1、初中數(shù)學研究課教案：一元二次方程根與系數(shù)的關系 任課教師：北京市日壇中學 張燕霞 【教學設計總意圖】：本課是一節(jié)公式定理的新知課第一課時，曾在舊版的教材中占據(jù)很重要的位置，不但在中考中體現(xiàn)，延伸到高中的數(shù)學教學也有廣泛的應用. 本冊教材又將曾一度刪去的內(nèi)容恢復，可見根系關系的重要.它為進一步解決一元二次方程、二次函數(shù)以及相關的數(shù)學問題提供一些新的思路.但本課畢竟是第一課時，讓學生體會公式基本內(nèi)容，在頭腦中形成積極印象很關鍵. 所以從絕大多數(shù)同學掌握的知識程度出發(fā)，針對本班學生的特點，本課在(a0 , b2 4ac0)的前提條件下設計，所有的一元二次方程均有解.教學目標：1、理解根系關系的推導過

2、程； 2、掌握不解方程，應用根系關系解題的方法； 3、體會從特殊到一般，再有一般到特殊的推導思路教學重點：應用根系關系解決問題；教學難點：根系關系的推導過程教學流程：引入新知，推導新知，鞏固新知，應用新知， 教學過程：一、 前2天悄悄地聽到咱班的鄭帥和董沐青的一段對話，內(nèi)容如下：鄭：我說董沐青，我有一個秘密，你想聽嗎？董：什么秘密？鄭：你知道咱們可愛的張老師年齡到底有多大嗎？董：哦？鄭：呵呵，這絕對是個秘密，我不能直接告訴你，我這么說吧：她的年齡啊是方程x2 12x +35 =0的兩根的積，回去你把2根求出來就知道了.董：咳，你難不住我，我不用求根就已經(jīng)知道答案了，而且我還告訴你，張老師的年齡

3、啊還是方程x2 -35x -200=0的2根的和呢.鄭：哈哈，你太有才了。對了，咱們應該也讓同學猜一猜，不解方程，能不能求出張老師的年齡.【設計意圖】創(chuàng)設一個情境：學生自我娛樂的同時自我探討數(shù)學知識,本班學生活躍，他們自己在平時也會開一些類似的玩笑.希望這一次能夠激起班級進一步學習數(shù)學的興趣.二、 求出下列方程的2根，計算2根和與2根積的值，并猜想2根和、2根積與一元二次方程各項系數(shù)之間的關系序號一元二次方程x1x2 x1+x2x1x2（1）x2 5x +6 =02356（2）2x2 3x +1 =01（3）3x2 + x -2 =0- 1- - 【設計意圖】二次項系數(shù)為1有1題；二次項系數(shù)不

4、為1有2題,系數(shù)性質(zhì)符號各有不同.讓學生盡量體會與猜想2根和、2根積與系數(shù)之間的關系.三、 引導學生獨立證明： x1和x2 是一元二次方程 ax2 +bx +c =0 (a0 , b2 4ac0) x1+x2 = - , x1x2 = 注意：負號不能漏寫【設計意圖】學生在已有公式法解一元二次方程的知識基礎上，可以最快速度說出x1和x2的值，接下來將字母系數(shù)表示的x1和x2的值代入相應的代數(shù)式 x1+x2 和x1x2 得出根系關系的結論，憑借學生自己的現(xiàn)有能力可以解決證明過程.還可以讓學生體會，數(shù)學知識的一些結論是在計算的過程中產(chǎn)生的，數(shù)學中那一系列的字母并不是高不可攀.四、 應用第一組習題：不

5、解方程，求下列方程的2根和與2根積（1） x2 3x +1 =0（2） 3x2 2x - 2=0（3） 2x2 3x =0（4） 3x2 =1板書例題：例1：已知：x1和x2 是一元二次方程 2x2 =3x -1 的2根，求x1+x2 與 x1x2 的值 第二組習題：不解方程，求下列方程的2根和與2根積（1） x2 +5x +6 =0（2） 2x2 x -1 =0（3） x2 x -1 =0（4） 2x2 = x + 2 （5） 4x2 = 5x （6） 2x2 1 =0【設計意圖】新知產(chǎn)生后，直接應用新知是學生的模仿階段，也是本課教學最基本的知識目標，這時需要強化記憶，除設計第1組習題外還設

6、計板書例題和第2組習題.第一組習題小評時，可引導學生發(fā)現(xiàn)應用根系關系解決2根和與2根積的問題不需求出復雜的2根，同時滲透著整體代入的數(shù)學方法，為例2鞏固知識奠定基礎.例2：已知：x1和x2 是一元二次方程x2 -4x +1=0的2根, 求下列代數(shù)式的值（1） + （2）x12 + x22 （3）（x1 - x2）2 學生練習：（1） + （2）（x1+1）（x2+1）【設計意圖】 本例對絕大多數(shù)同學來說是可以掌握的內(nèi)容，也是研究根系關系應掌握的內(nèi)容，還可以讓學生進一步體會整體代入的數(shù)學思想方法 .例3：已知關于x的一元二次方程x2 -（m+1）x +2m-1=0,當m為何值時，此方程的2根互為相反數(shù)；當m為何值時，此方程的2根互為倒數(shù)例4：求作一個方程，使方程2根分別為1 和 -2例5：已知