1、2014初升高暑假數學銜接教材新課標人教A版100頁超權威超容量完整版典型試題 舉一反三理解記憶 成功銜接 第一部分 如何做好初高中銜接 1-3頁 第二部分 現有初高中數學知識存在的“脫節” 4頁 第三部分 初中數學與高中數學銜接緊密的知識點 5-9頁 第四部分 分章節講解 10-66頁 第五部分 銜接知識點的專題強化訓練 67-100頁第一部分，如何做好高、初中數學的銜接 第一講 如何學好高中數學 初中生經過中考的奮力拼搏，剛跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中課程學好的愿望。但經過一段時間，他們普遍感覺高中數學并非想象中那么簡單易學，而是太枯燥、乏味、抽象、晦澀，有些章節如聽

2、天書。在做習題、課外練習時，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知從何下手。相當部分學生進入數學學習的“困難期”，數學成績出現嚴重的滑坡現象。漸漸地他們認為數學神秘莫測，從而產生畏懼感，動搖了學好數學的信心，甚至失去了學習數學的興趣。造成這種現象的原因是多方面的，但最主要的根源還在于初、高中數學教學上的銜接問題。下面就對造成這種現象的一些原因加以分析、總結。希望同學們認真吸取前人的經驗教訓，搞好自己的數學學習。一 高中數學與初中數學特點的變化1 數學語言在抽象程度上突變。不少學生反映，集合、映射等概念難以理解，覺得離生活很遠，似乎很“玄”。確實，初、高中的數學語言有著顯著的區別。初中的

3、數學主要是以形象、通俗的語言方式進行表達。而高一數學一下子就觸及抽象的集合語言、邏輯運算語言以及以后要學習到的函數語言、空間立體幾何等。2 思維方法向理性層次躍遷。高中數學思維方法與初中階段大不相同。初中階段，很多教師為學生將各種題建立了統一的思維模式，如解分式方程分幾步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思維非常靈活的平面幾何問題，也對線段相等、角相等,分別確定了各自的思維套路。因此，初中學習中習慣于這種機械的、便于操作的定勢方式。高中數學在思維形式上產生了很大的變化，數學語言的抽象化對思維能力提出了高要求。當然，能力的發展是漸進的，不是一朝一夕的。這種能力要求的突變使很多高一新生感到不適應

4、，故而導致成績下降。高一新生一定要能從經驗型抽象思維向理論型抽象思維過渡，最后還需初步形成辯證型思維。3 知識內容的整體數量劇增。高中數學在知識內容的“量”上急劇增加了。例如：高一代數第一章就有基本概念52個，數學符號28個；立體幾何第一章有基本概念37個，基本公理、定理與推論21個；兩者合在一起僅基本概念就達89個之多，并集中在高一第一學期學習，形成了概念密集的學習階段。加之高中一年級第一學期只有七十多課時，輔助練習、消化的課時相應地減少了。使得數學課時吃緊，因而教學進度一般較快，從而增加了教與學的難度。這樣，不可避免地造成學生不適應高中數學學習，而影響成績的提高。這就要求：第一，要做好課后

5、的復習工作，記牢大量的知識。第二，要理解掌握好新舊知識的內在聯系，使新知識順利地同化于原有知識結構之中。第三，因知識教學多以零星積累的方式進行的，當知識信息量過大時，其記憶效果不會很好，因此要學會對知識結構進行梳理，形成板塊結構，實行“整體集裝”。如表格化，使知識結構一目了然；類化，由一例到一類，由一類到多類，由多類到統一；使幾類問題同構于同一知識方法。第四，要多做總結、歸類，建立主體的知識結構網絡。二 不良的學習狀態1 學習習慣因依賴心理而滯后。初中生在學習上的依賴心理是很明顯的。第一，為提高分數，初中數學教師將各種題型都一一羅列，學生依賴于教師為其提供套用的“模子”；第二，家長望子成龍心切

