1、列不定方程解應(yīng)用題教學(xué)目標(biāo)1、熟練掌握不定方程的解題技巧2、能夠根據(jù)題意找到等量關(guān)系設(shè)未知數(shù)解方程3、學(xué)會(huì)解不定方程的經(jīng)典例題知識(shí)精講、知識(shí)點(diǎn)說(shuō)明歷史概述不定方程是數(shù)論中最古老的分支之一.古希臘的丟番圖早在公元3世紀(jì)就開(kāi)始研究不定方程，因此常稱不定方程為丟番圖方程. 中國(guó)是研究不定方程最早的國(guó)家，公元初的五家共井問(wèn)題就是一個(gè)不定方程組問(wèn)題，公元5世紀(jì)的張丘建算經(jīng)中的百雞問(wèn)題標(biāo)志著中國(guó)對(duì)不定方程理論有了系統(tǒng)研究.宋代數(shù)學(xué)家秦九韶的 大衍求一術(shù)將不定方程與同余理論聯(lián)系起來(lái).考點(diǎn)說(shuō)明在各類競(jìng)賽考試中，不定方程經(jīng)常以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，除此以外，不定方程還經(jīng)常作為解題的重要方 法貫穿在行程問(wèn)題、數(shù)論問(wèn)題

2、等壓軸大題之中.在以后初高中數(shù)學(xué)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)中，不定方程也同樣有著重 要的地位，所以本講的著重目的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用不定方程這個(gè)工具，并能夠在以后的學(xué)習(xí)中使用這個(gè)工具 解題。、運(yùn)用不定方程解應(yīng)用題步驟1、根據(jù)題目敘述找到等量關(guān)系列出方程2、根據(jù)解不定方程方法解方程3、找到符合條件的解模塊一、不定方程與數(shù)論【例1】 把2001拆成兩個(gè)正整數(shù)的和，一個(gè)是 11的倍數(shù)（要盡量小），一個(gè)是13的倍數(shù)（要盡量大），求這 兩個(gè)數(shù).【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【解析】 這是一道整數(shù)分拆的常規(guī)題.可設(shè)拆成的兩個(gè)數(shù)分別為11x和13y,則有：11x+13y=2001 ,要讓x取最小值，y取最

3、大值.可把式子變形為：y =幽二如J3X153+12 -13x+2x =153.x+-,可見(jiàn) U 是整數(shù)，13131313滿足這一條件的x最小為7,且當(dāng)x=7時(shí)，y=148.貝U拆成的兩個(gè)數(shù)分別是 7 M11 =77和148 M13 = 1924.【答案】則拆成的兩個(gè)數(shù)分別是77和1924 .【鞏固】 甲、乙二人搬醇，甲搬的醇數(shù)是 18的倍數(shù)，乙搬的科數(shù)是 23的倍數(shù)，兩人共搬了 300塊磚.問(wèn)： 甲、乙二人誰(shuí)搬的科多？多幾塊？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【解析】設(shè)甲搬的是18x塊，乙捐i的是23y塊.那么18x+23y=300.觀察發(fā)現(xiàn)18x和300者B是6的倍數(shù)，所

4、以y也是6的倍數(shù).由于y <300-23 &13,所以y只能為6或12.y=6 時(shí) 18x=162,得至U x =9 ;丫=12時(shí)18*=24,此時(shí)x不是整數(shù)，矛盾.所以甲搬了 162塊，乙搬了 138塊，甲比乙搬得多，多 24塊.【答案】甲比乙搬得多，多 24塊【鞏固】 現(xiàn)有足夠多的5角和8角的郵票，用來(lái)付 4.7元的郵資，問(wèn)8角的郵票需要多少?gòu)垼俊究键c(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【解析】設(shè)5角和8角的郵票分別有x張和y張，那么就有等量關(guān)系：5x+8y=47 .嘗試y的取值，當(dāng)y取4時(shí)，x能取得整數(shù)3,當(dāng)y再增大，取大于等于6的數(shù)時(shí)，x沒(méi)有自然數(shù)解.所 以8角的

5、郵票需要4張.【答案】8角的郵票需要4張【例2】 用十進(jìn)制表示的某些自然數(shù)，恰等于它的各位數(shù)字之和的16倍，則滿足條件的所有自然數(shù)之和為.【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】北大附中，資優(yōu)博雅杯【解析】 若是四位數(shù)abcd ,則16K(a+b+c+d尸16x36<1000 ,矛盾，四位以上的自然數(shù)也不可能。若是兩位數(shù)ab ,則16x(a+b )>10a+b =ab ,也不可能，故只有三位數(shù) abc.16 M(a+b+c )=100a + 10b+c ,化簡(jiǎn)得 28a =2b +5c.由于 2b +5c <7父9 = 63,所以 a=1 或 b=2.a=

6、1 時(shí)，b=9, c=2,或 b=4, c =4 ; a=2 時(shí)，b=8, c = 8.所以所有自然數(shù)之和為 192 +144 + 288 = 624.【答案】所有滿足條件的自然數(shù)之和為624模塊二、不定方程與應(yīng)用題【例3】 有兩種不同規(guī)格的油桶若干個(gè)，大的能裝8千克油，小的能裝5千克油，44千克油恰好裝滿這些油桶.問(wèn)：大、小油桶各幾個(gè)？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【解析】設(shè)有大油桶x個(gè)，小油桶y個(gè).由題意得：8x 4 5V =44可知8xM44 ,所以x = 0> 1、2、3、4、5 .由于x、y必須為整數(shù)，所以相應(yīng)的將x的所有可能值代入方程, 可得x =3時(shí)，y

