1、2023課標版（文理）數學高考第一輪專題練習第十章圓錐曲線與方程第一講橢圓 1.2022豫北名校聯考已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點為A,上頂點為B,右焦點為F,且ABF是等腰三角形,則橢圓C的離心率為()A.5-12B.3-12C.3-1D.5-12.2022山東省部分重點中學綜合考試已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F,橢圓上的兩點P,Q關于原點對稱,若|PF|+|QF|=6,且橢圓C的離心率為13,則橢圓C的方程為()A.x29+y28=1B.x23+y22=1C.x26+y24=1D.x29+y23=13.2021

2、八省市新高考適應性考試橢圓x2m2+1+y2m2=1(m>0)的焦點為F1,F2,上頂點為A,若F1AF2=3,則m=()A.1B.2C.3D.24.2021福建三明一中5月模擬以橢圓x24+y23=1內一點P(1,1)為中點的弦所在的直線方程是()A.4x+3y-7=0B.3x+4y-7=0C.3x+2y-(2+3)=0D.2x+3y-(2+3)=05.2021山西太原第五中學二模已知兩定點F1(-1,0),F2(1,0)和一動點P,若|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等差中項,則動點P的軌跡方程為()A.x216+y29=1B.x24+y23=1C.x216y29=1D.y24+

3、x23=16.2021河北張家口5月三模已知F是橢圓x2+y22=1的下焦點,過點F的直線l與橢圓交于A,B兩點,O為坐標原點,則AOB面積的取值范圍是()A.(0,12 B.(12,22C.(0,22 D.22,17.2019全國卷理設F1,F2為橢圓C:x236+y220=1的兩個焦點,M為C上一點且在第一象限.若MF1F2為等腰三角形,則M的坐標為. 8.2022廣西模擬橢圓C:x218+y2b2=1(0<b<32)的上、下頂點分別為A,C,如圖10-1-1,點B在橢圓上,平面四邊形ABCD滿足BAD=BCD=90°,且SABC=2SADC,則該橢圓的短軸

4、長為. 圖10-1-19.2022南昌市模擬已知橢圓C:x24+y23=1,F1,F2分別為橢圓的左、右焦點,O為坐標原點,P為橢圓上任意一點.(1)若|PF1|-|PF2|=1,求PF1F2的面積;(2)斜率為1的直線與橢圓相交于A,B兩點,OAOB,求直線AB的方程.10.2022南充市模擬橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率e=32,A,B分別為橢圓E的左、右頂點,P為橢圓E上任意一點,PAB面積的最大值為2.(1)求橢圓E的方程;(2)過點F(1,0)且斜率不為零的直線交橢圓E于M,N兩點,過點M作直線x=4的垂線,垂足為H,證明:直線HN與x軸的

5、交點為定點.11.2022安徽名校聯考已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1(-c,0),F2(c,0).若橢圓C上存在一點P,使得 sinPF2F1sinPF1F2=ca,則橢圓C的離心率e的取值范圍為()A.(0,22)B.(22,1)C.(2-1,1)D.(0,2-1)12.2021山西運城模擬情境創新根據規劃,國家體育場(鳥巢)是2022年第13屆冬季殘疾人奧林匹克運動會比賽場館之一.國家體育場的鋼結構鳥瞰圖如圖10-1-2所示,內、外兩圈鋼骨架的俯視圖可視作離心率相同的橢圓,若由外層橢圓長軸一端點A和短軸一端點B分別向內層橢圓引切線AC,B

6、D(如圖10-1-3),且兩切線斜率之積等于-916,則橢圓的離心率為()圖10-1-2圖10-1-3A.34 B.74 C.916 D.3213.多選題已知橢圓 C:x25+y2b2=1(0<b<5) 的左、右焦點分別為 F1,F2,點 P 在橢圓上,點 Q 是圓 x2+(y-4)2=1 關于直線 x-y=0 對稱的曲線 E 上任意一點,若 |PQ|-|PF2| 的最小值為 5-25,則下列說法正確的是() A.橢圓 C 的焦距為2B.曲線 E 過點 F2 的切線斜率為±33C.若 A,B 為橢圓 C 上關于原點對稱的異于頂點和點 P 的兩點,則直線 PA 與 PB 斜

7、率之積為-15D.|PQ|+|PF2| 的最小值為214.2021全國卷甲理已知F1,F2為橢圓C:x216+y24=1的兩個焦點,P,Q為C上關于坐標原點對稱的兩點,且|PQ|=|F1F2|,則四邊形PF1QF2的面積為. 15.2022廣西名校聯考已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,P為第二象限內橢圓上的一點,連接PF2交y軸于點N,若PF1·PF2=0,|F1F2|=4|ON|,其中O為坐標原點,則橢圓的離心率為. 16.2022成都市模擬已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、

