1、排列組合及二項式定理【基本知識點】1.分類計數和分步計數原理的概念2.排列的概念:從n 個不同元素中,任取m (m n 個元素(這里的被取元素各不相同按照一定的順序.排成一列,叫做從n 個不同元素中取出m 個元素的一個排列.3.排列數的定義:從n 個不同元素中,任取m (m n 個元素的所有排列的個數叫做從n 個元素中取出m 元素的排列數,用符號m n A 表示4.排列數公式:(1(2(1m n A n n n n m =-+ (,m n N m n * 5.階乘:!n 表示正整數1到n 的連乘積,叫做n 的階乘0!1=.6.排列數的另一個計算公式:mn A (!n m -7.組合概念:從n

2、個不同元素中取出m (m n 個元素并成一組,叫做從n 個不同元素中取出m 個元素的一個組合8.組合數的概念:從n 個不同元素中取出m (m n 個元素的所有組合的個數,叫做從n 個不同元素中取出m 個元素的組合數.用符號mn C 表示. 9.組合數公式:(1(2(1!m m n nm m A n n n n m C A m -+=或!(!m n m n C m n -=,(n m N m n *且10.組合數的性質1:mn nm n C C -=.規定:10=n C ;11.組合數的性質2:mn C 1+=mn C +-m nC C n 0+C n 1+C n n =2n12.二項式展開公式

3、:(a+bn=C n 0a n+C n 1a n-1b+C n k a n-k b k+C n n b n13.二項式系數的性質:(n a b +展開式的二項式系數是0n C ,1n C ,2n C ,n n C .rn C 可以看成以r 為自變量的函數(f r ,定義域是0,1,2,n ,(1對稱性.與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等(mn mn nC C -=.(2增減性與最大值:當n 是偶數時,中間一項2nnC 取得最大值;當n 是奇數時,中間兩項12n nC-,12n nC+取得最大值.(3各二項式系數和:1(11n r r nn n x C x C x x +=+ , 令1x

4、=,則0122n r nn n n n n C C C C C =+【常見考點】一、可重復的排列求冪法:重復排列問題要區分兩類元素:一類可以重復,另一類不能重復,把不能重復的元素看作“客”,能重復的元素看作“店”,則通過“住店法”可順利解題,在這類問題使用住店處理的策略中,關鍵是在正確判斷哪個底數,哪個是指數(1有4名學生報名參加數學、物理、化學競賽,每人限報一科,有多少種不同的報名方法?(2有4名學生參加爭奪數學、物理、化學競賽冠軍,有多少種不同的結果? (3將3封不同的信投入4個不同的郵筒,則有多少種不同投法? 【解析】:(143(234 (334二.相鄰問題捆綁法:題目中規定相鄰的幾個元

5、素捆綁成一個組,當作一個大元素參與排列.(4,A B C D E 五人并排站成一排,如果,A B 必須相鄰且B 在A 的右邊,那么不同的排法種數有【解析】:把,A B 視為一人,且B 固定在A 的右邊,則本題相當于4人的全排列,4424A =種(53位男生和3位女生共6位同學站成一排,若男生甲不站兩端,3 位女生中有且只有兩位女生相鄰,則不同排法的種數是( A.360 B.188 C.216 D.96【解析】: 間接法 6位同學站成一排,3位女生中有且只有兩位女生相鄰的排法有,22223242C A A A =432 種其中男生甲站兩端的有1222223232A C A A A =144,符合

6、條件的排法故共有288三.相離問題插空法 :元素相離(即不相鄰問題,可先把無位置要求的幾個元素全排列,再把規定的相離的幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩端.(6七人并排站成一行,如果甲乙兩個必須不相鄰,那么不同的排法種數是【解析】:除甲乙外,其余5個排列數為55A 種,再用甲乙去插6個空位有26A 種,不同的排法種數是52563600A A =種(7書架上某層有6本書,新買3本插進去,要保持原有6本書的順序,有種不同的插法(具體數字作答 【解析】: 111789A A A =504(8馬路上有編號為1,2,3,9九只路燈,現要關掉其中的三盞,但不能關掉相鄰的 二盞或三盞,也不能關掉兩端的兩盞,

