1、  數據統計、方差 一、本節學習指導這一節的知識點很簡單，不像我們前面學習的幾何那么多性質，這一節的知識只要我們理解了，基本上不會有什么問題。但是算式中可能數據比較多比較大，所以還是細心為好。二、知識要點1、 加權平均數：加權平均數的計算公式。 權的理解:反映了某個數據在整個數據中的重要程度。學會權沒有直接給出數量，而是以比的或百分比的形式出現及頻數分布表求加權平均數的方法。2、將一組數據按照由小到大（或由大到小）的順序排列，如果數據的個數是奇數，則處于中間位置的數就是這組數據的中位數(median)；如果數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數。 3、

2、一組數據中出現次數最多的數據就是這組數據的眾數（mode）。 4、一組數據中的最大數據與最小數據的差叫做這組數據的極差(range)。 5、方差越大，數據的波動越大；方差越小，數據的波動越小，就越穩定。 數據的收集與整理的步驟：（1）.收集數據    （2）.整理數據    （3）.描述數據   （4）.分析數據    (5).撰寫調查報告   (6).交流  6. 平均數受極端值的影響眾數不受極端值的影響

3、，這是一個優勢，中位數的計算很少不受極端值的影響。寬和長的比是（約為0.618）的矩形叫做黃金矩形。三、經驗之談： 考得比較多的是平均數和方差，理解方差是表示一種事物的波動情況，方差越大說明這組數據也不穩定，考試中會經常讓我們判斷，那一個班級的成績跟穩定等等，我們要想到用方差來判斷。正方形、梯形1、 本節學習指導幾何題，同學們在掌握了它們的性質過后多做練習吧，沒什么訣竅！二、知識要點1、正方形【重點】（1）、正方形定義：有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。警示： 正方形既是有一組鄰邊相等的矩形，又是有一個角是直角的菱形； 既是矩形又是菱形的四邊形是正方形； 正方形不僅是特殊的

4、平行四邊形，而且是特殊的矩形，還是特殊的菱形。（2）、正方形的性質：正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質。 邊- 四條邊都相等，鄰邊垂直、對邊平行； 角- 四個角都是直角； 對角線- 對角線相等且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角； 對稱性- 是軸對稱圖形，有四條對稱軸。 特殊性質- 正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，對角線與邊的夾角是45°；正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形（3）、正方形的判定：判定一個四邊形為正方形的主要依據是定義，途徑有兩條： 先證它是矩形，再證它有一組鄰邊相等； 先證它是菱形，再證它有一個角是直角。2

5、、梯形（1）、梯形的定義： 一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。（2）、梯形的分類：一般梯形， 直角梯形，等腰梯形 直角梯形：有一個角是直角的梯形。 等腰梯形：兩腰相等的梯形。（3）、等腰梯形的性質： 等腰梯形兩腰相等，兩底平行； 等腰梯形同一底邊上的兩個角相等； 等腰梯形的兩條對角線相等。 等腰梯形是軸對稱圖形，它只有1條對稱軸，過兩底中點的直線是它的對稱軸。（4）、等腰梯形的判定： 兩腰相等的梯形是等腰梯形； 在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形； 對角線相等的梯形是等腰梯形。提示：等腰梯形的判定思路：先證四邊形為梯形（即一組對邊平行且不等或另一組對邊不平行），再證兩腰相等或

6、同一底上的兩個角相等。 “平移腰”：過上底端點作一腰的平行線，構造一個平行四邊形和一個三角形； “作高”：使兩腰在兩個直角三角形中； “平移對角線”:使兩條對角線在同一個三角形中； “延長兩腰” :構造具有公共角的兩個三角形； “等積變形”:連接梯形一腰的端點和另一腰中點，并延長與底的延長線交于一點，構成三角形。綜上所述：解決梯形問題的基本思想和方法：梯形問題“轉換，拼接”為三角形或平行四邊形問題，這種思路常常通過平移或旋轉來實現。3、重心（1）、重心的定義：平面圖形中，幾何圖形的重心是當支撐或懸掛時圖形能在水平面處于平衡狀態，此時的支撐點或者懸掛點叫做平衡點，也叫做重心。（2）、幾種幾何圖形