8、右焦點分別為F1,F2,點P在橢圓C上,|PF1|=2,F1PF2=3,且橢圓C的離心率為12.(1)求橢圓C的方程;(2)設直線l:y=kx+m(m0)與橢圓C相交于A,B兩點,O為坐標原點,求OAB面積的最大值.17.2021廣東佛山石門中學模擬與立體幾何綜合如圖10-1-4,圓柱OO1的軸截面ABB1A1是正方形,D,E分別是AA1和BB1的中點,C是弧AB的中點,則經過C,D,E的平面與圓柱OO1側面相交所得到的曲線的離心率是()A.1B.22C.2D.62圖10-1-418.2021北京豐臺區二模新定義題如圖10-1-5,將半橢圓x2a2+y2b2=1(x0)與半橢圓y2b2+x2c

9、2=1(x<0)組成的曲線稱為“果圓”,其中a2=b2+c2,a>b>c>0.A1,A2和B1,B2分別是“果圓”與x軸和y軸的交點.給出下列三個結論:圖10-1-52c<a<2b;若|A1A2|=|B1B2|,則abc=543;若“果圓”在y軸右側部分上存在點P,使得A1PA2=90°,則12<ca<5-12.其中,正確結論的序號是()A.B.C.D.第二講雙曲線1.2020浙江高考已知點O(0,0),A(-2,0),B(2,0).設點P滿足|PA|-|PB|=2,且P為函數y=34x2圖象上的點,則|OP|=()A.222B.410

10、5C.7D.102.2022貴州模擬設雙曲線C:x24a2-y2=1(a>0)與直線l:x+y=1相交于兩個不同的點,則雙曲線C的離心率e的取值范圍是()A.(2,+)B.(62,2)(2,+)C.(62,+)D.(62,2)3.2022海口市名校聯考已知雙曲線C:x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為103,雙曲線上的點到焦點的最小距離為10-3,則雙曲線上的點到點A(5,0)的最小距離為()A.1 B.2C.62 D.64.2021廣州二模多選題過雙曲線C:x24-y2=1的左焦點F作直線l交C于A,B兩點,則下列說法正確的是()A.若|AB|=1,則直線l只有

11、1條B.若|AB|=2,則直線l有2條C.若|AB|=3,則直線l有3條D.若|AB|=4,則直線l有3條5.2021南京市三模開放題寫出一個離心率為5,漸近線方程為y=±2x的雙曲線方程: . 6.2022安徽名校聯考已知雙曲線 x225y25=1上一點P到其左焦點F的距離為8,則PF的中點M到坐標原點O的距離為. 7.2021浙江5月新高考模擬已知雙曲線C:x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F,虛軸的上端點為B,點P,Q為C上兩點,點M(-2,1)為弦PQ的中點,且PQBF,記雙曲線的離心率為e,則e2=. 8.如圖10-2

12、-1,雙曲線E:x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過坐標原點的直線交E于P,Q兩點,PF2F2Q,且SPF2Q=12a2,|F2Q|-|PF2|=4,則雙曲線E的虛軸長為. 圖10-2-19.2021陜西咸陽5月模擬已知雙曲線C:y2a2x2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2,且經過A(0,2).(1)求雙曲線C的方程.(2)若過點B(2,0)的直線交雙曲線C于x軸下方不同的兩點P,Q,設PQ中點為M,求三角形BOM(O為坐標原點)面積的取值范圍.10.2022豫北名校聯考雙曲線C:x2a2y2b2=1(a>0,b&

13、gt;0)的左、右焦點分別為F1,F2,過F1的直線與雙曲線C的右支在第一象限的交點為A,與y軸的交點為B,且B為AF1的中點,若ABF2的周長為6a,則雙曲線C的漸近線方程為()A.y=±3xB.y=±2xC.y=±32xD.y=±22x11.2022武漢市部分學校質檢設雙曲線E:x2-y23=1的左、右焦點分別為F1,F2,左頂點為A,點M是雙曲線E在第一象限內的一點,直線MF1交雙曲線E的左支于點N,若NAMF2,則|MF2|=()A.74 B.52C.83 D.11412.2022西安復習檢測已知雙曲線x2a2y2b2=1(a>0,b>

14、;0)的左、右焦點分別為F1,F2,過F2的直線交雙曲線于M,N兩點(M在第一象限),若MF1F2的內切圓半徑與NF1F2的內切圓半徑之比為32,則直線MN的斜率為()A.6 B.26C.3 D.2313.2021太原5月三模已知點F是雙曲線x24y25=1的左焦點,過原點的直線l與該雙曲線的左、右兩支分別相交于點A,B,則1|FA|9|FB|的取值范圍是()A.-1,0)B.-45,0)C.-2,1)D.-1,+)14.2021湖南長郡中學二模設F1,F2是雙曲線C:x24y28=1的兩個焦點,O為坐標原點,點P在C的左支上,且OF1·OP|OP|+F1P·OP|OP|=