6、，回家后輔導也是常事。升入高中后，教師的教學方法變了，套用的“模子”沒有了，家長輔導的能力也跟不上了。許多同學進入高中后，還象初中那樣，有很強的依賴心理，跟隨教師慣性運轉，沒有掌握學習的主動權。表現在不定計劃，坐等上課，課前沒有預習，對教師要上課的內容不了解，上課忙于記筆記，沒聽到“門道”。2 思想松懈。有些同學把初中的那一套思想移植到高中來。他們認為自已在初一、二時并沒有用功學習，只是在初三臨考時才發奮了一、二個月就輕而易舉地考上了高中，有的還是重點中學里的重點班，因而認為讀高中也不過如此。高一、高二根本就用不著那么用功，只要等到高三臨考時再發奮一、二個月，也一樣會考上一所理想的大學的。存有

7、這種思想的同學是大錯特錯的。有多少同學就是因為高一、二不努力學習，臨近高考了，發現自己缺漏了很多知識再彌補后悔晚矣。3 學不得法。教師上課一般都要講清知識的來龍去脈，剖析概念的內涵，分析重點難點，突出思想方法。而一部分同學上課沒能專心聽課，對要點沒聽到或聽不全，筆記記了一大本，問題也有一大堆；課后又不能及時鞏固、總結、尋找知識間的聯系，只是趕做作業，亂套題型，對概念、法則、公式、定理一知半解，機械模仿，死記硬背。還有些同學晚上加班加點，白天無精打采，或是上課根本不聽，自己另搞一套，結果是事倍功半，收效甚微。4 不重視基礎。一些“自我感覺良好”的同學，常輕視基礎知識、基本技能與基本方法的學習與訓

8、練，經常是知道怎么做就算了，而不去認真演算書寫，但對難題很感興趣，以顯示自己的“水平”，好高騖遠，重“量”輕“質”，陷入題海。到正規作業或考試中不是演算出錯就是中途“卡殼”。5 進一步學習條件不具備。高中數學與初中數學相比，知識的深度、廣度，能力要求都是一次飛躍。這就要求必須掌握基礎知識與技能為進一步學習作好準備。高中數學很多地方難度大、方法新、分析能力要求高。如二次函數值的求法、實根分布與參變量的討論、，三角公式的變形與靈活運用、空間概念的形成、排列組合應用題及實際應用問題等。有的內容還是初中教材都不講的脫節內容，如不采取補救措施，查缺補漏，就必然會跟不上高中學習的要求。三 科學地進行學習高

9、中學生僅僅想學是不夠的，還必須“會學”，要講究科學的學習方法，提高學習效率，才能變被動學習為主動學習，才能提高學習成績。1 培養良好的學習習慣。反復使用的方法將變成人們的習慣。什么是良好的學習習慣？良好的學習習慣包括制定計劃、課前自學、專心上課、及時復習、獨立作業、解決疑難、系統小結與課外學習幾個方面。(1)制定計劃使學習目的明確，時間安排合理，不慌不忙，穩扎穩打，它是推動主動學習與克服困難的內在動力。但計劃一定要切實可行，既有長遠打算，又有短期安排，執行過程中嚴格要求自己，磨煉學習意志。(2)課前自學是上好新課、取得較好學習效果的基礎。課前自學不僅能培養自學能力，而且能提高學習新課的興趣，掌

10、握學習的主動權。自學不能走過場，要講究質量，力爭在課前把教材弄懂，上課著重聽教師講思路，把握重點，突破難點，盡可能把問題解決在課堂上。(3)上課是理解與掌握基礎知識、基本技能與基本方法的關鍵環節?！皩W然后知不足”，課前自學過的同學上課更能專心聽課，他們知道什么地方該詳，什么地方可以一帶而過，該記的地方才記下來，而不是全抄全錄，顧此失彼。(4)及時復習是高效率學習的重要一環。通過反復閱讀教材，多方面查閱有關資料，強化對基本概念知識體系的理解與記憶，將所學的新知識與有關舊知識聯系起來，進行分析比效，一邊復習一邊將復習成果整理在筆記本上，使對所學的新知識由“懂”到“會”。(5)獨立作業是通過自己的獨

11、立思考，靈活地分析問題、解決問題，進一步加深對所學新知識的理解與對新技能的掌握過程。這一過程也是對意志毅力的考驗，通過運用使對所學知識由“會”到“熟”。(6)解決疑難是指對獨立完成作業過程中暴露出來對知識理解的錯誤，或由于思維受阻遺漏解答，通過點撥使思路暢通，補遺解答的過程。解決疑難一定要有鍥而不舍的精神。做錯的作業再做一遍。對錯誤的地方要反復思考。實在解決不了的要請教教師與同學，并要經常把易錯的知識拿來復習強化，作適當的重復性練習，把求教師問同學獲得的東西消化變成自己的知識，使所學到的知識由“熟”到“活”。(7)系統小結是通過積極思考，達到全面系統深刻地掌握知識與發展認識能力的重要環節。小結