7、 =4這一組整數(shù)解.所以大油桶有3個(gè)，小油桶有4個(gè).小結(jié)：這道題在解答時(shí)，也可聯(lián)系數(shù)論的知識(shí)，注意到能被5整除的數(shù)的特點(diǎn)，便可輕松求解 .【答案】大油桶有3個(gè)，小油桶有4個(gè)【例4】 在一次活動(dòng)中，丁丁和冬冬到射擊室打靶，回來(lái)后見(jiàn)到同學(xué)小博士 ”，他們讓 小博士 ”猜他們各命中多少次.小博士 ”讓丁丁把自己命中的次數(shù)乘以 5,讓冬冬把自己命中的次數(shù)乘以 4,再把兩個(gè)得數(shù)加起來(lái)告訴他， 丁丁和冬冬算了一下是 31,小博士 ”正確地說(shuō)出了他們各自命中的次數(shù).你知道丁丁和冬冬各命中幾次嗎？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【解析】 設(shè)丁丁和冬冬分別命中了 x次和y次，則：5x+4y=3

8、1 .可見(jiàn)x除以4的余數(shù)為3,而且x不能超過(guò)6,所以x=3, y =4 .即丁丁命中了 3次，冬冬命中了 4次.【答案】丁丁命中了 3次，冬冬命中了 4次【鞏固】 某人打靶，8發(fā)共打了 53環(huán)，全部命中在10環(huán)、7環(huán)和5環(huán)上.問(wèn)：他命中10環(huán)、7環(huán)和5環(huán)各幾 發(fā)？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【解析】假設(shè)命中10環(huán)x發(fā)，7環(huán)y發(fā)，5環(huán)z發(fā)，則x+y*z=8W川川川由可知7y除以5的余數(shù)為10x 7y 5z=53用（2）3,所以y =4、9如果y為9,則7y 6 5 A ，所以y只能為4,代入原方程組可解得 x = 1, z=3 .所 以他命中10環(huán)1發(fā)，7環(huán)4發(fā)，5環(huán)3發(fā).

9、【答案】命中10環(huán)1發(fā)，7環(huán)4發(fā)，5環(huán)3發(fā) 例5某次聚餐，每一位男賓付 130元，每一位女賓付100元，每帶一個(gè)孩子付 60元，現(xiàn)在有1的成人各3帶一個(gè)孩子，總共收了 2160元，問(wèn)：這個(gè)活動(dòng)共有多少人參加（成人和孩子）？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答1【解析】設(shè)參加的男兵有x人，女兵有 y人，則由題息得萬(wàn)程：130x+100y+（x+y產(chǎn)60=2160 ,即x=4fx=8 fx = 12< x=0150x + 120y= 2160化簡(jiǎn)得5x+4y =72 .這個(gè)方程有四組解：I , W , W 和Wy=13y=8 y=3y=18但是由于有1的成人帶著孩子，所以 x

10、+ y能被3整除，檢驗(yàn)可知只有后兩組滿足. 31. .1所以，這個(gè)活動(dòng)共有 12十3十父（12+3）=20人或18+x18=24人參力口.【答案】這個(gè)活動(dòng)共有 20人或24人參加【鞏固】 單位的職工到郊外植樹(shù)，其中有男職工，也有女職工，并且有1的職工各帶一個(gè)孩子參加.男職工3每人種13棵樹(shù)，女職工每人種10棵樹(shù)，每個(gè)孩子都種 6棵樹(shù)，他們一共種了 216棵樹(shù)，那么其中有 多少名男職工？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【解析】因?yàn)橛?的職工各帶一個(gè)孩子參加，則職工總?cè)藬?shù)是3的倍數(shù).設(shè)男職工有 x人，女職工有y人.3則職工總?cè)藬?shù)是（x+y）人，孩子是 上1人.得到方程：13x+1

11、0y+（x + y）+3黑6=216 ,化簡(jiǎn)得：5x+4y=72.因?yàn)槟新毠づc女職工的人數(shù)都是整數(shù)，所以當(dāng)y=3時(shí)，x=12;當(dāng)y=8時(shí)，x=8;當(dāng)y=13, x=4.其中只有3+12=15是3的倍數(shù)，符合題意，所以其中有12名男職工.【答案】其中有12名男職工【例6】 張師傅每天能縫制 3件上衣，或者9件裙褲，李師傅每天能縫制 2件上衣，或者7件裙褲，兩人20 天共縫制上衣和裙褲134件，那么其中上衣是多少件？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【解析】如果20天都縫制上衣，共可縫制（3+220=100件，實(shí)際上比這多縫制了 134-100 = 34件，這就要 把上衣?lián)Q成裙褲，

12、張師傅每天可多換9-3 =6件，李師傅每天可多換 7-2 =5件，設(shè)張師傅縫制裙褲x天，李師傅縫制裙褲 y天，則：6x+5y=34,整數(shù)解只有x=4, y=2.因此共縫制裙褲 9M4+7父2=50件，上衣共13450=84件.【答案】上衣共84件【鞏固】 小花狗和波斯貓是一對(duì)好朋友，它們?cè)谠缤硪?jiàn)面時(shí)總要叫上幾聲表示問(wèn)候.若是早晨見(jiàn)面，小花狗 叫兩聲，波斯貓叫一聲；若是晚上見(jiàn)面，小花狗叫兩聲，波斯貓叫三聲.細(xì)心的小娟對(duì)它們的叫聲 統(tǒng)計(jì)了 15天，發(fā)現(xiàn)它們并不是每天早晚都見(jiàn)面.在這15天內(nèi)它們共叫了 61聲.問(wèn)：波斯貓至少叫了多少聲？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【解析】早晨見(jiàn)

