1、醫(yī)學科學的發(fā)展已經(jīng)能夠有效地預防和控制許多傳染病，但是仍然有一些傳染病暴發(fā)或流行，危害人們的健康和生命。社會、經(jīng)濟、文化、風俗習慣等因素都會影響傳染病的傳播，而最直接的因素是：傳染者的數(shù)量及其在人群中的分布、被傳染者的數(shù)量、傳播形式、傳播能力、免疫能力等。一般把傳染病流行范圍內(nèi)的人群分成三類：S類，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，與感染者接觸后容易受到感染；I類，感病者(Infective)，指染上傳染病的人，它可以傳播給S類成員；R類，移出者(Removal)，指被隔離或因病愈而具有免疫力的人。問題提出 請建立傳染病模型，描述傳染病的傳播過程,分析受感染人數(shù)的變

2、化規(guī)律以及被傳染的人數(shù)與哪些因素有關？如何預報傳染病高潮的到來?為什么同一地區(qū)一種傳染病每次流行時，被傳染的人數(shù)大致不變？按照傳播過程的一般規(guī)律，用機理分析方法建立模型問題分析： 關鍵字:社會、經(jīng)濟、文化、風俗習慣等因素 摘要：隨著衛(wèi)生設施的改善、醫(yī)療水平的提高以及人類文明的不斷發(fā)展，諸如霍亂、天花等曾經(jīng)肆虐全球的傳染性疾病已經(jīng)得到有效的控制。但是一些新的、不斷變異著的傳染病毒卻悄悄向人類襲來。20世紀80年代十分險惡的愛滋病毒開始肆虐全球，至今帶來極大的危害。長期以來，建立制止傳染病蔓延的手段等，一直是各國有關專家和官員關注的課題。不同類型傳染病的傳播過程有其各自不同的特點，弄清這些特點需要

3、相當多的病理知識，這里不可能從醫(yī)學的角度一一分析各種傳染病的傳播，而只是按照一般的傳播模型機理建立幾種模型。模型1 在這個最簡單的模型中，設時刻t的病人人數(shù)x(t)是連續(xù)、可微函數(shù)，方程（1）的解為結果表明，隨著t的增加，病人人數(shù)x(t)無限增長，這顯然是不符合實際的。建模失敗的原因在于：在病人有效接觸的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才可以被傳染為病人，所以在改進的模型中必須區(qū)別這兩種人。模型2 SI模型假設條件為1.在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的總人數(shù)N不變，即不考慮生死，也不考慮遷移。人群分為易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）兩類（取兩個詞的第一個字

4、母，稱之為SI模型），以下簡稱健康者和病人。時刻t這兩類人在總人數(shù)中所占比例分別記作s(t)和i(t)。2.每個病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù)，稱為日接觸率。當病人與健康者接觸時，使健康者受感染變?yōu)椴∪恕７匠蹋?）是Logistic模型。它的解為這時病人增加的最快，可以認為是醫(yī)院的門診量最大的一天，預示著傳染病高潮的到來，是醫(yī)療衛(wèi)生部門關注的時刻其原因是模型中沒有考慮到病人可以治愈，人群中的健康者只能變成病人，病人不會再變成健康者。模型3SIR模型大多數(shù)傳染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很強的免疫力，所以病愈的人即非健康者（易感染者），也非病人（已感染者），他們已經(jīng)退出傳染系統(tǒng)。這種

5、情況比較復雜，下面將詳細分析建模過程。模型假設1.總人數(shù)N不變。人群分為健康者、病人和病愈免疫的移出者（Removed）三類，稱SIR模型。三類人在總數(shù)N中占的比例分別記作s(t),i(t)和r(t)。病人的日接觸率為l，日治愈率為m（與SI模型相同），傳染期接觸為s=l/m。模型構成由假設1顯然有s(t)+i(t)+r(t)=1 (12) 根據(jù)條件2方程（8）仍然成立。對于病愈免疫的移出者而言有方程（14）無法求出s(t) 和i(t)的解析解，我們先作數(shù)值計算。模型 4 SIR模型SIR模型是指易感染者被傳染后變?yōu)楦腥咀。胁≌呖梢员恢斡a(chǎn)生免疫力，變?yōu)橐瞥摺Ｈ藛T流動圖為：S-I-R