15、2 3,則PF1F2的面積為()A.2B.43C.8 D.8315.2022鄭州一模雙曲線C:x2a2y2b2=1(a>0,b>0)與拋物線y2=8x有共同的焦點F2,雙曲線左焦點為F1,點P是雙曲線右支上一點,過F1向F1PF2的平分線作垂線,垂足為N,|ON|=1,則雙曲線的離心率是. 16.2022重慶巴蜀中學開學考試已知雙曲線C:x2a2y2b2=1(a>0,b>0),直線y=33(x+c)與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A,B,若AOB是銳角三角形,O為坐標原點,則雙曲線C的離心率e的取值范圍是. 17.2021八省市新高考適應性考試雙曲線C

16、:x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的左頂點為A,右焦點為F,動點B在C上.當BFAF時,|AF|=|BF|.(1)求C的離心率;(2)若B在第一象限,證明:BFA=2BAF.18.2021合肥市三檢情境創新如圖10-2-2所示,上部分為一個油桃園.每年油桃成熟時,園主都要雇傭工人采摘,然后沿兩條路徑將采摘好的油桃迅速運送到水果集散地C處銷售.路徑1:先將油桃集中到A處,再沿公路AC運送;路徑2:先將油桃集中到B處,再沿公路BC運送.已知|AC|=3 km,|BC|=4 km.為了減少運送時間,園主在油桃園中畫定了一條界線,使得位于界線一側的采摘工按路徑1運送路程較近,另一側的

17、采摘工按路徑2運送路程較近.若這條界線是曲線E的一部分,則曲線E為()A.圓 B.橢圓C.雙曲線D.拋物線圖10-2-219.2022海南高三模擬已知數列an,bn中各項均為正數,且bn是公差為2的等差數列,若點Pn(an,bn)(nN*)均在雙曲線C:x2-y24=1上,則an+1-an的取值范圍是. 第三講拋物線1.2021新高考卷若拋物線y2=2px(p>0)的焦點到直線y=x+1的距離為2,則p=() A.1 B.2C.22D.42.2022南昌市模擬設F為拋物線C:x2=16y的焦點,直線l:y=-1,點A為C上任意一點,過點A作APl于P,則|AP|-|AF|=()

18、A.3 B.4C.2 D.不能確定3.2022甘肅九校聯考設O為坐標原點,A,B是拋物線C:x2=2py(p>0)與圓E:x2+(y-8)2=r2(r>0)關于y軸對稱的兩個交點,若|AB|=|OA|=r,則p=()A.4 B.2 C.43D.234.2022T8聯考如圖10-3-1,拋物線C:y2=4x的焦點為F,直線l與C相交于A,B兩點,l與y軸相交于點E,已知|AF|=7,|BF|=3,記AEF的面積為S1,BEF的面積為S2,則()A.S1=2S2 B.2S1=3S2C.S1=3S2 D.3S1=4S2圖10-3-15.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F

19、,傾斜角為45°的直線l過點F,若C上恰存在3個不同的點到l的距離為22,則C的準線方程為()A.x=-1B.x=-2C.x=-3D.x=-46.2022西安復習檢測過點M(p,0)作傾斜角為150°的直線與拋物線C:y2=2px(p>0)交于A,B兩點,若|AB|=210,則|AM|·|BM|的值為()A.4 B.42C.210D.457.2021沈陽市第三次質量監測一條傾斜角為60°的直線與拋物線y2=4x交于A,B兩點,設弦AB的中點為C.過C作平行于x軸的直線交拋物線于點D,則以D為切點的拋物線的切線的斜率為()A.13 B.23C.3D.

20、338.2021洛陽市第三次統考設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點P(4,m)(m>0)是拋物線C上一點,且|PF|=5.(1)求拋物線C的方程.(2)若A,B為拋物線C上異于P的兩點,且PAPB.記點A,B到直線y=-4的距離分別為a,b,求證:ab為定值.9.2022長春市質量監測已知M是拋物線y2=4x上的一點,F是拋物線的焦點,若xFM=60°,則|FM|等于() A.2 B.433 C.23 D.410.2022成都市模擬設拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,準線為l,過拋物線上一點A作l的垂線,垂足為B,設C(2p,0),AF與BC相交

21、于點D.若|CF|=|AF|,且ACD的面積為22,則點F到準線l的距離是()A.2B.3C.423D.43311.2022山東青島模擬如圖10-3-2,拋物線E:x2=4y與圓M:x2+(y-1)2=16交于A,B兩點,點P為劣弧AB上不同于A,B的一個動點,平行于y軸的直線PN交拋物線E于點N,則PMN的周長的取值范圍是()A.(6,12)B.(8,10)C.(6,10)D.(8,12)圖10-3-212.2021貴州貴陽一中5月模擬已知拋物線C:y=14x2,過拋物線焦點的直線交拋物線于A,B兩點,若直線AO,BO(O為坐標原點)分別交直線y=x-2于E,F兩點,則|EF|的最小值為()