13、面小花狗和波斯貓共叫3聲，晚上見(jiàn)面共叫5聲.設(shè)在這15天內(nèi)早晨見(jiàn)面x次，晚上見(jiàn)面y次.根據(jù)題意有：3x+5y =61 （ x< 15 , y < 15）.可以湊出，當(dāng) x=2時(shí)，y =11;當(dāng)x =7時(shí)，y=8;當(dāng)x=12時(shí)，y=5.因?yàn)樾』ü饭步辛?2（x+y）聲，那么（x + y理大，小花狗就叫得越多，從而波斯貓叫得越少，所以當(dāng)x=12, y =5時(shí)波斯貓叫得最少，共叫了1父12+3父5 = 27(聲).【答案】叫了 27聲【例7】 甲、乙兩人生產(chǎn)一種產(chǎn)品，這種產(chǎn)品由一個(gè)A配件與一個(gè)B配件組成.甲每天生產(chǎn) 300個(gè)A配件,或生產(chǎn)150個(gè)B配件；乙每天生產(chǎn) 120個(gè)A配件，或生產(chǎn)

14、 48個(gè)B配件.為了在10天內(nèi)生產(chǎn)出更 多的產(chǎn)品，二人決定合作生產(chǎn)，這樣他們最多能生產(chǎn)出多少套產(chǎn)品？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【解析】 假設(shè)甲、乙分別有 x天和y天在生產(chǎn) A配件，則他們生產(chǎn) B配件所用的時(shí)間分別為(10 x)天和(10_y)天，那么10天內(nèi)共生產(chǎn)了 A配件(300x+120y)個(gè)，共生產(chǎn)了 B配件150 M(10 -x) +48X(10y) =1980 -150x48y個(gè).要將它們配成套，A配件與B配件的數(shù)量應(yīng)相等,即 300x+120y =1980 -150x -48y ,得至U 75x+28y=330,貝U x = 330-28y75此時(shí)生產(chǎn)的產(chǎn)品

15、的套數(shù)為300x +120y =300黑330 -28y +120y=1320 + 8y ,要使生產(chǎn)的產(chǎn)品最多,75要使得y最大，而y最大為10,所以最多能生產(chǎn)出1320+810=1400套產(chǎn)品.最多能生產(chǎn)出1400套產(chǎn)品【鞏固】 某服裝廠有甲、乙兩個(gè)生產(chǎn)車(chē)間，甲車(chē)間每天能生產(chǎn)上衣16件或褲子20件；乙車(chē)間每天能生產(chǎn)上衣18件或褲子24件.現(xiàn)在要上衣和褲子配套，兩車(chē)間合作 21天，最多能生產(chǎn)多少套衣服？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【解析】 假設(shè)甲、乙兩個(gè)車(chē)間用于生產(chǎn)上衣的時(shí)間分別為x天和y天，則他們用于生產(chǎn)褲子的天數(shù)分別為(21 x)天和(21 y)天，那么總共生產(chǎn)了上衣

16、 (16x+18y)件，生產(chǎn)了褲子 20M(21 -x) +24x(21 y) =92420x24y件.根據(jù)題意，褲子和上衣的件數(shù)相等，所以16x+18y =92420x24y ,即6x+7y=154,即1 54- 74154 -7y2 2x=.那么共生廣了 16x+18y=16M+18y=410 y 套衣月艮.663 3要使生產(chǎn)的衣服最多，就要使得y最小，則x應(yīng)最大，而x最大為21,此時(shí)y=4 .故最多可以生產(chǎn)由 2 2出410-父4 =408套衣服.3 3【答案】最多可以生產(chǎn)出408套衣服例8有一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要36天完成，乙單獨(dú)做需要30天完成，丙單獨(dú)做需要48天完成，現(xiàn)在由 甲、乙

17、、丙三人同時(shí)做，在工作期間，丙休息了整數(shù)天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成這 項(xiàng)工程也用了整數(shù)天，那么丙休息了 天.【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【解析】設(shè)完成這項(xiàng)工程用了 a天，其間丙休息了 b天.根據(jù)題意可知：|a -b =1,a - -b =1 化簡(jiǎn)得 59a-15b = 720.36 30 484872048由上式，因?yàn)?5b與720都是15的倍數(shù)，所以59a必須是15的倍數(shù)，所以a是15的倍數(shù)，在a>b的 條件下，只有a =15, b =11 一組解，即丙休息了 11天.【答案】丙休息了 11天【例9】 實(shí)驗(yàn)小學(xué)的五年級(jí)學(xué)生租車(chē)去野外開(kāi)展走向大自然，熱愛(ài)大

18、自然”活動(dòng)，所有的學(xué)生和老師共 306人恰好坐滿了 5輛大巴車(chē)和3輛中巴車(chē)，已知每輛中巴車(chē)的載客人數(shù)在20人到25人之間，求每輛大巴車(chē)的載客人數(shù).【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【解析】 設(shè)每輛大巴車(chē)和中巴車(chē)的載客人數(shù)分別為x人和y人，那么有：5x + 3y=306 .由于知道中巴車(chē)的載客人數(shù)，也就是知道了 y的取值范圍，所以應(yīng)該從 y入手.顯然3y被5除所得的余數(shù)與 306被5除 所得的余數(shù)相等，從個(gè)位數(shù)上來(lái)考慮，3y的個(gè)位數(shù)字只能為 1或6,那么當(dāng)y的個(gè)位數(shù)是2或7時(shí)成立.由于y的值在20與25之間，所以滿足條件的 y=22,繼而求得x = 48,所以大巴車(chē)的載客 人數(shù)為

19、48人.【答案】大巴車(chē)的載客人數(shù)為48人【鞏固】 實(shí)驗(yàn)小學(xué)的五年級(jí)學(xué)生租車(chē)去野外開(kāi)展走向大自然，熱愛(ài)大自然 ”活動(dòng)，所有的學(xué)生和老師共 306人恰好坐滿了 7輛大巴車(chē)和2輛中巴車(chē)，已知每輛中巴車(chē)的載客人數(shù)在20人到25人之間，求每輛大巴車(chē)的載客人數(shù).【解析】設(shè)大巴車(chē)和中巴車(chē)的載客人數(shù)分別為x人和y人，那么有：7x+2y=306.考慮等式兩邊除以 7的余數(shù)，由于306被7除余5 ,所以2y被7除余5 ,符合條件的y有：6、13、 20、27,所以y=20,繼而求得x=38,所以大巴車(chē)的載客人數(shù)為 38人.【答案】大巴車(chē)的載客人數(shù)為38人【鞏固】 每輛大汽車(chē)能容納 54人，每輛小汽車(chē)能容納 36人