12、要在系統復習的基礎上以教材為依據，參照筆記與資料，通過分析、綜合、類比、概括，揭示知識間的內在聯系，以達到對所學知識融會貫通的目的。經常進行多層次小結，能對所學知識由“活”到“悟”。(8)課外學習包括閱讀課外書籍與報刊，參加學科競賽與講座，走訪高年級同學或教師交流學習心得等。課外學習是課內學習的補充與繼續，它不僅能豐富同學們的文化科學知識，加深與鞏固課內所學的知識，而且能夠滿足與發展興趣愛好，培養獨立學習與工作的能力，激發求知欲與學習熱情。2 循序漸進，防止急躁。由于同學們年齡較小，閱歷有限，為數不少的同學容易急躁。有的同學貪多求快，囫圇吞棗；有的同學想靠幾天“沖刺”一蹴而就；有的取得一點成績

13、便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振。同學們要知道，學習是一個長期地鞏固舊知、發現新知的積累過程，決非一朝一夕可以完成的。為什么高中要學三年而不是三天！許多優秀的同學能取得好成績，其中一個重要原因是他們的基本功扎實，他們的閱讀、書寫、運算技能達到了自動化或半自動化的熟練程度。3 注意研究學科特點，尋找最佳學習方法。數學學科擔負著培養運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力以及運用所學知識分析問題、解決問題的能力的重任。它的特點是具有高度的抽象性、邏輯性與廣泛的適用性，對能力要求較高。學習數學一定要講究“活”，只看書不做題不行，只埋頭做題不總結積累也不行。對課本知識既要能鉆進去，又要能跳出來，結合自身特點

14、，尋找最佳學習方法。華羅庚先生倡導的“由薄到厚”與“由厚到薄”的學習過程就是這個道理。方法因人而異，但學習的四個環節（預習、上課、作業、復習）與一個步驟（歸納總結）是少不了的。 第二部分，現有初高中數學知識存在以下“脫節”1立方與與差的公式初中已刪去不講，而高中的運算還在用。2因式分解初中一般只限于二次項且系數為“1”的分解，對系數不為“1”的涉及不多，而且對三次或高次多項式因式分解幾乎不作要求，但高中教材許多化簡求值都要用到,如解方程、不等式等。3二次根式中對分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函數、不等式常用的解題技巧。4初中教材對二次函數要求較低，學生處于了解水平，但二

15、次函數卻是高中貫穿始終的重要內容。配方、作簡圖、求值域、解二次不等式、判斷單調區間、求最大、最小值，研究閉區間上函數最值等等是高中數學必須掌握的基本題型與常用方法。5二次函數、二次不等式與二次方程的聯系，根與系數的關系（韋達定理）在初中不作要求，此類題目僅限于簡單常規運算與難度不大的應用題型，而在高中二次函數、二次不等式與二次方程相互轉化被視為重要內容，高中教材卻未安排專門的講授。6圖像的對稱、平移變換，初中只作簡單介紹，而在高中講授函數后，對其圖像的上、下；左、右平移，兩個函數關于原點，軸、直線的對稱問題必須掌握。7含有參數的函數、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中這部分內容視

16、為重難點。方程、不等式、函數的綜合考查常成為高考綜合題。8幾何部分很多概念（如重心、垂心等）與定理（如平行線分線段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都沒有學習，而高中都要涉及。另外，像配方法、換元法、待定系數法初中教學大大弱化，不利于高中知識的講授。第三部分 初中數學與高中數學銜接緊密的知識點1 絕對值：在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離叫做該數的絕對值。正數的絕對值是他本身，負數的絕對值是他的相反數，0的絕對值是0，即兩個負數比較大小，絕對值大的反而小兩個絕對值不等式:；或2 乘法公式：平方差公式：立方差公式：立方與公式：完全平方公式：，完全立方公式：3 分解因式：把一個多項式化