22、A.253 B.823C.12825D.82513.多選題已知點M(2,-2)在拋物線x2=2py(p>0)的準線上,F是拋物線的焦點,過點M的兩條直線分別與拋物線相切于點A,B,直線MF交直線AB于點E,則下列結論正確的是()A.拋物線的方程為x2=4yB.直線AB的方程為x-2y+4=0C.AM·BM=0D.|ME|2=|AE|·|BE|14.2021江蘇鹽城中學5月模擬已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F到其準線的距離為4,圓M:(x-2)2+y2=1,過F的直線l與拋物線C和圓M從上到下依次交于A,P,Q,B四點,則|AP|+4|BQ|的最小值為

23、. 15.2022安徽名校聯考已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,過點F且垂直于x軸的直線與拋物線C交于A,B兩點,AOB(點O為坐標原點)的面積為2.(1)求拋物線C的方程;(2)若過點E(0,a)(a>0)的兩直線l1,l2的傾斜角互補,直線l1與拋物線C交于M,N兩點,直線l2與拋物線C交于P,Q兩點,FMN與FPQ的面積相等,求實數a的取值范圍.16.角度創新已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,點P滿足OP=OF(O為坐標原點),若過點O作互相垂直的兩弦OA,OB,則當弦AB恒過點P時,的所有可能取值的集合為()A.4B.3C.14,4,

24、3D.13,3,417.2021江西七校聯考已知O為坐標原點,拋物線C:y2=2px上一點A到焦點F的距離為4,若點M為拋物線C準線上的動點,給出下列說法:當MAF為正三角形時,p的值為2;存在點M,使得MAMF=0;若MF=3FA,則p=3;若|OM|+|MA|的最小值為213,則p=4或12.其中正確的是()A.B.C. D.第四講圓錐曲線的綜合問題1.創新題在ABC中,B(-2,0),C(2,0),A(x,y),給出ABC滿足的條件,就能得到動點A的軌跡方程.下表給出了一些條件及方程:條件方程ABC周長為10C1:y2=25ABC面積為10C2:x2+y2=4(y0)ABC中,A=90&

25、#176;C3:x29+y25=1(y0)則滿足條件,的軌跡方程依次為()A.C3,C1,C2B.C1,C2,C3C.C3,C2,C1D.C1,C3,C22.2021天津高考已知雙曲線x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點與拋物線y2=2px(p>0)的焦點重合,拋物線的準線交雙曲線于A,B兩點,交雙曲線的漸近線于C,D兩點,若|CD|=2|AB|,則雙曲線的離心率為()A.2B.3C.2D.33.2021沈陽市第三次質量監測已知圓錐曲線C:x2t+1+y2t=1(tR,t0,t-1)上滿足|OM|=1(O為坐標原點)的點M共有4個,則此圓錐曲線C的離心率在下面的四個

26、選項中不可能取的值為()A.3B.2C.32D.224.2022甘肅九校聯考已知中心在坐標原點O,焦點在x軸上,離心率為32的橢圓C過點(3,12).(1)求C的標準方程.(2)是否存在不過原點O的直線l:y=kx+m與C交于P,Q兩點,使得直線OP,PQ,OQ的斜率成等比數列?若存在,求k的值及m的取值范圍;若不存在,請說明理由.5.2022海口市名校聯考已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F(1,0),且過點A(-2,0).(1)求C的方程;(2)點P,Q分別在C和直線x=4上,OQAP(O為坐標原點),M為AP的中點,求證:直線OM與直線QF的交點在某定

27、曲線上.6.2021重慶5月聯合診斷已知圓E:(x+1)2+y2=16和點F(1,0),動圓M經過點F,且與圓E內切.(1)求動圓的圓心M的軌跡C的方程;(2)設點P(4,t)(t0)關于點F的對稱點為P,直線PE與軌跡C交于A,B兩點,若ABP的面積為352,求t的值.7. 2021浙江高考如圖10-4-1,已知F是拋物線y2=2px(p>0)的焦點,M是拋物線的準線與x軸的交點,且|MF|=2.()求拋物線的方程;()設過點F的直線交拋物線于A,B兩點,若斜率為2的直線l與直線MA, MB, AB, x軸依次交于點P,Q,R,N,且滿足|RN|2=|PN|·|QN|,求直線

28、l在x軸上截距的取值范圍.圖10-4-18.2022山東省部分重點中學綜合考試已知雙曲線的方程為x2a2y2b2=1(a>0,b>0),F1,F2分別為雙曲線的左、右焦點,雙曲線的離心率為2,點P為雙曲線在第一象限上的一點,且滿足PF1·PF2=0,|PF1|·|PF2|=6.(1)求雙曲線的標準方程;(2)過點F2作直線l交雙曲線于A,B兩點,則在x軸上是否存在定點Q(m,0),使得QA·QB為定值?若存在,請求出m的值和該定值;若不存在,請說明理由.9.2021哈爾濱九中第五次模擬設F1,F2分別是橢圓x25+y24=1的左、右焦點. (1)若P是