7、的重心： 線段的重心就是線段的中點； 平行四邊形及特殊平行四邊形的重心是它的兩條對角線的交點； 三角形的三條中線交于一點，這一點就是三角形的重心； 任意多邊形都有重心，以多邊形的任意兩個頂點作為懸掛點，把多邊形懸掛時，過這兩點鉛垂線的交點就是這個多邊形的重心。提示： 無論幾何圖形的形狀如何，重心都有且只有一個； 從物理學角度看，幾何圖形在懸掛或支撐時，位于重心兩邊的力矩相同。（3）、常見圖形重心的性質： 線段的重心把線段分為兩等份； 平行四邊形的重心把對角線分為兩等份； 三角形的重心把中線分為1:2兩部分（重心到頂點距離占2份，重心到對邊中點距離占1份）。三、經驗之談：正方形和梯形都是特殊的平

8、行四邊形中的重點，希望同學們一定要記住它們的特點，特別是在考梯形的時候，變幻莫測。但是萬變不離其中，只要牢牢的掌握的基礎知識，其他都不是問題。矩形、菱形一、本節學習指導矩形、菱形是特殊的平行四邊形中非常重要的兩種，因此平行四邊形擁有的性質它們均有。那么它們也有只屬于它們的特征，這一節就來學習這些。同樣，同學們需要多做練習題。二、知識要點1、矩形【重點】 （1）、矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。（2）、矩形的性質： 矩形具有平行四邊形的一切性質； 矩形的四個角都是直角； 矩形的對角線平分且相等；（AC=BD） 矩形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸。提示： “矩形的四個角都是直角”這一

9、性質可用來證兩條線段互相垂直或角相等，“矩形的對角線相等”這一性質可用來證線段相等； 矩形的兩條對角線分矩形為面積相等的四個等腰三角形。（3）、矩形判定方法： 定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。 方法1：對角線相等的平行四邊形是矩形。 方法2：有三個角是直角的四邊形是矩形。 2、菱形【重點】 （1）、菱形的定義 ：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。 (2)、菱形的性質： 矩形具有平行四邊形的一切性質； 菱形的四條邊都相等； 菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。 菱形是軸對稱圖形。提示:利用菱形的性質可證得線段相等、角相等，它的對角線互相垂直且把菱形分成四個全等的直

10、角三角形，由此又可與勾股定理聯系，可得對角線與邊之間的關系，即邊長的平方等于對角線一半的平方和。（3）、菱形的判定方法： 定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。 判斷方法1：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。 判斷方法2：四條邊相等的四邊形是菱形。 （4）、菱形面積的計算：菱形面積 = 底×高 = 對角線長乘積的一半S菱形=1/2×ab（a、b為兩條對角線）歸納：對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線長乘積的一半。三、經驗之談：菱形和矩形考試經常出現，并且頻率相當高。同學們要記住它們的特性和判定方法，證明此類題型的時候要“根據已有條件來湊條件”來證明會容易些。平行四邊形及其

11、判斷一、本節學習指導這一節學習的知識純粹是幾何知識，在學習過程中我們要多思考，多做練習題。至于平行四邊形的判定要掌握好常見的一兩種證明方法，其他的基本上都是推導而來。二、知識要點一、平行四邊形1、平行四邊形定義：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2、平行四邊形的性質：平行四邊形的對邊相等；平行四邊形的對角相等；平行四邊形的對角線互相平分。3、平行四邊形的面積：（1）、平行四邊形的面積=底×高= ah（a是平行四邊形的任何一條邊長，h必須是邊長為a的邊與其對邊的距離）（2）、同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等。4、平行四邊形的判定【重要】 （1）.兩組對邊分別平行的四

12、邊形是平行四邊形；（2）.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；（4）.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；（5）.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。提示：（1）平行四邊形的判定方法都需要關于邊、角、對角線之間的兩個適當條件作為命題正確的構成條件；（2）判定方法可作為 “畫平行四邊形”的依據；（3）一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形。我們一起來看一個關于證明平行四邊形的題目： 5、三角形中的中位線【重要】（1）、三角形的中位線：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。（2）、三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形

13、的第三邊，且等于第三邊的一半。提示：（1）三角形共有三條中位線，并且它們又重新構成一個新的三角形。每一條中位線與第三邊都有相應的位置關系和數量關系。（2）三角形的中位線不僅可以證明直線平行，也可以證明線段的倍分關系。（3）三角形中位線不同于三角形的中線，應從它們各自的定義加以區別。（3）、三角形中位線定理的作用：位置關系：可以證明兩條直線平行。數量關系：可以證明線段的倍分關系。（4）、常用結論：任一個三角形都有三條中位線，由此有：結論1：三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半。結論2：三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。結論3：三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行