7、求滿足條件的關燈方案有多少種?【解析】:把此問題當作一個排對模型,在6盞亮燈的5個空隙中插入3盞不亮的燈35C 種方法,所以滿足條件的關燈方案有10種.四.元素分析法(位置分析法:某個或幾個元素要排在指定位置,可先排這個或幾個元 素;再排其它的元素。 (92010年廣州亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四 人分別從事翻譯、導游、禮儀、司機四項不同工作,若其中小張和小趙只能從事前兩項工作, 其余三人均能從事這四項工作,則不同的選派方案共有( A. 36種 B. 12種 C. 18種 D. 48種 【解析】:方法一: 從后兩項工作出發,采取位置分析法。2333A 36A

8、=方法二:分兩類:若小張或小趙入選,則有選法;若小張、小趙都入選,則有選法,共有選法36種,選A.(101名老師和4名獲獎同學排成一排照相留念,若老師不站兩端則有不同的排法有多少種?【解析】:老師在中間三個位置上選一個有13A 種,4名同學在其余4個位置上有44A 種方法;所以共有143472A A =種。.五.多排問題單排法:把元素排成幾排的問題可歸結為一排考慮,再分段處理。(11 6個不同的元素排成前后兩排,每排3個元素,那么不同的排法種數是( A 、36種 B 、120種 C 、720種 D 、1440種 (12把15人分成前后三排,每排5人,不同的排法種數為 (A 510515A A(

9、B 3355510515A A A A (C 1515A (D 3355510515A A A A ÷24331212=A C C 122322=A A(138個不同的元素排成前后兩排,每排4個元素,其中某2個元素要排在前排,某1個元素排在后排,有多少種不同排法?【解析】:(1前后兩排可看成一排的兩段,因此本題可看成6個不同的元素排成一排,共66720A =種,選C .(2答案:C(3看成一排,某2個元素在前半段四個位置中選排2個,有24A 種,某1個元素排在后半段的四個位置中選一個有14A 種,其余5個元素任排5個位置上有55A 種,故共有1254455760A A A =種排法.

10、六.定序問題縮倍法(等幾率法:在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定的順序,可用縮小倍數的方法.(14,A B C D E 五人并排站成一排,如果B 必須站在A 的右邊(,A B 可以不相鄰那么不同的排法種數是( 【解析】:B 在A 的右邊與B 在A 的左邊排法數相同,所以題設的排法只是5個元素全排列數的一半,即551602A =種 (15書架上某層有6本書,新買3本插進去,要保持原有6本書的順序,有多少種不同的插法?【解析】:法一:39A 法二:99661A A 七.標號排位問題(不配對問題把元素排到指定位置上,可先把某個元素按規定 排入,第二步再排另一個元素,如此繼續下去,依次即可完成.(

11、16 將數字1,2,3,4填入標號為1,2,3,4的四個方格里,每格填一個數,則每 個方格的標號與所填數字均不相同的填法有( A 、6種B 、9種C 、11種D 、23種 【解析】:先把1填入方格中,符合條件的有3種方法,第二步把被填入方格的對應數字填 入其它三個方格,又有三種方法;第三步填余下的兩個數字,只有一種填法,共有3×3×1=9種填法,選B .(17編號為1、2、3、4、5的五個人分別去坐編號為1、2、3、4、5的五個座位,其中 有且只有兩個的編號與座位號一致的坐法是(A 10種B 20種C 30種D 60種答案:B八.不同元素的分配問題(先分堆再分配:注意平均分

12、堆的算法(18有6本不同的書按下列分配方式分配,問共有多少種不同的分配方式?(1分成1本、2本、3本三組;(2分給甲、乙、丙三人,其中一個人1本,一個人2本,一個人3本;(3分成每組都是2本的三個組;(4分給甲、乙、丙三人,每個人2本;(5分給5人每人至少1本。【解析】:(1332516CCC(233332516ACCC(333222426ACCC(4222426CCC(52111115554321544C C C C C CAA(19四個不同球放入編號為1,2,3,4的四個盒中,則恰有一個空盒的放法有多少種?【解析】:先取四個球中二個為一組,另二組各一個球的方法有24C種,再排:在四個盒中每