29、該橢圓上的一個動點,求PF1·PF2的最大值與最小值;(2)是否存在過點A(5,0)的直線l與橢圓交于不同的兩點C,D,使得|F2C|=|F2D|?若存在,求直線l的方程;若不存在,請說明理由.10.2021沈陽市第三次質量監測已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點和上頂點分別為點F(c,0)(b>c>0)和點A,直線6x-5y-14=0交橢圓于B,C兩點,且F恰好為ABC的重心.(1)求橢圓的離心率;(2)拋物線y2=2px的焦點是F,P為拋物線準線上任一點,過點P作拋物線的切線PD,PE,切點分別為D,E,直線x=0與直線PD,PE分別交于M

30、,N兩點,點M,N的縱坐標分別為m,n,求mn的值.11.與數列綜合已知拋物線G:y2=2px(p>0),其焦點為F,過點F的直線l交拋物線G于A,B兩點,交拋物線G的準線于點C.當點F恰好是線段AC的中點時,|BC|=83.(1)求拋物線G的方程;(2)點O是坐標原點,設直線OA,OB的斜率分別為k1,k2,直線l的縱截距為1,此時數列an滿足a1=1,k1+k2=-16an+1+(4an+2)2.設數列an1+an的前n項和為Sn,已知存在正整數m,使得m<S2 020<m+1,求m的值.答 案第十章圓錐曲線與方程第一講橢圓 1.B由題意知|AB|>|BF|,|AF

31、|>|BF|,故|AB|=|AF|,即a2+b2=a+c,所以2a2-c2=a2+2ac+c2,即2c2+2ac-a2=0,即2e2+2e-1=0,解得e=3-12(負值舍去),故選B.2.A由橢圓的定義及橢圓的對稱性可得|PF|+|QF|=2a=6,所以a=3.由橢圓C的離心率為13,得a2-b2a=13,所以b2=8,故橢圓C的方程為x29+y28=1,故選A.3.C如圖D 10-1-1所示,由題意可得AF1F2為等邊三角形,且|F1F2|=2m2+1m2=2,所以|AF1|=m2+1=2,解得m=3,故選C.圖D 10-1-14.B設過點P(1,1)的直線交橢圓于A(x1,y1),

32、B(x2,y2)兩點,則x124+y123=1,x224+y223=1,-,得(x1+x2)(x1-x2)4+(y1+y2)(y1-y2)3=0.(點差法)由題意得x1+x2=2,y1+y2=2,所以上式等價于x1-x22+2(y1-y2)3=0.又x1x2,等式兩邊同時除以2(x1-x2)得14+13×y1-y2x1-x2=0,所以弦所在直線的斜率k=y1-y2x1-x2=-34.所以所求直線方程為y-1=-34(x-1),即3x+4y-7=0.故選B.5.B由題意得|F1F2|=2,|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等差中項,2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,即|PF1

33、|+|PF2|=4,且 PF1|+|PF2|>2,點P在以F1,F2為焦點的橢圓上.a=2,c=1,b2=3,橢圓的方程是x24+y23=1.故選B.6.C由橢圓的方程可得a2=2,b2=1.所以c2=a2-b2=1,所以橢圓的下焦點為F(0,-1).顯然直線l的斜率存在,設直線l的方程為y=kx-1,A(x1,y1),B(x2,y2),由x2+y22=1,y=kx-1消去y得(2+k2)x2-2kx-1=0,由根與系數的關系得x1+x2=2k2+k2,x1x2=-12+k2,所以SAOB=12|OF|·|x1-x2|=12(x1+x2)2-4x1x2=124k2(2+k2)2

34、+42+k2=128(1+k2)(1+1+k2)2.設t=1+k2,則t1,(換元時,注意新元的范圍)則SAOB=12·8t(1+t)2=128t+1t+2,因為y=t+1t在1,+)上單調遞增,所以t+1t2,所以0<SAOB12×82+2=22,故選C.7.(3,15)不妨令F1,F2分別為橢圓C的左、右焦點,根據題意可知a=6,c=3620=4.由MF1F2為等腰三角形,易知|F1M|=|F1F2|=2c=8,(a-c<|MF2|<a,故|MF2|為MF1F2的底邊)則|F2M|=2a-|F1M|=4.設M(x,y),則x236+y220=1,|F1

35、M|2=(x+4)2+y2=64,x>0,y>0,得x=3,y=15,所以M的坐標為(3,15).(也可利用橢圓焦半徑公式求解)8.6連接BD,根據題意可得A(0,b),C(0,-b),點A,B,C,D在以BD為直徑的圓上.(同一平面內,同斜邊的直角三角形的頂點共圓)因為原點O為圓的弦AC的中點,所以圓心在AC的垂直平分線,即x軸上,設B(x1,y1),D(x2,y2),則y1+y2=0,由SABC=2SADC得x1=-2x2,故圓心坐標為(x14,0),半徑r=12|BD|=1294x12+4y12,所以圓的方程為(x-x14)2+y2=916x12+y12,將A(0,b)代入圓