20、.現(xiàn)有378人，要使每個(gè)人都上車(chē)且每輛車(chē)都裝 滿，需要大、小汽車(chē)各幾輛？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【解析】 設(shè)需要大、小汽車(chē)分別為 x輛、y輛，則有：54x+36y=378,可化為3x+2y=21 .可以看出y是3的倍數(shù)，又不超過(guò)10,所以y可以為0、3、6或9,將y=0、3、6、9分別代入可x =1x =3x =5x =7知有四組解：W ;或I ;或I ;或I y =9y =6y =3y =0即需大汽車(chē)1輛，小汽車(chē)9輛；或大汽車(chē)3輛，小汽車(chē)6輛；或大汽車(chē)5輛，小汽車(chē)3輛；或大汽 車(chē)7輛.【答案】大汽車(chē)1輛，小汽車(chē)9輛；或大汽車(chē)3輛，小汽車(chē)6輛；或大汽車(chē)5輛，小汽車(chē)3輛

21、；或大汽車(chē)7 輛【鞏固】 小偉聽(tīng)說(shuō)小峰養(yǎng)了一些兔和雞，就問(wèn)小峰：你養(yǎng)了幾只兔和雞？”小峰說(shuō)： 我養(yǎng)的兔比雞多，雞兔共24條腿.”那么小峰養(yǎng)了多少兔和雞？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【解析】 這是一道雞兔同籠問(wèn)題，但由于已知雞兔腿的總數(shù)，而不是雞兔腿數(shù)的差，所以用不定方程求解. 設(shè)小峰養(yǎng)了 x只兔子和y只雞，由題意得：4x 2y = 24即：2x+y=12, y=122x這是一個(gè)不定方程，其可能整數(shù)解如下表所示：x0123456y121086420由題意x>y ,且x, y均不為0 ,所以x =5 , y=2 ,也就是兔有5只，雞有2只.【答案】兔有5只，雞有2只【例

22、10】一個(gè)家具店在1998年總共賣(mài)了 213張床.起初他們每個(gè)月賣(mài)出 25張床，之后每個(gè)月賣(mài)出16張床， 最后他們每個(gè)月賣(mài)出 20張床.問(wèn)：他們共有多少個(gè)月是賣(mài)出25張床？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】香港保良局亞洲區(qū)城市小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽【解析】設(shè)賣(mài)出25、16、20張床的月份分別為 x、v、z個(gè)月，則：x y z =12川1|川川31(1)25x 16y 20z =213"l(2)由得y=12xz,代入 得9x+4z = 21.顯然這個(gè)方程的正整數(shù)解只有x =1 , z =3.所以只有1個(gè)月是賣(mài)出25張床的.【答案】只有1個(gè)月是賣(mài)出25張床的【例11】五

23、年級(jí)一班共有36人，每人參加一個(gè)興趣小組，共有 A、B、C、D、E五個(gè)小組.若參加 A組 的有15人，參加B組的人數(shù)僅次于 A組，參加C組、D組的人數(shù)相同，參加 E組的人數(shù)最少，只有4人.那么，參加B組的有 人.【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】希望杯，二試【解析】 設(shè)參加B組的有x人，參加C組、D組的有y人，則x >y >4 ,由題知 15+x+2y+4=36,整理得 x+2y =17 ;由于y >4 ,若y =5 ,得x =7 ,滿足題意；若y至6,則xE5,與xy矛盾;所以只有x=7, y =5符合條件，故參加 B組的有7人.【答案】參加B組的

24、有7人【例12】將一群人分為甲乙丙三組，每人都必在且僅在一組.已知甲乙丙的平均年齡分為37, 23, 41 .甲乙兩組人合起來(lái)的平均年齡為29;乙丙兩組人合起來(lái)的平均年齡為33.則這一群人的平均年齡為.【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】我愛(ài)數(shù)學(xué)夏令營(yíng)【解析】設(shè)甲乙丙三組分別有 x, v, z人，依提議有：37x +23y =29(x+y )(1)23y +41z =33(y +z )由化簡(jiǎn)可得x:y=3:4,由化簡(jiǎn)可得y: z = 4:5，所以x : y: z = 3: 4:5 ;因此，這一群人的平均年齡為37父3+23父4+41父5 =343 4 5【答案】3412

25、克，中號(hào)鋼珠每個(gè)重 8克，小號(hào)鋼珠每個(gè)重【題型】解答Jx y z =14|mni|iiH(1),(2) 一(1)父 5 ,彳12x 8y 5z =100仆1 (2)(2) (l) 5，【例13】14個(gè)大、中、小號(hào)鋼珠共重 100克，大號(hào)鋼珠每個(gè)重 5克.問(wèn)：大、中、小號(hào)鋼珠各有多少個(gè)？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【解析】設(shè)大、中、小號(hào)鋼珠分別有x個(gè)，y個(gè)和z個(gè)，則：7x+3y =30.可見(jiàn)7x是3的倍數(shù)，又是7的倍數(shù)，且小于30,所以只能為21,故x =3,代入得y =3, z=8.所以大、中、小號(hào)鋼珠分別有3個(gè)、3個(gè)和8個(gè).【答案】大、中、小號(hào)鋼珠分別有3個(gè)、3個(gè)和8個(gè)【鞏固】 袋