13、次排3個有34A種,故共有2344144C A=種.九.相同元素的分配問題隔板法:(20把20個相同的球全放入編號分別為1,2,3的三個盒子中,要求每個盒子中的球數不少于其編號數,則有多少種不同的放法?【解析】:向1,2,3號三個盒子中分別放入0,1,2個球后還余下17個球,然后再把這17個球分成3份,每份至少一球,運用隔板法,共有120216=C種。(2110個三好學生名額分到7個班級,每個班級至少一個名額,有多少種不同分配方案?【解析】:10個名額分到7個班級,就是把10個名額看成10個相同的小球分成7堆,每堆至少一個,可以在10個小球的9個空位中插入6塊木板,每一種插法對應著一種分配方案

14、,故共有不同的分配方案為6984C=種.十.排數問題(注意數字“0”(22由數字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數字的六位數,其中個位數字小于十位數字的共有(A、210種B、300種C、464種D、600種【解析】 ：按題意，個位數字只可能是 0，1，2，3，4 共 5 種情況，分別有 A5 個， 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 3 A4 A3 A3 , A3 A3 A3 , A2 A3 A3 , A3 A3 個，合并總計 300 個,選 B . 5 十一染色問題：涂色問題的常用方法有： （1）可根據共用了多少種顏色分類討論; （2）根據相對區域是否同色分類討論;高考資源網 （3）將

15、空間問題平面化，轉化成平面區域涂色問題。 （23）將一個四棱錐 S - ABCD 的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色， 如果只有 5 種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數是_. 【解析一】滿足題設條件的染色至少要用三種顏色。 (1若恰用三種顏色，可先從五種顏色中任選一種染頂點 S，再從余下的四種顏色中任選兩 種涂 A、B、C、D 四點，此時只能 A 與 C、B 與 D 分別同色，故有 C5 A4 = 60 種方法。 1 2 (2若恰用四種顏色染色，可以先從五種顏色中任選一種顏色染頂點 S，再從余下的四種顏 色中任選兩種染 A 與 B，由于 A、B 顏色可以交換，故有 A4 種

16、染法；再從余下的兩種顏色中 任選一種染 D 或 C，而 D 與 C，而 D 與 C 中另一個只需染與其相對頂點同色即可，故有 1 2 1 1 C5 A4 C2C2 = 240 種方法。 2 (3若恰用五種顏色染色，有 A5 = 120 種染色法高考資源網 5 綜上所知，滿足題意的染色方法數為 60+240+120=420 種。 【答案】420. 十二 幾何中的排列組合問題: （24）已知直線 x y + = 1 （ a，b 是非零常數）與圓 x 2 + y 2 = 100 有公共點，且公共點的 a b 橫坐標和縱坐標均為整數，那么這樣的直線共有條 【解析】 圓上的整點有： ( ± 6

17、, ± 8 ,( ± 8, ± 6,( ± 10,0,(0 ± 10 ： 2 C12 =66 1 12 個 ， 其中關于原點對稱的有 4 條 不滿則條件 切線有 C12 =12 其中平行于坐標軸的有 14 條 不滿則條件 66-4+12-14=60 答案:60 【練習】 1、4 位同學每人從甲、乙、丙 3 門課程中選修 1 門，則恰有 2 人選修課程甲的不同選法共 有 （A）12 種 （B）24 種 （C）30 種 （D）36 種 1 【解析】分兩類：取出的 1 本畫冊，3 本集郵冊，此時贈送方法有 C4 = 4 種；取出的 2 本畫 冊，2

18、本集郵冊，此時贈送方法有 C4 = 6 種。總的贈送方法有 10 種。 【答案】B 2 6 2、正五棱柱中，不同在任何側面且不同在任何底面的兩頂點的連線稱為它的對角線，那么 一個正五棱柱對角線的條數共有（ A20 B15 ） C12 1 D10 【解析】先從 5 個側面中任意選一個側面有 C 5 種選法，再從這個側面的 4 個頂點中任意選 一個頂點有 C 4 種選法，由于不同在任何側面且不同在任何底面的兩頂點的連線稱為它的對 角線，所以除去這個側面上、相鄰側面和同一底面上的共 8 個點，還剩下 2 個點，把這個點 和剩下的兩個點連線有 C 2 種方法，但是在這樣處理的過程中剛好每一條對角線重復

