實系數一元二次方程的一個實根；0 故選(B)法二：去分母，移項，兩邊平方得：10ac2·5a·c20ac 故選(B)點評解法一通過簡單轉化，敏銳地抓住了數與式的特點，運用方程的思想使問題得到解決；解法二轉化為b2是a、c的函數，運用重要不等式，思路清晰，水到渠成。練習1 已知關于的方程 （2 m8）x +16 = 0的兩個實根 、 滿足 ，則實數m的取值范圍_。答案：；x21y02 已知函數 的圖象如下，則（ ）（A） (B)(C) (D)答案：A. 3 求使不等式·對大于1的任意x、y恒成立的a的取值范圍。：構造函數或方程

40、解決有關問題：例2 已知，t，8，對于f(t)值域內的所有實數m，不等式恒成立，求x的取值范圍。解析t，8，f(t)，3原題轉化為：>0恒成立，為m的一次函數（這里思維的轉化很重要）當x2時，不等式不成立。x2。令g(m)，m，3問題轉化為g(m)在m，3上恒對于0，則：；解得：x>2或x<1評析 首先明確本題是求x的取值范圍，這里注意另一個變量m，不等式的左邊恰是m的一次函數，因此依據一次函數的特性得到解決。在多個字母變量的問題中，選準“主元”往往是解題的關鍵。例3 為了更好的了解鯨的生活習性，某動物保護組織在受傷的鯨身上裝了電子監測裝置，從海洋放歸點A處，如圖（1）所示，

41、把它放回大海，并沿海岸線由西向東不停地對它進行了長達40分鐘的跟蹤觀測，每隔10分鐘踩點測得數據如下表（設鯨沿海面游動），然后又在觀測站B處對鯨進行生活習性的詳細觀測，已知AB15km，觀測站B的觀測半徑為5km。觀測時刻t（分鐘）跟蹤觀測點到放歸點的距離a（km）鯨位于跟蹤觀測點正北海岸西東圖1AB方向的距離b（km）1010.9992021.4133031.7324042.001(1)據表中信息：計算出鯨沿海岸線方向運動的速度；試寫出a、b近似地滿足的關系式并畫出鯨的運動路線草圖；AByx圖2（2）若鯨繼續以（1）運動的路線運動，試預測，該鯨經過多長時間（從放歸時開設計時）可進入前方觀測站

42、B的觀測范圍？并求出可持續觀測的時間及最佳觀測時刻。（注：6.40；精確到1分鐘）解析（1）由表中的信息可知：鯨沿海岸線方向運動的速度為：（km/分鐘）a、b近似地滿足的關系式為：運動路線如圖（2）以A為原點，海岸線AB為x軸建立直角坐標系，設鯨所在位置點P（x，y），由、得：，又B（15，0），依題意：觀測站B的觀測范圍是：5 （y0） 又25 解得：11.30x17.70由得：該鯨經過t113分鐘可進入前方觀測站B的觀測范圍 持續時間：64分鐘該鯨與B站的距離d當d最小時為最佳觀測時刻，這時x14.5，t145分鐘。練習4已知關于的方程2= 0有實數解，求實數的取值范圍。（答案：04）：運

43、用函數與方程的思想解決數列問題例4設等差數列an的前n項和為Sn，已知，>0，<0，（1）求公差d的取值范圍；（2）指出、，中哪一個最大，并說明理由。解析（1）由得：，>0 <0<d<3（2）d<0，是關于n 的二次函數，對稱軸方程為：x<d<3 6<< 當n6時，最大。三、強化練習1展開式中的系數為_.2已知方程的四個根組成一個首項為的等差數列,則( )A 1 B C D 3.設雙曲線的焦點在軸上，兩條漸近線為，則該雙曲線的離心率（ ）A 5 B C D 4已知銳角三角形ABC中，。 .求證； .設，求AB邊上的高。5甲、乙、

44、丙三臺機床各自獨立地加工同一種零件，已知甲機床加工的零件是一等品而乙機床加工的零件不是一等品的概率為，乙機床加工的零件是一等品而丙機床加工的零件不是一等品的概率為，甲、丙兩臺機床加工的零件都是一等品的概率為。.分別求甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品的概率；.從甲、乙、丙加工的零件中各取一個進行檢驗,求至少有一個是一等品的概率。6設，曲線在點處切線的傾斜角的取值范圍為，則點到曲線對稱軸距離的取值范圍是（）7.設雙曲線C：與直線相交于兩個不同的點A、B。.求雙曲線C的離心率的取值范圍；.設直線與軸的交點為P，且，求的值。（四）數形結合的思想方法2009年新課標考試大綱明確指出“數學知識是指

45、普通高中數學課程標準（實驗）中所規定的必修課程、選修課程系列2和系列4中的數學概念、性質、法則、公式、公理、定理以及由其內容反映的數學思想方法”。其中數學思想方法包括： 函數與方程的思想方法、 數形結合的思想方法 、 分類整合的思想方法、 特殊與一般的思想方法、 轉化與化歸的思想方法、 必然與或然的思想方法。數學思想方法是對數學知識內容和方法的本質認識，是對數學的規律性的理性認識。高考通過對數學思想方法的考查，能夠最有效地檢測學生對數學知識的理解和掌握程度，能夠最有效地反映出學生對數學各部分內容的銜接、綜合和滲透的能力。考試大綱對數學考查的要求是“數學學科的系統性和嚴密性決定了數學知識之間深刻

