1、題目 (選修)第一章概率與統(tǒng)計抽樣方法與總體分布的估計高考要求 1.會用隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣等常用的抽樣方法從總體中抽取樣本 2.會用樣本頻率分布去估計總體分布 知識點歸納 1.簡單隨機抽樣：設(shè)一個總體的個體數(shù)為N如果通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣本，且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡單隨機抽樣 用簡單隨機抽樣從含有N個個體的總體中抽取一個容量為的樣本時，每次抽取一個個體時任一個體被抽到的概率為；在整個抽樣過程中各個個體被抽到的概率為； 簡單隨機抽樣的特點是，逐個抽取，且各個個體被抽到的概率相等,是不放回抽樣.簡單隨機抽樣方法，體現(xiàn)了抽樣的客觀性與公平性，是其他

2、更復(fù)雜抽樣方法的基礎(chǔ)2.抽簽法：先將總體中的所有個體（共有N個）編號（號碼可從1到N），并把號碼寫在形狀、大小相同的號簽上（號簽可用小球、卡片、紙條等制作），然后將這些號簽放在同一個箱子里，進行均勻攪拌，抽簽時每次從中抽一個號簽，連續(xù)抽取n次，就得到一個容量為n的樣本 適用范圍：總體的個體數(shù)不多時 優(yōu)點：抽簽法簡便易行，當(dāng)總體的個體數(shù)不太多時適宜采用抽簽法 3.隨機數(shù)表法： 隨機數(shù)表抽樣“三步曲”：第一步，將總體中的個體編號；第二步，選定開始的數(shù)字；第三步，獲取樣本號碼 4.系統(tǒng)抽樣:當(dāng)總體中的個體數(shù)較多時，可將總體分成均衡的幾個部分，然后按預(yù)先定出的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體，得到需要的樣

3、本，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣系統(tǒng)抽樣的步驟：采用隨機的方式將總體中的個體編號為簡便起見，有時可直接采用個體所帶有的號碼，如考生的準考證號、街道上各戶的門牌號，等等 為將整個的編號分段（即分成幾個部分），要確定分段的間隔k當(dāng)（N為總體中的個體的個數(shù)，n為樣本容量）是整數(shù)時，k=;當(dāng)不是整數(shù)時，通過從總體中剔除一些個體使剩下的總體中個體的個數(shù)能被n整除，這時k=.在第一段用簡單隨機抽樣確定起始的個體編號 按照事先確定的規(guī)則抽取樣本（通常是將加上間隔k，得到第2個編號+k,第3個編號+2k，這樣繼續(xù)下去，直到獲取整個樣本） 系統(tǒng)抽樣適用于總體中的個體數(shù)較多的情況，它與簡單隨機抽樣的聯(lián)系在于：將總體均分后

4、的每一部分進行抽樣時，采用的是簡單隨機抽樣；與簡單隨機抽樣一樣，系統(tǒng)抽樣是等概率抽樣，它是客觀的、公平的總體中的個體數(shù)恰好能被樣本容量整除時，可用它們的比值作為系統(tǒng)抽樣的間隔；當(dāng)總體中的個體數(shù)不能被樣本容量整除時，可用簡單隨機抽樣先從總體中剔除少量個體，使剩下的個體數(shù)能被樣本容量整除在進行系統(tǒng)抽樣 5.分層抽樣: 當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時，為了使樣本更充分地反映總體的情況，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比例進行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，所分成的部分叫做層 6.常用的抽樣方法及它們之間的聯(lián)系和區(qū)別：類別共同點各自特點相互聯(lián)系適用范圍簡單隨機抽樣抽樣過程中每個個體被抽取的概率

5、是相同的從總體中逐個抽取總體中的個數(shù)比較少系統(tǒng)抽樣將總體均勻分成幾個部分，按照事先確定的規(guī)則在各部分抽取在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣總體中的個數(shù)比較多分層抽樣將總體分成幾層，分層進行抽取各層抽樣時采用簡單抽樣或者相同抽樣總體由差異明顯的幾部分組成7.不放回抽樣和放回抽樣:在抽樣中，如果每次抽出個體后不再將它放回總體，稱這樣的抽樣為不放回抽樣；如果每次抽出個體后再將它放回總體，稱這樣的抽樣為放回抽樣隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣都是不放回抽樣8.總體：在數(shù)理統(tǒng)計中，通常把被研究的對象的全體叫做總體.9.頻率分布：用樣本估計總體，是研究統(tǒng)計問題的基本思想方法，樣本中所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻數(shù)和樣