19、了一次， 所以最后還要乘以 擇 A. 3、 (4 - 2 ( x Î R 的展開式中的常數項是 x -x 6 1 1 1 1 1 1 1 , 所以這個正五棱柱對角線的條數共有 C5 · C 4 · C 2 · = 20 ,所以選 2 2 （A） -20 【答案】C （B） -15 （C） 15 （D） 20 【解析】 Tr +1 = (-1 C6 (4 ： r r 4 4 x 6-r r (2- x r = (-1 r C6 2 x (12-3r 令 x(12 - 3r = 0 Þ r = 4 ，于是 展開式中的常數項是 (-1 C6 = 15

20、 故選 C 5 4、 已知 ( x cosq + 1 5 的展開式中 x 2 的系數與 ( x + 4 的展開式中 x 3 的系數相等，則 4 cosq = 【答案】 ± 5 5 2 r 解： ( x + 4 的通項為 C 4 × x 4- r × ( r ，Q 4 - r = 3, r = 1 ， 2 4 4 5 4 5 1 的展開式中 x 3 的系數是 C 4 × = 5 , 4 4 (x + ( x cosq + 1 5 的通項為 C5R × ( x cosq 5- R ，Q 5 - R = 2, R = 3 ， 3 ( x cosq +

21、 1 5 的 展 開 式 中 x 2 的 系 數 是 C5 × cos2 q = 5, cos2 q = 1 ， 2 cosq = ± 2 . 2 7 5、已知 (1 + kx （ k 是正整數）的展開式中， x 的系數小于 120，則 k = 2 6 8 【解析】 (1 + kx 按二項式定理展開的通項為 Tr +1 = C6 (kx = C6 k x ，我們知道 x 的 2 6 r 2 r r r 2r 8 系數為 C6 k = 15k ，即 15k < 120 ，也即 k < 8 ，而 k 是正整數，故 k 只能取 1。 4 4 4 4 4 6、若Cn +

22、 3Cn + 3 Cn + L + 3 1 2 2 3 n-2 n Cn -1 + 3n -1 = 85 ，則 n 的值為 答案 4 7、已知 (1 + 2 x = a0 + a1 x + a 2 x + a3 x + a 4 x ，則 a1 - 2a2 + 3a3 - 4a4 =-8 4 2 3 4 8、 對任意的實數 x ， x = a0 + a1 ( x - 2 + a2 ( x - 2 + a3 ( x - 2 ， a2 的值是 有 則 （ B ） 3 2 3 A3 B6 C9 D21 9、設 a1 , a 2 , L , a n 是 1 , 2 , L , n 的一個排列，把排在 a

23、 i 的左邊且比 a i 小的數的個數稱 為 a i 的順序數（ i = 1 , 2 , L , n ） 如：在排列 6，4， 5， 3，2，1 中，5 的順序數為 1， 3 的順序數為 0則在 1 至 8 這八個數字構成的全排列中，同時滿足 8 的順序數為 2，7 的 順序數為 3，5 的順序數為 3 的不同排列的種數為( C A48 B96 C144 D192 10、若一個三位數的十位數字比個位數字和百位數字都大，則稱這個數為“傘數” 現從 1,2,3,4,5,6 這六個數字中任取 3 個數，組成無重復數字的三位數，其中“傘數”有 A.120 個 【答案】C 11、 現有 4 種不同顏色要

24、對如圖所示的四個部分進行著色， 要求有公共邊界的兩塊不能用同 一種顏色，則不同的著色方法共有 A24 種 B30 種 C36 種 D48 種 B.80 個 C.40 個 D. 20 個 【答案】D 12、如果一條直線與一個平面垂直，那么，稱此直線與平面構成一個“正交線面對” 在一 個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數是 （ ） 8 A24 【答案】C B30 C36 D42 13.從 8 名女生 4 名男生中，選出 3 名學生組成課外小組，如果按性別比例分層抽樣，則不 同的抽取方法數為 ; 【答案】112 14、現有 8 個人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相鄰的排法有（ 3 5 8 6 3 3 3 8 4 （A） A6 × A5 （