26、子里有三種球，分別標(biāo)有數(shù)字2, 3和5,小明從中摸出 12個(gè)球，它們的數(shù)字之和是 43.問(wèn)：小明最多摸出幾個(gè)標(biāo)有數(shù)字 2的球？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【解析】設(shè)小明摸出標(biāo)有數(shù)字 2, 3和5的球分別為x, y, z個(gè)，于是有4-x y z =12lH"ii|ii|i (1)2x 3y 5z =43川 I |IW(2)由 5M(1)(2),得 3x+2y=17|H|(3),由于x, y都是正整數(shù)，因此在 中，y取1時(shí).x取最大值5,所以小明最多摸出 5個(gè)標(biāo)有數(shù)字2的球.【答案】最多摸出 5個(gè)標(biāo)有數(shù)字2的球【例14】公雞1只值錢(qián)5,母雞一只值錢(qián)3,小雞三只值錢(qián)1

27、,今有錢(qián)100,買(mǎi)雞100只，問(wèn)公雞、母雞、小 雞各買(mǎi)幾只？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答x + y +z =100 【解析】設(shè)買(mǎi)公雞、母雞、小雞各 x、y、z只，根據(jù)題意，得方程組11由父3-,!5x +3y +- z = 1003得 14x+8y =200 ,即:數(shù)，故x只能為4、8、y=200 -14x=25_7x,因?yàn)閤、y為正整數(shù)，所以不難得出x應(yīng)為4的倍84以，方程組的特殊解為x =4! .(y =18,z =78只或8只、11只、81只或12只、【答案】公雞、母雞、小雞應(yīng)分別買(mǎi)4只、x = 8x =12|y=11, ly=4 ,所以公雞、母雞、小雞應(yīng)分別買(mǎi)4只

28、、18只、78z = 81 z = 844只、84只.18只、78只或8只、11只、81只或12只、4只、84只12,從而相應(yīng)y的值分別為18、11、4,相應(yīng)z的值分別為78、81、84 .所【鞏固】 小明玩套圈游戲，套中小雞一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分.小明共套了 10次，每次都套中了，每個(gè)小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分.問(wèn)：小明至多套中小雞幾次？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【解析】 設(shè)套中小雞x次，套中小猴y次，則套中小狗(10 x y )次.根據(jù)得61分可列方程： 9x+5y+2x(10xy) =61 ,化簡(jiǎn)后得7x =41 3y .顯

29、然y越小，x越大. 將 y=1代 入 得 7x=38,無(wú)整數(shù)解；若 y=2, 7x=35,解得x = 5,所以小明至多套中小雞 5次.【答案】小明至多套中小雞 5次【例15開(kāi)學(xué)前，寧寧拿著媽媽給的 30元錢(qián)去買(mǎi)筆，文具店里的圓珠筆每支4元，鉛筆每支3元.寧寧買(mǎi)完兩種筆后把錢(qián)花完.請(qǐng)問(wèn)：她一共買(mǎi)了幾支筆？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【解析】(法一)由于題中圓珠筆與鉛筆的數(shù)量都不知道，但總費(fèi)用已知，所以可以根據(jù)不定方程分析兩種筆的數(shù)量，進(jìn)而得解.設(shè)她買(mǎi)了 x支圓珠筆，y支鉛筆，由題意列方程：4x+3y=30,所以3y = 304x ,4x .y =10因?yàn)閤、y均為整數(shù)，所以

30、x應(yīng)該能被3整除，又因?yàn)?ExE7,所以x = 3或6,當(dāng)x=3時(shí), 3y =6 , x+y=9,當(dāng)x=6時(shí)，y =2 , x+y=8,寧寧共買(mǎi)了 9支筆或8支筆.(法二)換個(gè)角考慮：將 支圓珠筆和一支鉛筆”看成一對(duì)，分析寧寧可能買(mǎi)了幾對(duì)筆， 不妨設(shè)為m對(duì), 余下的一定是圓珠筆與鉛筆中的唯一一種.一對(duì)筆的售價(jià)為4+3 = 7元，由題意可知，1 <m M4 ,又m為整數(shù)(1)當(dāng)m=1時(shí)，余款為30-7=23,不能被3或4整除，這種情況不可能；(2)當(dāng)m=2時(shí)，余款為30-27=16,能被4整除，也就是說(shuō)配對(duì)后，余下 4支圓珠筆.此時(shí)， 寧寧買(mǎi)了 6支圓珠筆，2支鉛筆，共8支筆.(3)當(dāng)m=

31、3時(shí)，余款為30-3x7=9,能被3整除，也就是說(shuō)配對(duì)后，余下 3支圓珠筆.此時(shí)， 寧寧買(mǎi)了 3支圓珠筆，6支鉛筆，共9支筆.(4)當(dāng)m=4時(shí)，余款為30-4父7=2,不能被3或4整除，這種情況不可能，由上面的分析可 知，寧寧共買(mǎi)了 9支筆或8支筆.【答案】寧寧共買(mǎi)了 9支筆或8支筆【鞏固】 小華和小強(qiáng)各用6角4分買(mǎi)了若干支鉛筆，他們買(mǎi)來(lái)的鉛筆中都是5分一支和7分一支的兩種，而且小華買(mǎi)來(lái)的鉛筆比小強(qiáng)多.小華比小強(qiáng)多買(mǎi)來(lái)鉛筆多少支.【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】迎春杯，預(yù)賽【解析】設(shè)買(mǎi)5分一支的鉛筆 m支，7分一支的鉛筆n支.則：5><m+7Mn=64,