17、成幾個整式的積的形式，這種變化叫做把這個多項式分解因式。方法：提公因式法，運用公式法，分組分解法，十字相乘法。4 一元一次方程：在一個方程中，只含有一個未知數，并且未知數的指數是1，這樣的方程叫一元一次方程。解一元一次方程的步驟：去分母，移項，合并同類項，未知數系數化為1。關于方程解的討論當時，方程有唯一解；當，時，方程無解 當，時，方程有無數解；此時任一實數都是方程的解。5 二元一次方程組：（1）兩個二元一次方程組成的方程組叫做二元一次方程組。（2）適合一個二元一次方程的一組未知數的值，叫做這個二元一次方程的一個解。（3）二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個二元一次方程組的解。（4）解

18、二元一次方程組的方法：代入消元法，加減消元法。6 不等式與不等式組（1）不等式：用符不等號（、）連接的式子叫不等式。不等式的兩邊都加上或減去同一個整式，不等號的方向不變。不等式的兩邊都乘以或者除以一個正數，不等號方向不變。不等式的兩邊都乘以或除以同一個負數，不等號方向相反。（2）不等式的解集：能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解。一個含有未知數的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。求不等式解集的過程叫做解不等式。（3）一元一次不等式：左右兩邊都是整式，只含有一個未知數，且未知數的最高次數是1的不等式叫一元一次不等式。（4）一元一次不等式組：關于同一個未知數的幾個一元一次不等式合在一起，

19、就組成了一元一次不等式組。一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，叫做這個一元一次不等式組的解集。求不等式組解集的過程，叫做解不等式組。7 一元二次方程：方程有兩個實數根 方程有兩根同號 方程有兩根異號 韋達定理及應用：8 函數（1）變量：因變量，自變量。 在用圖象表示變量之間的關系時，通常用水平方向的數軸上的點自變量，用豎直方向的數軸上的點表示因變量。（2）一次函數：若兩個變量,間的關系式可以表示成（為常數，不等于0）的形式，則稱是的一次函數。當=0時，稱是的正比例函數。（3）一次函數的圖象及性質把一個函數的自變量與對應的因變量的值分別作為點的橫坐標與縱坐標，在直角坐標系內描出它的對應

20、點，所有這些點組成的圖形叫做該函數的圖象。正比例函數=的圖象是經過原點的一條直線。在一次函數中，當0， O，則經2、3、4象限；當0，0時，則經1、2、4象限；當0， 0時，則經1、3、4象限；當0， 0時，則經1、2、3象限。當0時，的值隨值的增大而增大，當0時，的值隨值的增大而減少。（4）二次函數：一般式：()，對稱軸是頂點是；頂點式：()，對稱軸是頂點是；交點式：()，其中（），（）是拋物線與x軸的交點（5）二次函數的性質 函數的圖象關于直線對稱。時，在對稱軸 （）左側，值隨值的增大而減少；在對稱軸（）右側；的值隨值的增大而增大。當時，取得最小值時，在對稱軸 （）左側，值隨值的增大而增大

21、；在對稱軸（）右側；的值隨值的增大而減少。當時，取得最大值9 圖形的對稱（1）軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。軸對稱圖形上關于對稱軸對稱的兩點確定的線段被對稱軸垂直平分。（2）中心對稱圖形：在平面內，一個圖形繞某個點旋轉180度，如果旋轉前后的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做他的對稱中心。中心對稱圖形上的每一對對應點所連成的線段都被對稱中心平分。10 平面直角坐標系（1）在平面內，兩條互相垂直且有公共原點的數軸組成平面直角坐標系。水平的數軸叫做軸或橫軸，鉛直的數軸叫做軸或縱軸，軸與軸統稱

22、坐標軸，他們的公共原點稱為直角坐標系的原點。（2）平面直角坐標系內的對稱點：設，是直角坐標系內的兩點，若與關于軸對稱，則有。若與關于軸對稱，則有。若與關于原點對稱，則有。若與關于直線對稱，則有。若與關于直線對稱，則有或。11 統計與概率：（1）科學記數法：一個大于10的數可以表示成的形式，其中大于等于1小于10，是正整數。（2）扇形統計圖：用圓表示總體，圓中的各個扇形分別代表總體中的不同部分，扇形的大小反映部分占總體的百分比的大小，這樣的統計圖叫做扇形統計圖。扇形統計圖中，每部分占總體的百分比等于該部分所對應的扇形圓心角的度數與360度的比。（3）各類統計圖的優劣：條形統計圖：能清楚表示出每個