14、四邊形。結論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。結論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。6、兩條平行線間的距離（1）、定義：兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線間的距離。（2）、性質： 兩條平行線間的距離處處相等； 兩條平行線間的任何兩條平行線段都是相等的。三、經驗之談：這一節中要求我們理解的非常多，要求死記硬背的也很多。這里給點建議，數學中涉及記憶型的理論，希望同學們能先理解，后記憶。像三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半。如果我們理解了這一條的話，記憶起來就容易很多，并且在遇到相關題目的時候絕對能運用

15、自如。命題（）加速度學習網 整理一、本節學習指導這一節重在理解命題的概念，命題是能判斷一件事情的正確與錯誤的句子，不能是問句，也不能是省略句，這個句子必須是完整的，并且能判斷正確與否才叫做命題。二、知識要點1、命題、定理、證明 命題的概念：判斷一件事情的語句，叫做命題。理解：命題的定義包括兩層含義：（1）命題必須是個完整的句子；（2）這個句子必須對某件事情做出判斷。 命題的分類（按正確、錯誤與否分）命題：真命題（正確的命題）；假命題（錯誤的命題）所謂正確的命題就是：如果題設成立，那么結論一定成立的命題。所謂錯誤的命題就是：如果題設成立，不能證明結論總是成立的命題。 公理：人們在長期實踐中總結出

16、來的得到人們公認的真命題，叫做公理。 定理：用推理的方法判斷為正確的命題叫做定理。 證明：判斷一個命題的正確性的推理過程叫做證明。 證明的一般步驟 根據題意，畫出圖形。 根據題設、結論、結合圖形，寫出已知、求證。 經過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程。2、常用數學口訣. 口訣：完全平方有三項，首尾符號是同鄉，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首±尾括號帶平方，尾項符號隨中央。三、經驗之談：命題部分理解了命題的概念，基本上題目中都不會錯，不過還是要細心些，越是容易的題目越不要放過。后面還總結本節的幾個常用公式，這些公式一直到大學畢業都在用，同學們一定要記住，如果記不住的下面還

17、總結了口訣方便記憶。世上無難事，只怕有心人。如圖：RTABC中，ACB = 90°，CDAB，則有：5、常用關系式由三角形面積公式可得：AB·CD=AC·BC6、直角三角形的判定1、有一個角是直角的三角形是直角三角形。2、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c有關系a²b²=c²，那么這個三角形是直角三角形。三、經驗之談：上面總結了很多公式，有些是書上給出的，有些是平時做題的積累，希望給同學們平時的學習帶來幫助，可能你會對有些公式不太理解，沒關系，因為有些知

18、識我們只需要死記就OK，不管是白貓黑貓，待到分數就是好貓。分式方程一、本節學習指導解分式方程和我們前面學習的解方程有很多相似之處，期間會運用到很多分式的計算方式，就這一節來說并不難。做適當練習即能掌握。二、知識要點1、分式方程：含分式，并且分母中含未知數的方程叫做分式方程。（1）、分式方程的解法： 解分式方程的一般方法和步驟： 去分母：即在方程的兩邊都同時乘以最簡公分母，把分式方程化為整式方程，依據是等式的基本性質； 解這個整式方程； 檢驗：把整式方程的解代入最簡公分母，使最簡公分母不等于0的解是原方程的解，使最簡公分母等于0的解不是原方程的解，即說明原分式方程無解。注意： 去分母時，方程兩邊

19、的每一項都乘以最簡公分母，不要漏乘不含分母的項； 解分式方程必須要驗根，千萬不要忘了！（2）、解分式方程的步驟 ： 能化簡的先化簡； 方程兩邊同乘以最簡公分母，化為整式方程； 解整式方程； 驗根（3）、分式方程檢驗方法：將整式方程的解帶入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解。（4）、含有字母的分式方程的解法：在數學式子的字母不僅可以表示未知數，也可以表示已知數，含有字母已知數的分式方程的解法，也是去分母，解整式方程，檢驗這三個步驟，需要注意的是要找準哪個字母表示未知數，哪個字母表示未知數，還要注意題目的限制條件。計算結果是用已知數

20、表示未知數，不要混淆。2、列分式方程解應用題（1）列分式方程解應用題的步驟： 審：審清題意； 找: 找出相等關系； 設：設未知數； 列：列出分式方程； 解：解這個分式方程； 驗：既要檢驗根是否是所列分式方程的解，又要檢驗根是否符合題意； 答：寫出答案。（2）應用題有幾種類型；基本公式是什么？常見的有以下五種： 行程問題 基本公式：路程=速度×時間 而行程問題中又分相遇問題、追及問題 數字問題：在數字問題中要掌握十進制數的表示法 工程問題 基本公式：工作量=工時×工效 三、經驗之談這一節考點比較多的應該是分式方程的應用題和科學計數法，但應用題基本不會單獨命題，步驟雖繁瑣，但是