36、的方程,結合x1218+y12b2=1,解得b2=9,所以b=3,短軸長為6.9.(1)由|PF1|+|PF2|=4,|PF1|-|PF2|=1,解得|PF1|=52,|PF2|=32.又|F1F2|=2,所以|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,即PF2F1F2,所以SPF1F2=12|PF2|×|F1F2|=12×32×2=32.(2)直線AB的斜率為1,設直線AB的方程為y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),由y=x+m,x24+y23=1,消元得7x2+8mx+4m2-12=0,=336-48m2>0,則x1+x2=-8m7,x1&#

37、183;x2=4m2-127.由OAOB,得x1x2+y1y2=0,而y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2=4m2-127+m(-8m7)+m2,所以4m2-127+4m2-127+m(-8m7)+m2=0,得m=±2427,滿足>0,(注意驗證判別式)所以直線AB的方程為7x-7y+242=0或7x-7y-242=0.10.(1)當點P為橢圓的上頂點或下頂點時,PAB的面積最大,(由于|AB|為定值,故當點P到AB的距離最大時,PAB的面積取得最大值)即12·2a·b=2,得ab=2.又e=ca=32,a2=b2+c2,故a

38、=2,b=1,所以橢圓E的方程為x24+y2=1.(2)設直線MN的方程為x=ty+1,(若在設直線方程時涉及斜率,要注意斜率不存在時的情況)M(x1,y1),N(x2,y2),則H(4,y1).由x=ty+1,x24+y2=1,消去x得(t2+4)y2+2ty-3=0,所以y1+y2=-2tt2+4,y1y2=-3t2+4.易知直線HN的方程為y-y1=y1-y24x2(x-4),令y=0,得x=4-4y1-y1x2y1-y2=4-4y1-y1(ty2+1)y1-y2=4-3y1-ty1y2y1-y2.又y1+y2=-2tt2+4,y1y2=-3t2+4,故ty1y2=32(y1+y2),所

39、以x=4-3y1-32(y1+y2)y1-y2=52,即直線HN與x軸的交點為定點,定點坐標為(52,0).11.C在PF1F2中,由正弦定理可得|PF2|sinPF1F2=|PF1|sinPF2F1,結合sinPF2F1sinPF1F2=ca,得a|PF1|=c|PF2|.解法一設|PF2|=x(a-c<x<a+c),則|PF1|=2a-x,所以a(2a-x)=cx,整理得x=2a2a+c,所以a-c<2a2a+c<a+c,即c2+2ac-a2>0,不等式兩邊同時除以a2得,e2+2e-1>0,e>2-1或e<-2-1.又因為e(0,1),所以

40、e(2-1,1).解法二設點P(x0,y0),可得|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0,(橢圓的焦半徑公式)則a(a+ex0)=c(a-ex0),解得x0=a(c-a)e(c+a)=a(e-1)e(e+1).由橢圓的幾何性質可得a>x0>-a,即a>a(e-1)e(e+1)>-a,整理得e2+2e-1>0,解得e<-2-1或e>2-1,又e(0,1),所以橢圓的離心率的取值范圍是(2-1,1).故選C.12.B設內層橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),因為內、外層橢圓離心率相同,所以外層橢圓方程可設成x2(ma)2+y

41、2(mb)2=1(m>1).解法一設切線AC的方程為y=k1(x+ma),與x2a2+y2b2=1聯立得(b2+a2k12)x2+2ma3k12x+m2a4k12-a2b2=0,由=0,得k12=b2a2×1m2-1,同理得k22=b2a2×(m2-1)(其中k2為BD所在直線的斜率),所以k12k22=b4a4=(-916)2,因此e=74.故選B.解法二設點D(x1,y1)(y10),則內層橢圓在點D處的切線方程為x1xa2+y1yb2=1,則kBD=-b2a2·x1y1.將B(0,mb)代入可得y1=bm,則x1=-amm2-1.設點C(x2,y2)(

42、y20),同理可得x2=-am,y2=-bmm2-1.因為kBD·kAC=-916,所以b4a4·x1x2y1y2=-916,即b2a2=916,所以e=1b2a2=74.【方法技巧】點P(x0,y0)為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一點,則橢圓C在點P處的切線方程為x0xa2+y0yb2=1.13.BC圓 x2+(y-4)2=1 關于直線 x-y=0 對稱的曲線為以E(4,0)為圓心,1為半徑的圓, 則曲線E的方程為 (x-4)2+y2=1.如圖D 10-1-2,連接PF1,由橢圓定義得 |PF1|+|PF2|=2a=25,連接QF1,|PQ|