6、本容量的比，就是該數(shù)據(jù)的頻率.所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻率的分布變化規(guī)律叫做樣本的頻率分布.可以用樣本頻率表、樣本頻率分布條形圖或頻率分布直方圖來表示.10.總體分布：從總體中抽取一個個體，就是一次隨機試驗，從總體中抽取一個容量為n的樣本，就是進行了n次試驗，試驗連同所出現(xiàn)的結(jié)果叫隨機事件，所有這些事件的概率分布規(guī)律稱為總體分布.11.總體密度曲線:樣本容量越大，所分組數(shù)越多，各組的頻率就越接近于總體在相應(yīng)各組取值的概率設(shè)想樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線,這條曲線叫做總體密度曲線它反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的概率根據(jù)這條曲線，可求出總體在區(qū)間（

7、a，b）內(nèi)取值的概率等于該區(qū)間上總體密度曲線與x軸、直線x=a、x=b所圍成曲邊梯形的面積。9.總體分布密度密度曲線函數(shù)y=f(x)的兩條基本性質(zhì)：f(x) 0(xR)；由曲線y=f(x)與x軸圍成面積為1。題型講解 例1 某公司在甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有150個、120個、180個、150個銷售點.公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，需從這600個銷售點中抽取一個容量為100的樣本，記這項調(diào)查為；在丙地區(qū)中有20個特大型銷售點，要從中抽取7個調(diào)查其銷售收入和售后服務(wù)情況，記這項調(diào)查為.則完成、這兩項調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是A.分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法B.分層抽樣法，簡單隨機抽樣法C.系統(tǒng)抽樣法，

8、分層抽樣法D.簡單隨機抽樣法，分層抽樣法分析：此題為抽樣方法的選取問題.當(dāng)總體中個體較多時宜采用系統(tǒng)抽樣；當(dāng)總體中的個體差異較大時，宜采用分層抽樣；當(dāng)總體中個體較少時，宜采用隨機抽樣.解：依據(jù)題意，第項調(diào)查應(yīng)采用分層抽樣法、第項調(diào)查應(yīng)采用簡單隨機抽樣法.故選B.答案：B點評：采用什么樣的抽樣方法要依據(jù)研究的總體中的個體情況來定.例2 一個總體中有100個個體，隨機編號為0，1，2，99，依編號順序平均分成10個小組，組號依次為1，2，3，10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為10的樣本，規(guī)定如果在第1組隨機抽取的號碼為m，那么在第k小組中抽取的號碼個位數(shù)字與m+k的個位數(shù)字相同.若m=6，則在第

9、7組中抽取的號碼是_.分析：此問題總體中個體的個數(shù)較多，因此采用系統(tǒng)抽樣.按題目中要求的規(guī)則抽取即可.解：m=6，k=7，m+k=13，在第7小組中抽取的號碼是63.答案：63點評：當(dāng)總體中個體個數(shù)較多而差異又不大時可采用系統(tǒng)抽樣.采用系統(tǒng)抽樣在每小組內(nèi)抽取時應(yīng)按規(guī)則進行.例3 把容量為100的某個樣本數(shù)據(jù)分為10組，并填寫頻率分布表，若前七組的累積頻率為0.79，而剩下三組的頻數(shù)成公比大于2的整數(shù)等比數(shù)列，則剩下三組中頻數(shù)最高的一組的頻數(shù)為_.分析：已知前七組的累積頻率為0.79，而要研究后三組的問題，因此應(yīng)先求出后三組的頻率之和為10.79=0.21，進而求出后三組的共有頻數(shù)，或者先求前七