32、 64-7父n是5的倍數(shù).用 n=0, 1,2, 3, 4, 5,6,7, 8代入檢驗(yàn)，只有n =2 , 7滿足這一要求，得出相應(yīng)的 m = 10, 3.即小華買(mǎi)鉛筆10+2=12支，小強(qiáng)買(mǎi)鉛筆 7+3 =10支，小華比小強(qiáng)多買(mǎi) 2支.【答案】小華比小強(qiáng)多買(mǎi) 2支【例16】藍(lán)天小學(xué)舉行 迎春”環(huán)保知識(shí)大賽，一共有 100名男、女選手參加初賽，經(jīng)過(guò)初賽、復(fù)賽，最后確定了參加決賽的人選.已知參加決賽的男選手的人數(shù)，占初賽的男選手人數(shù)的20%;參加決賽的女選手的人數(shù)，占初賽的女選手人數(shù)的12.5%,而且比參加初賽的男選手的人數(shù)多.參加決賽的男、列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答20%;參加決

33、賽的女選手的人數(shù)，占初賽時(shí)5的倍數(shù)，參加初賽的女選手的人數(shù)應(yīng)是 8的女選手各有多少人?由于參加決賽的男選手的人數(shù)，占初賽的男選手人數(shù)的 女選手人數(shù)的12.5%,所以參加初賽的男選手人數(shù)應(yīng)是 倍數(shù).設(shè)參加初賽的男生為 5x人，參加初賽的女生為 8y人.根據(jù)題意可列方程：5x +8y =100 .x =12 x =4解得 ，或.y =5 y =10又因?yàn)?加決賽的女法手的人數(shù)，比參加決賽的男選手的人數(shù)多，也就是y要比x大，所以第一組解不合適，只有 x=4, y =10滿足.故參加決賽的男選手為 4人，女選手為10人.【答案】男選手為4人，女選手為10人【鞏固】 今有桃95個(gè)，分給甲、乙兩班學(xué)生吃，

34、甲班分到的桃有 2是壞的，其他是好的；乙班分到的桃有 2 916是壞的，其他是好的.甲、乙兩班分到的好桃共有幾個(gè)？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【解析】甲班分到的桃是9的倍數(shù)，乙班分到的桃是16的倍數(shù)，假設(shè)甲班分到桃9x個(gè)，乙班分到桃16y個(gè).于 是：9x+16y=95,解得x =7 , y =2 ,即甲班分到桃9父7=63(個(gè))，乙班分到桃16父2 = 32(個(gè)).所 以，兩班共分到好桃63 M(1 |)+32父(11) =75 (個(gè)).【答案】?jī)砂喙卜值胶锰?75個(gè)【例17】甲、乙兩人各有一袋糖，每袋糖都不到20粒.如果甲給乙一定數(shù)量的糖后，甲的糖就是乙的 2倍;如果乙

35、給甲同樣數(shù)量的糖后，甲的糖就是乙的3倍.甲、乙兩人共有多少粒糖？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【解析】設(shè)甲、乙原有糖分別為 x粒、y粒，甲給乙的數(shù)量為 z粒，則依題意有：卜-z=2(y+z)且卜<20 整理；x-yfhlllM。)x z =3(y -z) 'y <20x3y 4z=0"H|l(2)由得x =2y +3z,代入 得7z y =0 ,即y =7z .因 y <20 ,故 z=1 或 z=2.若 z=2 ,則 y =14 , x=2M14+3M2=34>20,不合題意.因而z =1 ,對(duì)應(yīng)方程組有唯一解 x=17, y=7

36、, z=1.則甲、乙共有糖17+7=24粒.【答案】甲、乙共有糖 24粒【鞏固】 有兩小堆磚頭，如果從第一堆中取出100塊放到第二堆中去，那么第二堆將比第一堆多一倍.如果相反，從第二堆中取出若干塊放到第一堆中去，那么第一堆將是第二堆的6倍.問(wèn)：第一堆中的科頭最少有多少塊？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【解析】設(shè)第一堆磚有x塊，則根據(jù)第一個(gè)條件可得第二堆磚有(2x-300 )塊.再設(shè)從第二堆中取出 y塊放在第一堆后，第一堆將是第二堆的6倍，可列方程：x+y =6 秋2x-300 -y ),化簡(jiǎn)得 7y +1800 =11x,那么 x=(7y+1800 /11 =163+7y&

37、#177; .11因?yàn)閤是整數(shù)，7與11互質(zhì)，所以(y+1)應(yīng)是11的倍數(shù)，y最小是10,推知x最小是7 10 1163 + /=163 +7 =170,所以，第一堆中的磚頭最少有170塊.11【答案】第一堆中的磚頭最少有170塊【例18】甲乙丙三個(gè)班向希望工程捐贈(zèng)圖書(shū)，已知甲班有1人捐6冊(cè)，有2人各捐7冊(cè)，其余都各捐11冊(cè)，乙班有1人捐6冊(cè)，3人各捐8冊(cè)，其余各捐10冊(cè)；丙班有2人各卷4冊(cè)，6人各捐7冊(cè)，其余各捐 9冊(cè)。已知甲班捐書(shū)總數(shù)比乙班多28冊(cè)，乙班比丙班多101冊(cè)，各班捐書(shū)總數(shù)在 400冊(cè)與550冊(cè)之間，問(wèn)各班各有多少人？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】華

38、杯賽，復(fù)賽【解析】我們?cè)O(shè)甲班有x人，乙班有y人，丙班有z人，那么三個(gè)班的捐書(shū)數(shù)目分別為：11(x -3) -+6 +7 +7 =11x13 ,10(y -4) +6+8M3=10y 10,9(z -8) +4x2+7 父6 =9z 22 ,11x -13= 10y -102811x=10y 31根據(jù)題意有：') ，即有 ,10y -10 =(9z -22) 10110y =9z - 89又因?yàn)楦靼嗟木钑?shū)數(shù)目都在400到550之間，因此我們知道：捐書(shū)最多的甲班有11x-13M550,而捐書(shū)最少的丙班有 9z-22>400,從而有 563 2 11x=10y+31=(9z+89) +