43、-|PF2|=|PQ|-(25-|PF1|)=|PQ|+|PF1|-25|QF1|-2 5|EF1|-1-25=3+|OF1|-25=5-25,所以|OF1|=2, b=1,橢圓C的方程為 x25+y2=1,故焦距 2|OF1|=4,A錯誤.|PQ|+|PF2|QF2|EF2|-1=1,D錯誤.曲線E的方程為 (x-4)2+y2=1,設曲線E過點F2的切線方程為y=k(x-2),即kx-2k-y=0,由圓心到切線的距離等于半徑得|4k-2k-0|1+k2=1,所以k=±33 ,B正確.設 P(x0,y0), A(x1,y1),B(-x1,-y1),則 kPAkPB=y1-y0x1-x

44、0·-y1-y0-x1-x0=y12-y02x12-x02,又P,A,B 都在橢圓C上,則x025+y02=x125+y12=1,所以y12-y02x12-x02=-15,C正確.故選BC.圖D 10-1-214.8因為P,Q為C上關于坐標原點對稱的兩點,且|PQ|=|F1F2|,所以四邊形PF1QF2為矩形.解法一(利用平面幾何性質)設|PF1|=m,|PF2|=n,則m+n=8,m2+n2=|F1F2|2=48,所以(m+n)2=m2+2mn+n2=48+2mn=64,可得mn=8,(整體思想)即四邊形PF1QF2的面積等于8.解法二(焦點三角形面積法)令F1PF2=,則PF1F

45、2的面積為b2tan2=4tan90°2=4,(橢圓焦點三角形面積公式的應用,注意與雙曲線的區別)所以四邊形PF1QF2的面積等于8.15.53因為PF1·PF2=0,所以F1PF2=90°,設PF2F1=,(0°,90°).因為|F1F2|=4|ON|,所以|OF2|=2|ON|,在RtNOF2中,tan =|ON|OF2|=12,在RtPF1F2中,tan =|PF1|PF2|=12,即|PF2|=2|PF1|,又|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF2|=43a,|PF1|=2a3,又|PF1|2+|PF2|2=4c2,所以4a29+1

46、6a29=4c2,解得e=53.16.(1)P在橢圓C上,|PF1|=2,|PF2|=2a-|PF1|=2a-2.在PF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|·cosF1PF2,即4c2=4+(2a-2)2-4(2a-2)cos3,化簡,得c2=a2-3a+3.又橢圓C的離心率e=ca=12,a=2c.由,得c=1,a=2,b2=a2-c2=3,橢圓C的方程為x24+y23=1.(2)設A(x1,y1),B(x2,y2).由y=kx+m,x24+y23=1消去y,得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,由=48(4k2-m2+

47、3)>0,得4k2+3>m2.x1+x2=-8km4k2+3,x1x2=4m2-124k2+3.|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=412k2-3m2+94k2+3.SOAB=12|m|·|x1-x2|=12·|m|·412k2-3m2+94k2+3=23·|m|4k2+3m24k2+3=23·(4k2+3m2)·m24k2+323·(4k2+3m2)+m224k2+3=3,當且僅當4k2+3-m2=m2,即4k2+3=2m2時,等號成立,此時滿足4k2+3>m2.OAB面積的最大值為3.17.B

48、不妨設軸截面ABB1A1的邊長為2,設C1是弧B1A1的中點且C1與C不在平面ABB1A1同側,連接CC1,易知C,D,E,C1四點共面,由題意可知截面曲線為橢圓,橢圓的短軸長為2,長軸長為CC1=2 2,所以橢圓的長半軸長a=2,短半軸長b=1,半焦距c=a2-b2=1,橢圓的離心率e=ca=22,故選B.18.D由題可知a2=b2+c2>2c2,故a>2c,又a2=b2+c2<2b2,故a<2b,所以2c<a<2b,正確.由|A1A2|=|B1B2|得a+c=2b,又a2=b2+c2,可得a=54b,c=34b,abc=543,正確.設P(x,y),由A

49、1PA2=90°可知點P在以A1A2為直徑的圓E:(x+c)(x-a)+y2=0上,(由PA1·PA2=0可得)圓E與“果圓”在y軸右側部分的異于A2的公共點即點P.由(x+c)(x-a)+y2=0,x2a2+y2b2=1(x0),得c2a2x2+(c-a)x+a2-ac-c2=0,顯然該方程已有一根a,則ax=a2-ac-c2c2a2=a2(a2-ac-c2)c2,x=a(a2-ac-c2)c2,(根與系數的關系)由0<x<a,得0<a(a2-ac-c2)c2<a,結合a>c>0,得12<ca<5-12,故正確.故選D.第二

50、講雙曲線1.D由|PA|-|PB|=2<|AB|=4,知點P的軌跡是焦點在x軸上的雙曲線的右支,可得點P的軌跡方程為x2-y23=1(x1),(不要遺漏x1這一限制條件)又y=34x2,所以x2=134,y2=274,所以|OP|=x2+y2=134+274=10,故選D.2.Bx24a2-y2=1,x+y=1(1-4a2)x2+8a2x-8a2=0.因為直線l與雙曲線C交于不同的兩點,所以14a20,=64a4+4×8a2(1-4a2)>0,所以a214,a2<12,a>0,所以e=1+14a2(62,2)(2,+).3.C由題意得,ca=103,雙曲線上的