10、組共有頻數(shù)后，再計算后三組的共有頻數(shù).解：由已知知前七組的累積頻數(shù)為0.79×100=79，故后三組共有的頻數(shù)為21，依題意=21，a1（1+q+q2）=21（整解方程）q>2, 1+q+q2>7.a1=1，q=4.后三組頻數(shù)最高的一組的頻數(shù)為16.答案：16點評：此題分析只按第二種思路給出了解答。例4 對某電子元件進行壽命追蹤調(diào)查，情況如下：壽命（h）100200200300300400400500500600個 數(shù)2030804030（1）列出頻率分布表；（2）畫出頻率分布直方圖和累積頻率分布圖；（3）估計電子元件壽命在100400 h以內(nèi)的概率；（4）估計電子元件壽

11、命在400 h以上的概率.分析：通過本題可掌握總體分布估計的各種方法和步驟.解：（1）頻率分布表如下：壽命（h）頻 數(shù)頻 率累積頻率100200200.100.10200300300.150.25300400800.400.65400500400.200.85500600300.151合 計2001（2）頻率分布直方圖如下：（3）由累積頻率分布圖可以看出，壽命在100400 h內(nèi)的電子元件出現(xiàn)的頻率為0.65，所以我們估計電子元件壽命在100400 h內(nèi)的概率為0.65.（4）由頻率分布表可知，壽命在400 h以上的電子元件出現(xiàn)的頻率為0.20+0.15=0.35，故我們估計電子元件壽命在40

12、0 h以上的概率為0.35.點評：畫頻率分布條形圖、直方圖時要注意縱、橫坐標(biāo)軸的意義.例5 某批零件共160個，其中，一級品48個，二級品64個，三級品32個，等外品16個.從中抽取一個容量為20的樣本.請說明分別用簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣法抽取時總體中的每個個體被取到的概率均相同.分析：要說明每個個體被取到的概率相同，只需計算出用三種抽樣方法抽取個體時，每個個體被取到的概率.解：（1）簡單隨機抽樣法：可采取抽簽法，將160個零件按1160編號，相應(yīng)地制作1160號的160個簽，從中隨機抽20個.顯然每個個體被抽到的概率為=.（2）系統(tǒng)抽樣法：將160個零件從1至160編上號，按編號順

13、序分成20組，每組8個.然后在第1組用抽簽法隨機抽取一個號碼，如它是第k號（1k8），則在其余組中分別抽取第k+8n（n=1，2，3，19）號，此時每個個體被抽到的概率為.（3）分層抽樣法：按比例=，分別在一級品、二級品、三級品、等外品中抽取48×=6個，64×=8個，32×=4個，16×=2個，每個個體被抽到的概率分別為，即都是.綜上可知，無論采取哪種抽樣，總體的每個個體被抽到的概率都是.點評：三種抽樣方法的共同點就是每個個體被抽到的概率相同，這樣樣本的抽取體現(xiàn)了公平性和客觀性.小結(jié)：1.簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣是三種常用的抽樣方法，三種方法的

14、共同特點是在抽樣過程中每一個個體被抽取的概率相等，體現(xiàn)這些抽樣方法的客觀性和總體性。2.日常生活中的一些問題，我們可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，借助于函數(shù)、方程、不等式、概率、統(tǒng)計等知識解決。同時，要提高分析問題和解決問題的能力，必須關(guān)注生產(chǎn)和生活。學(xué)生練習(xí) 1.為調(diào)查參加運動會的1000名運動員的年齡情況，從中抽查了100名運動員的年齡，就這個問題來說，下列說法正確的是A.1000名運動員是總體B.每個運動員是個體C.抽取的100名運動員是樣本D.樣本容量是100解析：這個問題我們研究的是運動員的年齡情況.因此應(yīng)選D.答案：D2.一個總體中共有10個個體，用簡單隨機抽樣的方法從中抽取一個容量為3的樣本

15、，則某特定個體入樣的概率是A.B.C. D.解析：用簡單隨機抽樣法從中抽取，則每個個體被抽到的概率都相同為，所以選C.答案：C3.一個容量為n的樣本，分成若干組，已知某數(shù)的頻數(shù)和頻率分別為40、0.125，則n的值為A.640 B.320 C.240 D.160解析：=0.125，n=320.故選B.答案：B4.一個單位有500名職工，其中不到35歲的有125人，3549歲的有280人，50歲以上的有95人，要從中抽取一個容量為100的樣本，較為恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ㄊ牵ǎ〢.簡單隨機抽樣B.系統(tǒng)抽樣 C.分層抽樣D.以上三種均可答案：C5.某學(xué)院有四個飼養(yǎng)房，分別養(yǎng)有18，24,54,48只白鼠供實