39、 31422 +89+31=542,于是有52>x>49,所以有x=50或51。經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)x=50時(shí)，y不是整數(shù)，而當(dāng) x = 51 時(shí)，有y=53,z=49,也就是說(shuō)，甲乙丙三班人數(shù)分別為51, 53 , 49。【答案】甲乙丙三班人數(shù)分別為51, 53, 4917分、【例19在新年聯(lián)歡會(huì)上，某班組織了一場(chǎng)飛鏢比賽.如右圖，飛鏢的靶子分為三塊區(qū)域，分別對(duì)應(yīng)11分和4分.每人可以扔若干次飛鏢，脫靶不得分，投中靶子就可以得到相應(yīng)的分?jǐn)?shù).若恰好投在兩塊(或三塊)區(qū)域的交界線上，則得兩塊 (或三塊)區(qū)域中分?jǐn)?shù)最高區(qū)域的分?jǐn)?shù).如果比賽規(guī)定恰好投中120分才能獲獎(jiǎng)，要想獲獎(jiǎng)至少需要投中次飛鏢.

40、14【題型】解答【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【關(guān)鍵詞】迎春杯，高年級(jí)組，復(fù)賽【解析】 假設(shè)投中17分、11分、4分的次數(shù)分別為x次、y次和z次，那么投中飛鏢的總次數(shù)為 (x + y+z)次, 而總得分為17x+11y+4z分，要想獲獎(jiǎng)，必須 17x+11y+4z=120 .由于17x<120,得到x<6 .當(dāng)x的值一定后，要使(x+y+z屏小，必'須使y盡可能大.若x=6 ,得到11y +4z =18 ,此時(shí)無(wú)整數(shù)解；若 x =5 ,得至 U 11y +4z =35 ,此時(shí) y=1, z=6, x+y+z =5+1+6 = 12;若x=4,得到11y+4z=52,此時(shí)y最大為

41、4,當(dāng)丫=4時(shí)2=2,這種情況下x+y+z =10;若 x=3,得至U 11y +4z=69,此時(shí) y=3, z=9, x+y+z =3+3+9 = 15 ;若x=2,得到11y+4z=86,此時(shí)y最大為6,當(dāng)丫=6時(shí)2=5,這種情況下x + y + z =13;若x=1,得至1111y+4z =103 ,此時(shí)y最大為9,當(dāng)丫=9時(shí)2 = 1,這種情況下x + y + z =11;若x=0,得到11y+4z =120 ,此時(shí)y最大為8,當(dāng)丫=8時(shí)2=8,這種情況下 x + y+z =16. 經(jīng)過(guò)比較可知(x+y+z )的值最小為10,所以至少需要投中 10次飛鏢才能獲獎(jiǎng).【答案】至少需要投中

42、10次飛鏢才能獲獎(jiǎng)模塊三、不定方程與生活中的應(yīng)用題【例20】某地用電收費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)是：若每月用電不超過(guò)50度，則每度收5角；若超過(guò)50度，則超出部分按每度8角收費(fèi).某月甲用戶比乙用戶多交 3元3角電費(fèi)，這個(gè)月甲、乙各用了多少度電？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【解析】3元3角即33角，因?yàn)?3既不是5的倍數(shù)又不是8的倍數(shù)，所以甲、乙兩用戶用電的情況一定是一個(gè)超過(guò)了 50度，另一個(gè)則沒(méi)有超過(guò).由于甲用戶用電更多，所以甲用戶用電超過(guò)50度，乙用戶用電不足50度.設(shè)這個(gè)月甲用電（50+x四，乙用電（50y）度.因?yàn)榧妆纫叶嘟?33角電費(fèi)，所以有 8x+5y=33.容易看出x =1 ,

43、 y=5,可知甲用電51度，乙用電45度.【答案】甲用電51度，乙用電45度【鞏固】 某區(qū)對(duì)用電的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定如下：每月每戶用電不超過(guò)10度的部分，按每度0.45元收費(fèi)；超過(guò)10度而不超過(guò)20度的部分，按每度 0.80元收費(fèi)；超過(guò)20度的部分按每度1.50元收費(fèi).某月甲用戶比乙 用戶多交電費(fèi)7.10元，乙用戶比丙用戶多交 3.75元，那么甲、乙、丙三用戶共交電費(fèi)多少元？（用電都按整度數(shù)收費(fèi)）【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【解析】由于丙交的電費(fèi)最少，而且是求甲、乙電費(fèi)的關(guān)鍵，先分析一下他的用電度數(shù).因?yàn)橐矣脩舯缺?戶多交3.75元，所以二者中必有一個(gè)用電度數(shù)小于10度（否則

44、差中不會(huì)出現(xiàn)0.05元），丙用電少，所以丙用電度數(shù)小于10度，乙用電度數(shù)大于10度，但是不會(huì)超過(guò) 20度（否則甲、乙用電均超過(guò) 20度， 其電費(fèi)差應(yīng)為1.50的整數(shù)倍，而不會(huì)是 7.10元）.設(shè)丙用電（10x）度，乙用電（10+y）度，由題意得：0.45x 0.8y =3.759x 16y =759x =75 -16y75 16y所以y是3的倍數(shù)，又x,y均為整數(shù)，且都大于 0小于1075 -16 3 所以 y =3 , x =39所以丙用電10 3= 7度，交電費(fèi)0.45 M 7 3.15 ;乙交電費(fèi)3.15+ 3.756.90 ,甲交電費(fèi)6.90+7.10 =14.00元，三戶共交電費(fèi) 3

45、.15+6.90 + 14.00 = 24.05元.【答案】三戶共交電費(fèi) 24.05元甲公司每月付給他薪金 470元，乙公司每月付給7620元.他在甲公司打工 個(gè)月，在乙公【題型】解答【例21】馬小富在甲公司打工， 幾個(gè)月后又在乙公司兼職, 他薪金350元.年終，馬小富從兩家公司共獲薪金 司兼職 個(gè)月.【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【解析】設(shè)馬小富在甲公司打工a月，在乙公司兼職 b月（ab, a、b都是不大于12的自然數(shù)），則有470a + 350b = 7620,化簡(jiǎn)得47a +35b=762 .若b為偶數(shù)，則35b的末位數(shù)字為0 ,從而47 a的末位數(shù)字必為2,這時(shí)a=6 .但a=