23、項目的具體數目；折線統計圖：能清楚反映事物的變化情況；扇形統計圖：能清楚地表示出各部分在總體中所占的百分比。（5）平均數：對于個數，我們把()叫做這個個數的算術平均數，記為。（6）加權平均數：一組數據里各個數據的重要程度未必相同，因而，在計算這組數據的平均數時往往給每個數據加一個權，這就是加權平均數。（7）中位數與眾數：N個數據按大小順序排列，處于最中間位置的一個數據（或最中間兩個數據的平均數）叫做這組數據的中位數。一組數據中出現次數最大的那個數據叫做這個組數據的眾數。優劣比較：平均數：所有數據參加運算，能充分利用數據所提供的信息，因此在現實生活中常用，但容易受極端值影響；中位數：計算簡單，受

24、極端值影響少，但不能充分利用所有數據的信息；眾數：各個數據如果重復次數大致相等時，眾數往往沒有特別的意義。（8）調查：為了一定的目的而對考察對象進行的全面調查，稱為普查，其中所要考察對象的全體稱為總體，而組成總體的每一個考察對象稱為個體。從總體中抽取部分個體進行調查，這種調查稱為抽樣調查，其中從總體中抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本。抽樣調查只考察總體中的一小部分個體，因此他的優點是調查范圍小，節省時間，人力，物力與財力，但其調查結果往往不如普查得到的結果準確。為了獲得較為準確的調查結果，抽樣時要主要樣本的代表性與廣泛性。（9）頻數與頻率：每個對象出現的次數為頻數，而每個對象出現的次數與總次

25、數的比值為頻率。當收集的數據連續取值時，我們通常先將數據適當分組，然后再繪制頻數分布直方圖。（10）數據的波動：極差是指一組數據中最大數據與最小數據的差。方差是各個數據與平均數之差的平方與的平均數。標準差就是方差的算術平方根。一般來說，一組數據的極差，方差，或標準差越小，這組數據就越穩定。（11）事件的可能性：有些事情我們能確定他一定會發生，這些事情稱為必然事件；有些事情我們能肯定他一定不會發生，這些事情稱為不可能事件；必然事件與不可能事件都是確定的。有很多事情我們無法肯定他會不會發生，這些事情稱為不確定事件。一般來說，不確定事件發生的可能性是有大小的。（12）概率：人們通常用1（或100%）

26、來表示必然事件發生的可能性，用0來表示不可能事件發生的可能性。游戲對雙方公平是指雙方獲勝的可能性相同。必然事件發生的概率為1，記作（必然事件）；不可能事件發生的概率為，記作（不可能事件）；如果A為不確定事件，那么第四部分 分章節突破1.1 數與式的運算1.1.1 絕對值1.1.2 乘法公式1.1.3 二次根式1.1. 分式12 分解因式2.1 一元二次方程2.1.1 根的判別式2.1.2 根與系數的關系（韋達定理）22 二次函數2.2.1 二次函數yax2bxc的圖像與性質2.2.2 二次函數的三種表示方式2.2.3 二次函數的簡單應用2.3 方程與不等式2.3.1 二元二次方程組解法2.3.

27、2 一元二次不等式解法31 相似形3.1.1平行線分線段成比例定理3.1.2相似形3.2 三角形3.2.1 三角形的“四心”3.2.2 幾種特殊的三角形33圓3.3.1 直線與圓，圓與圓的位置關系3.3.2 點的軌跡1.1 數與式的運算1.1絕對值絕對值的代數意義：正數的絕對值是它的本身，負數的絕對值是它的相反數，零的絕對值仍是零即絕對值的幾何意義：一個數的絕對值，是數軸上表示它的點到原點的距離 兩個數的差的絕對值的幾何意義：表示在數軸上，數與數之間的距離例1 解不等式：4解法一：由，得；由，得；若，不等式可變為，即4，解得x0，又x1，x0；若，不等式可變為，即14，不存在滿足條件的x；若，