16、驗用，某項實驗需抽取24只，你認為最合適的抽樣方法為（）A.在每個飼養(yǎng)房各抽取6只B.把所有白鼠都加上編有不同號碼的項圈，用隨機取樣法確定24只C.在四個飼養(yǎng)房分別隨手提出3,9,4,8只D.先確定這四個飼養(yǎng)房應(yīng)分別抽取3,4,9,8樣品，再由各飼養(yǎng)房自己加上號碼項圈，用簡單隨機抽樣法確定各自的捕捉對象答案：D6.將容量為100的樣本數(shù)據(jù)，按由小到大排列分成8個小組，如表：組號12345678頻率101314141513129第3組的頻率和累積頻率為（）A、0.140.37B、C、0.030.06D、答案：A7.某校為了了解學(xué)生的課外閱讀情況，隨機調(diào)查了50名學(xué)生，得到他們在某一天各自課外閱讀

17、所用時間的數(shù)據(jù)，結(jié)果用下面的條形圖表示，根據(jù)條形圖可得這50名學(xué)生這一天平均每人的課外閱讀時間為A.0.6 h B.0.9 h C.1.0 h D.1.5 h解析：=0.9.答案：B8.某單位有職工100人，不到35歲的有45人，35歲到49歲的有25人，剩下的為50歲以上的人，用分層抽樣法從中抽取20人，各年齡段分別抽取的人數(shù)為A.7，5，8 B.9，5，6 C.6，5，9 D.8，5，7解析：45×=×45=9，25×=5，30×=6.答案：B9.某單位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，為了調(diào)查他們的健康狀況，需從他們中抽取一個容量為36的

18、樣本，在簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣這三種方法中較合適的抽樣方法是_.解析：要研究的總體里各部分情況差異較大，因此用分層抽樣.答案：分層抽樣10.某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)考試中成績分布如下表：分數(shù)段0，80）80，90）90，100）人數(shù)2）56分數(shù)段100，110）110，120 120，130）人數(shù)8126分數(shù)段130，140）140，150）人數(shù)42那么分數(shù)在100，110）中的頻率和分數(shù)不滿110分的累積頻率分別是_、_（精確到0.01）.解析：由頻率計算方法知：總?cè)藬?shù)=45.分數(shù)在100，110）中的頻率為 =0.1780.18.分數(shù)不滿110分的累積頻率為=0.47.答案：0.18

19、0.4711.某單位共有N個職工，要從N個職工中采用分層抽樣法抽取n個樣本，已知該單位的某一部門有M個員工，那么從這一部門中抽取的職工數(shù)為_.答案：12.舉例說明簡單隨機抽樣和分層抽樣兩種抽樣方法，無論使用哪一種抽樣方法，總體中的每一個個體被抽到的概率都相等.解：袋中有160個小球，其中紅球48個，藍球64個，白球16個，黃球32個，從中抽取20個作為一個樣本.（1）使用簡單隨機抽樣：每個個體被抽到的概率為=.（2）使用分層抽樣：四種球的個數(shù)比為3412.紅球應(yīng)抽×20=6個；藍球應(yīng)抽×20=8個；白球應(yīng)抽×20=2個；黃球應(yīng)抽×20=4個.由于=，所以

20、，按顏色區(qū)分，每個球被抽到的概率也都是.13.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品，可分為一等品、二等品、三等品三類，根據(jù)抽樣檢驗的記錄有一等品54個、二等品140個、三等品6個.（1）估計三種產(chǎn)品的概率；（2）畫出頻率分布條形圖.解：（1）0.27，0.7，0.03.（2）頻率分布條形圖如下14.某縣政府機關(guān)在編人員100人，其中副處級以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上級人事部門為了了解職工對機構(gòu)改革的意見，要從中抽取一個容量為20的樣本，試說明具體實施辦法，并證明用這種抽樣方法可使總體中每個個體被抽到的概率相等.解：因機構(gòu)改革關(guān)系到所有人的利益，故采用分層抽樣方法較宜.=，10×=2，70×=14，20×=4.故從副處級以上干部中抽取2人，從一般干部中抽取14人，