46、6時(shí)，b =480不是整數(shù)，不合題意，所以 b必為奇數(shù).b為奇數(shù)時(shí)， 3535b的末位數(shù)字為5 ,從而47a的末位數(shù)字為7, a =1或a =11 .但a = 1時(shí)容易看出a<b,與ab矛盾.所以，a =11,代入得b=（76247父11/35=7 .于是馬小富在甲公司打工 11個(gè)月，在乙公司兼職 7個(gè)月.【答案】在甲公司打工11個(gè)月，在乙公司兼職 7個(gè)月【例22】甲、乙、丙、丁、戊五人接受了滿分為10分（成績(jī)都是整數(shù)）的測(cè)驗(yàn).已知：甲得了 4分，乙得了最高分，丙的成績(jī)與甲、丁的平均分相等，丁的成績(jī)剛好等于五人的平均分，戊比丙多2分.求乙、丙、丁、戊的成績(jī).【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難

47、度】3星【題型】解答【解析】法一：方程法. 設(shè)丁的分?jǐn)?shù)為 x分，乙的分?jǐn)?shù)為 y分，那么丙的分?jǐn)?shù)為 左3分，戊的分?jǐn)?shù)為2x 1 4"，有 5x=4 x+ y,所以x 4 x 8 . .一 .J +2 =工8分，根據(jù) 丁的成績(jī)剛好等于五人的平均分3x =10 +y .因?yàn)?x <y w 10 ,所以 3x =10 + y w 10 +10 =20 , 3x =10 +y >10+x ,得至U 5<x< , 3故x =6,代入得y=8.所以丁得6分，丙得5分，戊得7分，乙得8分.法二：推理法.因?yàn)槎槲迦说钠骄郑远〔皇浅煽?jī)最低的；丙的成績(jī)與甲、丁的平均分相等，

48、所以丙在甲與丁之間；又因?yàn)槲旌鸵叶急缺某煽?jī)高，所以乙、丙、丁、戊都不是最低分，那么甲的成績(jī)是最低的.因?yàn)榧资?4分，所以丁可能是 6分或8分（由丙的成績(jī)與甲、丁的平均分相等知丁 的得分是偶數(shù)），經(jīng)檢驗(yàn)丁得8分時(shí)與題意不符，所以丁得 6分，則丙得5分，戊得7分，乙得8分. 【答案】丁得6分，則丙得5分，戊得7分，乙得8分【鞏固】 有兩個(gè)學(xué)生參加4次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，他們的平均分?jǐn)?shù)不同， 但都是低于90分的整數(shù).他們又參加了第 5 次測(cè)驗(yàn)，這樣5次的平均分?jǐn)?shù)都提高到了 90分.求第5次測(cè)驗(yàn)兩人的得分.（每次測(cè)驗(yàn)滿分為100 分）【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【解析】設(shè)某一學(xué)生前4次的

49、平均分為x分，第5次的得分為y分，則其5次總分為4x+y = 90x5 =450,于是 y =450 4x ,顯然 90 <y< 100,故 90<450-4x< 100,解得 87.5< x<90.由于x為整數(shù)，可能為88和89,而且這兩個(gè)學(xué)生前 4次的平均分不同， 所以他們前4次的平均分分另為88分和89分，那么他們第 5次的得分分別為：45088父4 = 98分；45089x4 = 94分.【答案】第5次的得分分別為：45088x4=98分；45089父4=94分【例23】小明、小紅和小軍三人參加一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，一共有100道題，每個(gè)人各解出其中的題三人

50、都解出來(lái)了，我們稱之為題只有一人解出來(lái)，我們稱之為容易題”；有些題只有兩人解出來(lái)，我們稱之為60道題，有些中等題”；有些難題”.已知每個(gè)題都至少被他們中的一人解出，則難題比容易題多道.【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【解析】設(shè)容易題、中等題和難題分別有x道、y道、【題型】填空z港則aIM端著"2 一得2x+2y+2z（3x+2y+z） =200 180 ,即z-x=20,所以難題比容易題多20道.【答案】難題比容易題多20道【例24】甲、乙兩個(gè)同學(xué)在一次數(shù)學(xué)擂臺(tái)賽中，試卷上有解答題、選擇題、填空題各若干個(gè)，而且每個(gè)小 題的分值都是自然數(shù).結(jié)果公布后，已知甲做對(duì)了5道解答題，7道

51、選擇題，9道填空題，共得52分；乙做對(duì)了 7道解答題，9道選擇題，11道填空題，共得68分.問(wèn)：解答題、選擇題、填空題 的每道小題各多少分？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答5x 7y 9z = 52, 一【解析】設(shè)每道解答題為 x分，每道選擇題為 y分，每道填空題為 z分，有 y，解得7x 9y 11z = 68y +2z =6.因?yàn)閥、z者B是自然數(shù)，而且不為 0,所以有y = 2 , z=2 ,或者y = 4 , z = 1 .分別代入原方程解得x=4或者x=3.所以解答題、選擇題、填空題的每道小題的分?jǐn)?shù)分別為4分、2分、2分或者3分、4分、1分.【答案】每道小題的分?jǐn)?shù)分別為4分、2分、2分或者3分、4分、1分【例25】甲乙丙三人參加一個(gè)共有 30個(gè)選擇題的比賽，計(jì)分辦法是在30分的基礎(chǔ)上，每答對(duì)一題加 4分，答錯(cuò)一題扣1分，不答既不扣分也不加分.