28、不等式可變為，即4， 解得x4又x3，x4綜上所述，原不等式的解為 x0，或x413ABx04CDxP|x1|x3|圖111解法二：如圖111，表示x軸上坐標為x的點P到坐標為1的點A之間的距離|PA|，即|PA|x1|；|x3|表示x軸上點P到坐標為2的點B之間的距離|PB|，即|PB|x3|所以，不等式4的幾何意義即為|PA|PB|4由|AB|2，可知點P 在點C(坐標為0)的左側、或點P在點D(坐標為4)的右側 x0，或x4練 習1填空：（1）若，則x=_；若，則x=_.（2）如果，且，則b_；若，則c_.2選擇題：下列敘述正確的是 （ ）（A）若，則 （B）若，則 （C）若，則 （D）

29、若，則3化簡：|x5|2x13|（x5）1.1.2. 乘法公式我們在初中已經學習過了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ；（2）完全平方公式 我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：（1）立方與公式 ；（2）立方差公式 ；（3）三數與平方公式 ；（4）兩數與立方公式 ；（5）兩數差立方公式 對上面列出的五個公式，有興趣的同學可以自己去證明例1 計算：解法一：原式=解法二：原式=例2 已知，求的值解： 練 習1填空：（1）（ ）；（2） ；（3） 2選擇題：（1）若是一個完全平方式，則等于 （ ）（A） （B） （C） （D）（2）不論，為何實數，的值 （ ） （A）總是正數 （B）總是負數 （

30、C）可以是零 （D）可以是正數也可以是負數1.1.3二次根式 一般地，形如的代數式叫做二次根式根號下含有字母、且不能夠開得盡方的式子稱為無理式. 例如 ，等是無理式，而，等是有理式1分母（子）有理化把分母（子）中的根號化去，叫做分母（子）有理化為了進行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數式互為有理化因式，例如與，與，與，與，等等 一般地，與，與，與互為有理化因式分母有理化的方法是分母與分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程；而分子有理化則是分母與分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程在二次

31、根式的化簡與運算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進行，運算中要運用公式；而對于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進行運算；二次根式的加減法與多項式的加減法類似，應在化簡的基礎上去括號與合并同類二次根式2二次根式的意義例1 將下列式子化為最簡二次根式：（1）； （2）； （3）解： （1）； （2）； （3）例2計算：第 頁解法一： 解法二： 例3 試比較下列各組數的大?。海?）與； （2）與.解： （1），又， （2） 又 42， 42，例4化簡：解：例 5 化簡：（1）； （2） 解：（1）原式 （2）原式=， 所以，原式例 6 已知，求的值 解：，練 習1填空：

32、（1）_ _；（2）若，則的取值范圍是_ _ _；（3）_ _；（4）若，則_ _2選擇題：等式成立的條件是 （ ）（A） （B） （C） （D）3若，求的值4比較大小：2 （填“”，或“”）1.1.分式 1分式的意義形如的式子，若B中含有字母，且，則稱為分式當M0時，分式具有下列性質： 上述性質被稱為分式的基本性質2繁分式像，這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式例1若，求常數的值解： ， 解得 例2（1）試證：（其中n是正整數）； （2）計算：； （3）證明：對任意大于1的正整數n， 有（1）證明：， （其中n是正整數）成立（2）解：由（1）可知（3）證明： 又n2，且n是正整數，

33、一定為正數， 例3設，且e1，2c25ac2a20，求e的值解：在2c25ac2a20兩邊同除以a2，得 2e25e20， (2e1)(e2)0， e1，舍去；或e2 e2練 習1填空題：對任意的正整數n， ()；2選擇題：若，則 （ ）（A） （B） （C） （D）3正數滿足，求的值4計算習題11A 組1解不等式： (1) ； (2) ； (3) 已知，求的值3填空：（1）_；（2）若，則的取值范圍是_；（3）_B 組1填空： （1），則_ _；（2）若，則_ _；2已知：，求的值C 組1選擇題：（1）若，則 （ ） （A） （B） （C） （D）（2）計算等于 （ ）（A） （B） （C）

34、 （D）2解方程3計算：4試證：對任意的正整數n，有1.1.1絕對值1（1）； （2）；或 2D 33x181.1.2乘法公式1（1） （2） （3）2（1）D （2）A1.1.3二次根式1 （1）（2）（3）（4）2C 31 41.1.4分式1 2B 3 4習題11A組1（1）或 （2）4x3 （3）x3，或x321 3（1） （2） （3） B組1（1） （2），或 24C組1（1）C （2）C 2 34提示：12 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還應了解求根法及待定系數法1十字相乘法例1 分解因式： （1）x23x2； （2）x24x12；