21、難度并不大。科學計數法有兩種情況，不要混淆了，填空題中還是比較容易被考到的，并且這一點在物理中用得也比較多，希望同學們掌握好。反比率函數的圖像及性質一、本節學習指導這一節我們來學習反比率函數的圖像，同樣我們用表格來對比兩種不同情況下的反比率函數，通過對比我們會得出很多結論。同學們要對這些結論加以理解并記憶，而且在課余的時候多做練習題。這一節的知識基本上都會和一次函數結合起來考，同學們對一次函數的相關性質還記得嗎？二、知識要點反比例函數yk/x的圖象是由兩支曲線組成的。當k0時，兩支曲線分別位于第一、三象限內，當k0時，兩支曲線分別位于第二、四象限內。【重點】注： 這兩支曲線通常稱為雙曲線。 這

22、兩支曲線關于原點對稱。 反比例函數的圖象與x軸、y軸沒有公共點。 提示:（1）反比例函數yk/x（k0），因為x0，y0,故圖像不經過原點，雙曲線是由兩個分支組成的，一般不說兩個分支經過第一、第三象限（或第二、第四象限），而說圖像的兩個分支分別在第一、第三象限（或第二、第四象限）（2）反比例函數的增減性不是連續的，因此在談到反比例函數的增減性時，一般是在各自的象限內的增減情況；（3）反比例函數的圖像無限接近坐標軸，但永遠不能和坐標軸相交，也不能“翹尾巴”；（4）反比例函數圖像的位置和函數的增減性都是由反比例系數k的符號決定的；反過來，由雙曲線所在位置和函數的增減性，也可以推斷出k的符號。如：已

23、知雙曲線yk/x在第二、第四象限，則可知k0.三、經驗之談：不管是何種函數都存在增減性，一次函數y=kx+b，當k0時，y隨x的增大而減小；k0時，y隨x 的增大而增大。反比率函數也有同樣的性質，當k0時，y隨x 的增大而增大；k0時，y隨x 的增大而減小。我們發現發比率函數的y值和x值的變化恰恰相反，這就是詮釋了y=k/x叫反比率函數的原因。函數的增減性如果同學們記不住的話，可以采用取值來驗證，比如判斷y=5/x是哪種變化趨勢，我們可以取x=5時得y=1；當x=10時y=1/2，結論就有了，后面的x取值比前面的x取值大（x增大），后面對應的y值比前面對應的y值小（y值增大），所以結論就是 y

24、隨x 的增大而增大；當然遇到比較復雜的函數這種取值存在漏洞，還需用畫圖來觀察才是最直觀的。這種取值的笨方法就是在初三的二次函數也非常有用。反比例函數一、本節學習指導前面我們已經學習過一次函數，也知道函數中包括自變量x和因變量y。怎樣理解函數的定義呢，我們可以形象把函數這樣理解：我從上海去北京可以通過坐火車，乘飛機，也可以騎自行車，這不同的交通方式就是一種函數關系，當自變量選擇坐火車的時候，因變量y就等于節約錢；當自變量x選擇乘飛機的時候，因變量y就等于節約時間；我們看到因變量y總是隨自變量x的變化與之對應變化，這就是函數關系式。這一節學習反比率函數，反比率函數也是一種關系式，和一次函數不同的是

25、，反比率函數的因變量y的變化恰恰與自變量x的變化相反。二、知識要點 2、圖像：反比例函數的圖像屬于雙曲線。反比例函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形。【重點】有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x。對稱中心是：原點。3、性質:當k0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小；【重點】當k0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增 4、|k|的幾何意義：表示反比例函數圖像上的點向兩坐標軸所作的垂線段與兩坐標軸圍成的矩形的面積。 5、推導：一般地，如果兩個變量x、y之間的關系可表示成yk/x（K為常數，K0）的形式，那么稱y是x的反比例函數。

