1、數學驛站 例說求函數的最大值和最小值的方法例1.設x是正實數，求函數的最小值。解：先估計y的下界。又當x=1時，y=5，所以y的最小值為5。說明 本題是利用“配方法”先求出y的下界，然后再“舉例”說明這個下界是可以限到的。“舉例”是必不可少的，否則就不一定對了。例如，本題我們也可以這樣估計：但y是取不到-7的。即-7不能作為y的最小值。例2. 求函數的最大值和最小值。解 去分母、整理得：(2y-1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0.當時，這是一個關于x的二次方程，因為x、y均為實數，所以D=2(y+1)2-4(2y-1)(y+3)0, y2+3y-40,所以 -4y1又當時，y=-4;x=

2、-2時，y=1.所以ymin=-4，ymax=1.說明 本題求是最值的方法叫做判別式法。例3.求函數，x0,1的最大值解：設，則x=t2-1y= -2(t2-1)+5t= -2t2+5t+1原函數當t=時取最大值例4求函數的最小值和最大值解：令x-1=t ()則ymin=例5.已知實數x,y滿足1x2+y24,求f(x)=x2+xy+y2的最小值和最大值解：又當時f(x,y)=6，故f(x,y)max=6又因為又當時f(x,y)=，故f(x,y)min=例6.求函數的最大值和最小值解：原函數即令 (0t1) 則y=5t2-t+1當x=3時，函數有最小值，當x=0時，函數取最大值5例7.求函數的

3、最大值解：設，則f(x)=由于 0a1,故f(x)，又當x= (k為整數)時f(x)= ,故f(x)max=例8.求函數的最大值解：原函數即在直角坐標系中，設點P(x,x2),A(3,2),B(0,1)，則f(x)=|PA|-|PB|AB|=又當時，f(x)= 故f max (x) = 例9.設a是實數,求二次函數y=x2-4ax+5a2-3a的最小值m，當0a2-4a-210中變動時，求m的最大值解：y=x2-4ax+5a2-3a=(x-2a)2+a2-3a由0a2-4a-210解得：或a6故當a=6時，m取最大值18例10.已知函數f(x)=log2(x+1)，并且當點(x,y)在y=f(

4、x)的圖象上運動時，點在y=g(x)的圖象上運動，求函數p(x)=g(x)-f(x)的最大值。解 因為點(x,y)在y=f(x)的圖象上，所以y=log2(x+1)。點在y=g(x)的圖象上，所以故令， 則 當，即時，所以從而 。例11.已知函數的最小值是2，最大值是6，求實數a、b的值。解：將原函數去分母，并整理得(a-y)x2+bx+(6-2y)=0.若y=a，即y是常數，就不可能有最小值2和最大值6了，所以y a。于是D=b2-4(a-y)(6-2y)0,所以y2-(a+3)y+3a-0.由題設，y的最小值為2，最大值為6，所以(y-2)(y-6)0, 即 y2-8y+120.由(1)、

5、(2)得 解得：例12.求函數 的最小值和最大值。解 先求定義域。由 最6x8.當x6,8，且x增加時，增大，而減小，于是f(x)是隨著x的增加而減小，即f(x)在區間6，8上是減函數。所以fmax(x)=f(8)=0, fmin(x)=f(6)=0例13.設x,y,z是3個不全為零的實數，求的最大值分析：欲求的最大值，只須找一個最小常數k，使得xy+2yzk(x2+y2+z2) x2+ay22xy (1-a)y2+z22yz x2+y2+z22xy+2yz令2=,則a=解：即又當x=1,y=，z=2時，上面不等號成立，從而的最大值為例14.設函數f:(0,1)R定義為求f(x)在區間上的最大值解：(1)若x且x是無理數，則f(x)=x(2) 若x且x是有理數，設，其中(p,q)=1,0pq,由于63q+964q-8，q17因此f(x)在區間上的最大值作業：1.若3x2+2y2=2x,求x2+y2的最大值2.設x,