35、 （3）； （4） 解：（1）如圖121，將二次項x2分解成圖中的兩個x的積，再將常數項2分解成1與2的乘積，而圖中的對角線上的兩個數乘積的與為3x，就是x23x2中的一次項，所以，有x23x2(x1)(x2)aybyxx圖1242611圖1231211圖12212xx圖121 說明：今后在分解與本例類似的二次三項式時，可以直接將圖121中的兩個x用1來表示（如圖122所示）（2）由圖123，得x24x12(x2)(x6)（3）由圖124，得11xy圖125 （4）xy(xy)1(x1) (y+1) （如圖125所示）2提取公因式法與分組分解法例2 分解因式： （1）； （2）解： （1）=

36、或 （2）=或 3關于x的二次三項式ax2+bx+c(a0)的因式分解若關于x的方程的兩個實數根是、，則二次三項式就可分解為.例3把下列關于x的二次多項式分解因式：（1）； （2）解： （1）令=0，則解得，（2）令=0，則解得，練 習1選擇題：多項式的一個因式為 （ ）（A） （B） （C） （D）2分解因式：（1）x26x8； （2）8a3b3；（3）x22x1； （4）習題121分解因式：（1） ； （2）； （3）； （4）2在實數范圍內因式分解：（1） ； （2）； （3）； （4）3三邊，滿足，試判定的形狀4分解因式：x2x(a2a)1.2分解因式1 B 2（1）(x2)(x4)

37、（2）（3） （4）習題121（1） （2） （3） （4） 2（1）；（2）；（3）； （4）3等邊三角形42.1 一元二次方程2.1.1根的判別式我們知道，對于一元二次方程ax2bxc0（a0），用配方法可以將其變形為因為a0，所以，4a20于是（1）當b24ac0時，方程的右端是一個正數，因此，原方程有兩個不相等的實數根 x1，2；（2）當b24ac0時，方程的右端為零，因此，原方程有兩個等的實數根 x1x2；（3）當b24ac0時，方程的右端是一個負數，而方程的左邊一定大于或等于零，因此，原方程沒有實數根由此可知，一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的情況可以由b24ac來判定，我們

38、把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的判別式，通常用符號“”來表示綜上所述，對于一元二次方程ax2bxc0（a0），有（1） 當0時，方程有兩個不相等的實數根 x1，2；（2）當0時，方程有兩個相等的實數根 x1x2；（3）當0時，方程沒有實數根例1 判定下列關于x的方程的根的情況（其中a為常數），如果方程有實數根，寫出方程的實數根（1）x23x30； （2）x2ax10； （3） x2ax(a1)0； （4）x22xa0解：（1）3241330，方程沒有實數根（2）該方程的根的判別式a241(1)a240，所以方程一定有兩個不等的實數根（3）由于該方程的根的判別式為a241

39、(a1)a24a4(a2)2，所以，當a2時，0，所以方程有兩個相等的實數根 x1x21；當a2時，0， 所以方程有兩個不相等的實數根 x11，x2a1（3）由于該方程的根的判別式為2241a44a4(1a)，所以當0，即4(1a) 0，即a1時，方程有兩個不相等的實數根 當0，即a1時，方程有兩個相等的實數根 x1x21； 當0，即a1時，方程沒有實數根說明：在第3，4小題中，方程的根的判別式的符號隨著a的取值的變化而變化，于是，在解題過程中，需要對a的取值情況進行討論，這一方法叫做分類討論分類討論這一思想方法是高中數學中一個非常重要的方法，在今后的解題中會經常地運用這一方法來解決問題2.1

40、.2 根與系數的關系（韋達定理） 若一元二次方程ax2bxc0（a0）有兩個實數根則有所以，一元二次方程的根與系數之間存在下列關系： 如果ax2bxc0（a0）的兩根分別是x1，x2，那么x1x2，x1x2這一關系也被稱為韋達定理特別地，對于二次項系數為1的一元二次方程x2pxq0，若x1，x2是其兩根，由韋達定理可知 x1x2p，x1x2q，即 p(x1x2)，qx1x2，所以，方程x2pxq0可化為 x2(x1x2)xx1x20，由于x1，x2是一元二次方程x2pxq0的兩根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2(x1x2)xx1x20因此有以兩個數x1，x2為根的一元二次方程（二次項系數