26、反比例函數的自變量x不能為零。6、反比例函數的圖象及其畫法【重點】反比例函數圖象的畫法-描點法： 列表-自變量取值應以0（但（x0）為中心，向兩邊取三對（或三對以上）互為相反數的數，再求出對應的y的值； 描點-先描出一側，另一側可根據中心對稱點的性質去找； 連線-按照從左到右的順序連接各點并延伸，注意雙曲線的兩個分支是斷開的，延伸部分有逐漸靠近坐標軸的趨勢，但永遠不與坐標軸相交。 三、經驗之談學函數，畫圖是基本功，同學們平時要多練習。函數的畫圖標準的3步，第一步取點列表，第二步描點，第三用平滑的曲線把個點連接起來。平時在做練習的時候遇到函數題，就把圖像畫出來，因為圖像能形象的幫助我們分析。在學

27、習反比率函數的時候不妨把一次函數回憶一遍，你會有很多意外的發現。上面總結的知識點中，第4點希望同學們能記住，這是做了大量題而得出的結論。分式的混合運算一、本節學習指導本節會有大量的計算題目，希望同學們能細心一些，這一節的題目并不難，只要意識到了，相信你很輕松就能做到。二、知識要點1、分式的乘除法法則（1）、分式乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。 （2）、分式除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。 提示：（1）分式與分式相乘，若分子、分母是單項式，可先將分子、分母分別相乘，然后約去公因式，化為最簡分式；若分子、 分母是多項式，先把分

28、子、分母分解公因式再看能否約分，然后再相乘；（2）當分式與整式相乘時，要把整式與分式的分子相乘作為積的分子，分母不變（3）分式的除法可以轉化為分式的乘法運算；（4）分式的乘除混合運算統一為乘法運算。 分式的乘除法混合運算順序與分數的乘除混合運算相同，即按照從左到右的順序，有括號先算括號 里面的； 分式的乘除混合運算要注意各分式中分子、分母符號的處理，先確定積的符號； 分式的乘除混合運算結果要通過約分化為最簡分式（分式的分子、分母沒有公因式）或整式的形式。2、分式乘方法則：分式乘方要把分子、分母各自乘方。 注意： 乘方時，一定要把分式加上括號； 分式乘方時確定乘方結果的符號與有理數乘方相同，即正

29、分式的任何次冪都為正；負分式的偶次冪為正，奇次冪為負； 分式乘方時，應把分子、分母分別看做一個整體； 在一個算式中同時含有分式的乘方、乘法、除法時，應先算乘方，再算乘除，有多項式時應先分解因式，再約分。3、分式的加減法則：（1）、同分母加減法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。 （2）、異分母加減法則：異分母的分式相加減，先通分，轉化為同分母分式，然后再加減。 注意：“把分子相加減”是把各個分子的整體相加減，即各個分子應先加上括號后再加減，分子是單項式時括號可以省略； 異分母分式相加減，“先通分”是關鍵，最簡公分母確定后再通分，計算時要注意分式中符號的處理，特別是分子相減，要注意分

30、子的整體性； 運算時順序合理、步驟清晰； 運算結果必須化成最簡分式或整式。4、分式的混合運算:（1）、分式的混合運算，關鍵是弄清運算順序，與分數的加、減、乘、除及乘方的混合運算一樣，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號要先算括號里面的，計算結果要化為整式或最簡分式。 注意：當冪指數為負整數時，最后的計算結果要把冪指數化為正整數。5、整數指數冪： 三、經驗之談：這一章容易忽視的是任何一個不等于零的數的零次冪等于1，前提是不等于零的零次方等于1，這在考試的選填空題經常出現，還有就是很多基礎的計算公式希望同學們能熟練掌握，適當的做一些練習題來鞏固這些公式分式的認識（）51加速度學習網 整理一、本節

31、學習指導這一節是學習本章節的基礎，分式是比較繁瑣的知識點，它和我們小學學的分數有很大的差別，難度也更大。分式的有誤意義是選擇題和填空題的最愛，分式的化簡卻貫穿了整個初中數學的計算，希望同學們多做練習題，一定要牢牢的掌握這一節的知識。二、知識要點1、分式的定義：如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。2、分式有意義、無意義的條件： 分式有意義的條件：分式的分母不等于0； 分式無意義的條件：分式的分母等于0。3、分式值為零的條件：當分式的分子等于0且分母不等于0時，分式的值為0。注：分式的值是在分式有意義的前提下才可以考慮的，所以使分式A/B為0的條件是A0，且B0。 注意：分式的值為0的條件是：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可。首先求出使分子為0的字母的值，再檢驗這個字母的值是否使分母的值為0.當分母的值不為0時，就是所要求的字母的值。4、分式的基本性質：分式的分子與分母同乘（或除以）一個