51、點到焦點的最小距離為c-a=10-3,由可得c=10,a=3,所以b2=c2-a2=1,所以雙曲線C的方程為x29-y2=1.設P(x,y)(x-3或x3)是雙曲線x29-y2=1上的任意一點,則|AP|=(x-5)2+y2=(x-5)2+x29-1=109(x-92)2+32,所以當x=92時,|AP|取得最小值,|AP|min=32=62,故選C.4.ABD易知F(-5,0).若直線l的斜率不存在,(直線的斜率不存在的情形容易遺漏,要先討論)則l的方程為x=-5,代入x24-y2=1可得y=±12,此時|AB|=1.(此時弦AB為雙曲線通徑,是雙曲線焦點弦中的最短弦)若直線l的斜

52、率存在,設l的方程為y=k(x+5),A(x1,y1),B(x2,y2),由y=k(x+5),x24-y2=1消去y整理得(1-4k2)x2-85k2x-20k2-4=0,1-4k20且>0,則x1+x2=85k214k2,x1x2=20k2+414k2,所以|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=4+4k2|1-4k2|.對于A,4+4k2|1-4k2|=1無解,因此l只有1條,故A正確.對于B,由4+4k2|1-4k2|=2可得4+4k2=2-8k2(無解)或4+4k2=8k2-2(解得k=±62),因此l有2條,故B正確.對于C,由4+4k2|1-4k2|=3可得

53、4+4k2=3-12k2(無解)或4+4k2=12k2-3(解得k=±144),因此l有2條,故C錯誤.對于D,由4+4k2|1-4k2|=4可得4+4k2=4-16k2(解得k=0)或4+4k2=16k2-4(解得k=±63),因此l有3條,故D正確.故選ABD.【規律總結】若過雙曲線焦點的直線l與雙曲線交于A,B兩點,則|AB|的值(范圍)2b2a(2b2a,2a)2a(2a,+)直線l的條數12345.x2-y24=1(答案不唯一)設雙曲線的方程為x2a2y2b2=1(a>0,b>0).雙曲線的離心率e=ca=5,漸近線方程為y=±bax=

54、77;2x,所以b=2a,c=5a,令a=1,則b=2,c=5,此時雙曲線方程為x2-y24=1.6.9由題意知,|PF|=8,設雙曲線的右焦點為F2,由雙曲線的定義,可得|PF2|-|PF|=10,又|PF2|>0,所以|PF2|=18,因為M是PF的中點,O是FF2的中點,所以由三角形中位線定理可知|MO|=182=9.7.2+12由題意知F(c,0),B(0,b),則kPQ=kBF=-bc.設P(x1,y1),Q(x2,y2),則x12a2-y12b2=1,x22a2-y22b2=1,兩式相減得y1-y2x1-x2=b2(x1+x2)a2(y1+y2).(點差法)因為PQ的中點為M

55、(-2,1),所以x1+x2=-4,y1+y2=2,又kPQ=y1-y2x1-x2=-bc,所以-bc=-4b22a2,整理得a2=2bc.因為a2+b2=c2,所以a4=4b2c2=4c2(c2-a2).因為e=ca,所以4e4-4e2-1=0,從而得e2=2+12.8.22如圖D 10-2-1,連接PF1,QF1,由雙曲線的對稱性可知,|PF1|=|QF2|,且PF1F2與PQF2的面積相等,所以|F2Q|-|PF2|=|PF1|-|PF2|=2a=4,解得a=2.又PF2QF2,所以PF1PF2,即F1PF2=2,所以SPF2Q=SPF1F2=b2tanF1PF22=b2tan4=12a

56、2,(雙曲線焦點三角形的面積公式)所以b=22a=2.故雙曲線的虛軸長為2b=22.圖D 10-2-19.(1)雙曲線的離心率為2,即ca=2,易知點A(0,2)為雙曲線y2a2x2b2=1的上頂點,故a=2,則c=22,又c2=a2+b2,所以b=2.所以雙曲線C的方程為y2-x2=4.(2)易知直線PQ的斜率不為0,設直線PQ的方程為x-2=my,由x-2=my,y2-x2=4,得(1-m2)y2-4my-8=0,設P,Q兩點的縱坐標分別為y1,y2,則1m20,=16m2+32(1m2)=16(2-m2)>0,y1+y2=4m1m2<0,y1y2=-81m2>0,解得1<m<2.設點M的縱坐標為y0,則y0=y1+y22=2m1m2,所以SOBM=12×|OB|×|y0|=12×2×|2m1m2|=2mm2-1=2m-1m,1<m<2.易知函數y=m-1m在(1,2)上單調遞增,所以m-1m(0,22),所以三角形BOM面積的取值范圍為(22,+).10.B由對稱性可知|BF1|=|BF2|,則ABF2的周長為6a,即|AF1|+|AF2|=6a,又|AF1