41、為1）是x2(x1x2)xx1x20例2 已知方程的一個根是2，求它的另一個根及k的值分析：由于已知了方程的一個根，可以直接將這一根代入，求出k的值，再由方程解出另一個根但由于我們學習了韋達定理，又可以利用韋達定理來解題，即由于已知了方程的一個根及方程的二次項系數與常數項，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個根，再由兩根之與求出k的值解法一：2是方程的一個根，522k260，k7所以，方程就為5x27x60，解得x12，x2所以，方程的另一個根為，k的值為7解法二：設方程的另一個根為x1，則 2x1，x1由 （）2，得 k7所以，方程的另一個根為，k的值為7例3 已知關于x的方程x22(m2)

42、xm240有兩個實數根，并且這兩個實數根的平方與比兩個根的積大21，求m的值分析：本題可以利用韋達定理，由實數根的平方與比兩個根的積大21得到關于m的方程，從而解得m的值但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個實數根，因此，其根的判別式應大于零解：設x1，x2是方程的兩根，由韋達定理，得 x1x22(m2)，x1x2m24 x12x22x1x221， (x1x2)23 x1x221，即 2(m2)23(m24)21，化簡，得 m216m170， 解得 m1，或m17當m1時，方程為x26x50，0，滿足題意；當m17時，方程為x230x2930，302412930，不合題意，舍去綜上，

43、m17說明：（1）在本題的解題過程中，也可以先研究滿足方程有兩個實數根所對應的m的范圍，然后再由“兩個實數根的平方與比兩個根的積大21”求出m的值，取滿足條件的m的值即可（1）在今后的解題過程中，如果僅僅由韋達定理解題時，還要考慮到根的判別式是否大于或大于零因為，韋達定理成立的前提是一元二次方程有實數根例4 已知兩個數的與為4，積為12，求這兩個數分析：我們可以設出這兩個數分別為x，y，利用二元方程求解出這兩個數也可以利用韋達定理轉化出一元二次方程來求解解法一：設這兩個數分別是x，y，則 xy4， xy12 由，得 y4x， 代入，得x(4x)12，即 x24x120，x12，x26 或因此，

44、這兩個數是2與6解法二：由韋達定理可知，這兩個數是方程 x24x120的兩個根 解這個方程，得 x12，x26所以，這兩個數是2與6說明：從上面的兩種解法我們不難發現，解法二（直接利用韋達定理來解題）要比解法一簡捷例5 若x1與x2分別是一元二次方程2x25x30的兩根（1）求| x1x2|的值； （2）求的值；（3）x13x23解：x1與x2分別是一元二次方程2x25x30的兩根，（1）| x1x2|2x12+ x222 x1x2(x1x2)24 x1x2 6， | x1x2|（2）（3）x13x23(x1x2)( x12x1x2x22)(x1x2) ( x1x2) 23x1x2 ()()2

45、3()說明：一元二次方程的兩根之差的絕對值是一個重要的量，今后我們經常會遇到求這一個量的問題，為了解題簡便，我們可以探討出其一般規律：設x1與x2分別是一元二次方程ax2bxc0（a0），則| x1x2|于是有下面的結論：若x1與x2分別是一元二次方程ax2bxc0（a0），則| x1x2|（其中b24ac）今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對值時，可以直接利用上面的結論例6 若關于x的一元二次方程x2xa40的一根大于零、另一根小于零，求實數a的取值范圍解：設x1，x2是方程的兩根，則 x1x2a40， 且(1)24(a4)0 由得 a4，由得 aa的取值范圍是a4練 習1選擇題：（1）方程的根的情況是 （ ） （A）有一個實數根 （B）有兩個不相等的實數根（C）有兩個相等的實數根 （D）沒有實數根（2）若關于x的方程mx2 (2m1)xm0有兩個不相等的實數根，則實數m的取值范圍是 （ ） （A）m （B）m （C）m，且m0 （D）m，且m0 2填空:（1）若方程x23x10的兩根分別是x1與x2，則 （2）方程mx2x2m0（m0）的根的情況是 （3）以3與1為根的一元二次方程是 3已知，當k取何值時，方程kx2axb0有兩個不相等的實數根？