46、的內在聯系，包括各部分知識的縱向聯系和橫向聯系，要善于從本質上抓住這些聯系，進而通過分類、梳理、綜合，構建數學試卷的框架結構” 。而數學思想方法起著重要橋梁連接和支稱作用，“對數學思想方法的考查是對數學知識在更高層次上的抽象和概括的考查，考查時必須要與數學知識相結合，通過數學知識的考查，反映考生對數學思想方法的掌握程度” 。“ 數學科的命題，在考查基礎知識的基礎上，注重對數學思想方法的考查，注重對數學能力的考查，展現數學的科學價值和人文價值，同時兼顧試題的基礎性、綜合性和現實性，重視試題間的層次性，合理調控綜合程度，堅持多角度、多層次的考查，努力實現全面考查綜合數學素養的要求。” 數學的思想方

47、法滲透到數學的各個角落，無處不在，有些題目還要考查多個數學思想。在高考復習時，要充分認識數學思想在提高解題能力的重要性，在復習中要有意識地滲透這些數學思想，提升數學思想。數形結合的思想方法數形結合思想是一種很重要的數學思想，是數學研究的對象是數量關系和空間形式，即數與形兩個方面，把數量關系的研究轉化為圖形性質的研究，或者把 圖形性質的研究轉化為數量關系的研究，這種解決問題過程中“數”與“形”相互轉化的研究策略，就是數形結合的思想。數形結合思想就是要使抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維與形象思維結合起來。在使用的過程中，由“形”到“數”的轉化，往往比較明顯，而由“數”到“形”的轉化卻

48、需要轉化的意識，因此，數形結合的思想的使用往往偏重于由“數”到“形”的轉化。在一維空間，實數與數軸上的點建立一一對應關系；在二維空間，實數對與坐標平面上的點建立一一對應關系。特別是在集合、函數、不等式、數列、向量、解析幾何、導數與積分等能夠用圖形表述的知識點，就要用數形結合形象化，高考在選擇題、填空題側重突出考查數到形的轉化，在解答題中，考慮推理論證嚴密性，突出形到數的轉化。1集合問題中的數形結合例1.（2008北京卷,理1）已知全集，集合，那么集合等于（ ）ABCD分析:不等式表示的集合通過數軸解答.-2 -1 3 4 x解:在數軸上先畫出,再畫出集合,取其公共部分如圖所示陰影部分就是集合,

49、故選D答案:D評注:對于不等式表示的集合,可在數軸上表示并進行集合的交、并、補的運算2.利用函數的圖象解答問題例2(07浙江)設，是二次函數，若的值域是，則的值域是（ ）A. B. C. D. 分析：本題為復合函數，相當于中的的值，結合函數的圖象，可以求得的值域。-1 0 1 xy解：作出函數的圖象如圖所示，由圖知當時，函數的值域為，而為復合函數，相當于中的的值，所以的值域是，故選B。答案：B評注：本題中的復合函數要轉化為原函數和的信息，結合函數的圖象更為直觀地找到它們之間的關系。而不必探究二次函數的解析式。例3（2008廣東深圳中學）若的圖象必不經過（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四

50、象限解析:由知函數圖象單調遞增,由知把指數函數圖象向下平移到原點的下方.故不過第二象限,選B.答案:B10評注:對于指數函數的圖象必須熟悉,并能夠進行圖象的平移變換.例4（寧夏區銀川一中2008）函數的零點的個數是（ ）A3個B2個C1個D0個分析：函數的零點的個數就是方程的解的個數，要通過數形結合，畫出函數的圖象的交點的個數。解： 的零點，即使，作函數的圖象和函數的圖象如圖所示，有兩個交點，所以函數有兩個零點，故選答案：評注：對于象本題這樣的超越函數的解的個數問題常常用數形結合的思想解答3.利用導函數圖象解答問題例5（2008金華一中模擬）函數的圖象過原點，且它的導函數的圖象是如圖所示的一條

51、直線，則的圖象的頂點在（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限分析：由導函數的圖象及求導公式，提煉出信息得到原函數的有關信息解答。解：它的導函數的圖象是如圖所示的一條直線，可知原函數為二次函數，設解析式為，由于函數的圖象過原點，所以，為減函數，由的圖象可知當時，函數的圖象過原點，所以頂點在第一象限評注：要熟悉導函數與原函數之間的關系，對一次、二次函數關系及其圖象的特點要很熟悉。例6.（2009萊陽）設是函數的導函數，將和的圖象畫在同一直角坐標系中，不可能正確的是 解析:根據函數的單調性與導函數值的正負之間的關系,進行逐一判斷. A,B,C都有可能成立,排除A,B,C,選D答

52、案:D評注:正確圖象判斷的原則為: 函數的單調增,則導函數值為正, 函數的單調減,則導函數值為負.4利用不等式表示的平面區域解答問題例7（2008年安徽卷，理15）若為不等式組表示的平面區域，則當從2連續變化到1時，動直線 掃過中的那部分區域的面積為 分析：作出不等式表示的平面區域，然后再作平行線和則夾在兩平行線之間的部分即為所求。解：如圖知是斜邊為3 的等腰直角三角形，是直角邊為1等腰直角三角形，區域的面積評注：涉及到不等式表示的平面區域問題時常常要畫出圖形數形結合解答問題。例8（2008年浙江,理17）若，且當時，恒有，則以,b為坐標點P（，b）所形成的平面區域的面積等于_。OABxy分析：本小題主要考查線性規劃的相關知識，可考慮特殊情形，比如x0，可得a1