6、。大多數(shù)傳染者如天花 流感 肝炎 麻疹等治愈后均有很強的免疫力，所以冰域的人即非易感者，也非感病者，因此他們將被移除傳染系統(tǒng)，我們稱之為移除者，記為R類假設：1 總人數(shù)為常數(shù)，且i（t）+s（t）+r（t）=n；2 單位時間內(nèi)一個病人能傳染的人數(shù)與當時健康者人數(shù)成正比，比例系數(shù)為k（傳染強度）。3 單位時間內(nèi)病愈免疫的人數(shù)與但是的病人人數(shù)成正比，比例系數(shù)l。稱為恢復系數(shù)。 可得方程：模型分析：由以上方程組的：=p/s-1 p=l/k, 所以i=plns/-s+n.容易看出當t無限大時 i(t)=0;而當p時，i(t)單調(diào)下將趨于零；上批示，i(t)先單調(diào)上升的最高峰，然后再單調(diào)下降趨于零。所以

7、這里仍然出現(xiàn)了門檻現(xiàn)象：p是一個門檻。從p的意義可知，應該降低傳染率，提高回復率，即提高衛(wèi)生醫(yī)療水平。令t可得：=2*(p)/p所以：p s0=p+，當時，s2，這也就解釋了本文開頭的問題，即統(tǒng)一地區(qū)一種傳染病每次流行時，被傳染的人數(shù)大致不變。模型的應用與推廣：根據(jù)傳染病的模型建立研究進而推廣產(chǎn)生了傳染病動力學模型。傳染病動力學1是對進行理論性定量研究的一種重要方法,是根據(jù)種群生長的特性,疾病的發(fā)生及在種群內(nèi)的傳播,發(fā)展規(guī)律,以及與之有關的社會等因素,建立能反映傳染病動力學特性的數(shù)學模型,通過對模型動力學性態(tài)的定性,定量分析和數(shù)值模擬,來分析疾病的發(fā)展過程,揭示流行規(guī)律,預測變化趨勢,分析疾病

8、流行的原因和關鍵。對于2003年發(fā)生的SARS疫情,國內(nèi)外學者建立了大量的動力學模型研究其傳播規(guī)律和趨勢,研究各種隔離預防措施的強度對控制流行的作用,為決策部門提供參考.有關SARS傳播動力學研究多數(shù)采用的是SIR或SEIR模型.評價措施效果或擬合實際流行數(shù)據(jù)時,往往通過改變接觸率和感染效率兩個參數(shù)的值來實現(xiàn).石耀霖2建了SARS傳播的系統(tǒng)動力學模型,以越南的數(shù)據(jù)為參考,進行了Monte Carlo實驗,初步結果表明,感染率及其隨時間的變化是影響SARS傳播的最重要因素.蔡全才3建立了可定量評價SARS干預措施效果的傳播動力學模型,并對北京的數(shù)據(jù)進行了較好的擬合.參考文獻：1姜啟源 編輔導 課

9、程（九） 主講教師 : 鄧 磊2西北工業(yè)大學（數(shù)學建模） 精品課程3耀霖.SARS傳染擴散的動力學隨機模型J.科學通報,2003,48(13)1373-1377附錄: 1數(shù)學建模就是用數(shù)學語言描述實際現(xiàn)象的過程。這里的實際現(xiàn)象既包涵具體的自然現(xiàn)象比如自由落體現(xiàn)象，也包涵抽象的現(xiàn)象比如顧客對某種商品所取的價值傾向。這里的描述不但包括外在形態(tài)，內(nèi)在機制的描述，也包括預測，試驗和解釋實際現(xiàn)象等內(nèi)容2數(shù)學建模的幾個過程:模型準備：了解問題的實際背景，明確其實際意義，掌握對象的各種信息。用數(shù)學語言來描述問題。模型假設：根據(jù)實際對象的特征和建模的目的，對問題進行必要的簡化，并用精確的語言提出一些恰當?shù)募僭O。模型建立：在假設的基礎上，利用適當?shù)臄?shù)學工具來刻劃各變量之間的數(shù)學關系，建立相應的數(shù)學結構。（盡量用簡單的數(shù)學工具）模型求解：利用獲取的數(shù)據(jù)資料，對模型的所有參數(shù)做出計算（估計）。模