1、目錄目錄第一講 函數、極限、連續7一、函數7二、極限71. 極限存在的充要條件72. 極限的性質73. 極限的運算法則74. 極限存在準則75. 兩個重要極限76. 無窮小/無窮大87. 常用的等價無窮小88. 等價代換原理（加減法，乘除法）89必須左、右極限的幾種函數8三、連續91定義92. 間斷點及其分類93. 閉區間連續函數的性質9第二講 導數與微分10一、導數101定義102. 導數的幾何意義10二、導數的計算10求導公式10求導運算法則11(1) 四則運算求導法則11(2) 復合函數求導法則11(3) 反函數求導11(4) 隱函數求導11(6) 由參數方程定義的函數(數一、數二)12

2、（7）絕對值函數的可導性. 12三、高階導數12四、微分131定義132微分與導數的關系13第三講 微分學中值定理及其應用14一、微分中值定理141.費馬引理141目錄2. 羅爾中值定理143. 拉格朗日中值定理144. 柯西中值定理145.18 個羅爾定理結論156. 洛必達法則167. 泰勒公式16二、微分學的應用171單調性的. 172. 函數極值及求法183. 曲線的凹凸性.184曲率195漸近線19第四講 不定. 21一、原函數21二、不定211.公式（表）21三、方法221借助公式和不定的性質222. 第一換元法(湊微分法)223. 第一換元法(湊微分法)的常見類型224. 第二換

3、元法245分部法25四、特殊類型函數的1有理函數的(數一、數二)25. 252三角函數有理式的. 263無理函數. 26第五講 定一、定及應用28. 281.定義282.二、定三、微可積條件28的性質28基本定理291. 變上限2. 變上限的函數29的函數的性質293.牛頓一萊布尼茲公式29四、定的計算方法291.定的換元法292.分部五、反常法30. 302目錄1.無窮區間上的廣義302.函數的廣義(瑕) . 313.反常審斂法314 G函數32六、定1 定的應用32的幾何應用33(1) 平面圖形的面積33直角坐標33極坐標33常見的極坐標曲線33(2) 體積的求解34旋轉體的體積34平行截

4、面面積已知的立體體積（數一、數二）35(3) 平面曲線的弧長問題 (數一、數二)35(4) 旋轉面的側面積問題（數一、數二）35(5) 直線段的質心坐標(數一、數二)362. 定的物理應用 (數一、數二)36變力作功36水36引力36第六講 常微分方程37一、常微分方程的概念37二、一階微分方程371. 變量可分離微分方程372. 齊次微分方程373. 一階線性微分方程374. 伯努利(Bernoulli)方程(數一)375. 全微分方程(數一)37三、可降階微分方程(數一、二)37四、線性微分方程解的性質38（1） 二階線性微分方程解的性質38（2） 高于二階的線性微分方程解的性質38五、高

5、階常系數線性微分方程391. 二階常系數齊次線性微分方程392. 高于二階的常系數齊次線性微分方程(數一)393. 二階常系數非齊次線性微分方程40六、歐拉(Euler)方程(數一)40七、微分方程在幾何上應用舉例41八、微分方程在物理上應用舉例413目錄第七講 向量代數與空間幾何（僅數一）42一、向量421. 定義422. 數量積423. 向量積424. 混合積42二、直線與平面431. 平面方程432. 直線方程433. 平面與直線的位置關系（平行、垂直、夾角）434. 點到面的距離445. 點到直線距離446. 3 個平面之間的 8 種位置關系44三、曲面與空間曲線451.旋轉面452.

6、柱面453.錐面454.常見二次曲面455、常見曲面466. 空間曲線投影477. 切線與法向量47第八講 多元函數微分法及其應用49一、多元函數、極限、連續性491. 多元函數的概念492. 二元函數的極限493. 多元函數的連續性49二、多元函數的偏導數與全微分491 偏導數的概念49. 49（1）定義（2）高階偏導數492. 求偏導的方法493. 全微分504. 方向導數與梯度（僅數一）505. 幾個概念之間關系50三、微分學的應用531. 多元函數的極值53(1) 一般極值53(2) 條件極值53第九講 重544目錄一、二重1. 二重2. 二重3. 二重. 54的概念54的性質54的計

7、算54(1)二重（2）二重(3)二重在直角坐標系中的計算54在極坐標系中的計算55的特殊計算方法55（4）在哪些情況下需調換二次的次序56（5）被積函數不是初等函數的情況56（6）將單（定）、二次化為二重，利用二重性質證明56二、三重1. 三重2. 三重（僅數一）56的概念56的計算：將三重化成三次定. 56. 56. 57. 57(1)利用直角坐標計算三重(2）利用柱面坐標計算三重(3）利用球坐標計算三重(4)三重的特殊計算方法57利用奇偶對稱性簡化三重的計算57利用輪換對稱性簡化計算58的應用（僅數一）58三、重（1）曲面面積58（2）質心58（3）轉動慣量59第十講 無窮級數（數一、數三

8、）60一、數項級數的概念與性質601. 數項級數的概念602. 數項級數的性質60二、正項級數的斂散性的判別60三、任意項級數61四、函數項級數62五、冪級數63六、傅里葉級數（數一）64第十一講 曲線與曲面（僅數一）66一、曲線66對弧長的曲線.對坐標的曲線. 66. 673.兩類曲線之間的關系67二、曲面. 671.對面積的曲面675目錄2.對坐標的曲面. 693.兩類曲面間的關系704.曲線的應用70三、三大公式及其應用701.格林公式712.平面上曲線與路徑無關的條件713. 二元函數的全微分求積714. 高斯公式725. 斯托克斯公式72四、通量、散度、旋度721. 通量的定義722

9、. 散度的定義723. 旋度的定義72第十二講 數學的應用（僅數學三）74一、差分方程74二、邊際與彈性75三、價值與利息766【第一講 函數 極限 連續by 小元】第一講 函數、極限、連續一、函數2 )常見的奇函數: sin二、極限1.極限存在的充要條件f ( x) = A Ûf ( x) =f ( x) = Alimlim®lim-02. 極限的性質(1) 唯一性 (2) 有界性(局部有界性)設 lim f ( x) = Ax ® x0(3) 保號性(局部保號性)o 如果 A > 0(< 0) ,則存在d,當 x ÎU (x0 ,d )

10、時， f (x) > 0(< 0) .o 如果當 x ÎU (x0 ,d ) 時, f (x) ³ 0(£ 0) ,那么 A ³ 0(£ 0) .3.極限的運算法則（1）四則運算法則定理(以函數極限為例)：設 lim f ( x) = A , lim g ( x ) = B 則lim ëé f ( x) + g ( x)ùû = A + Blim éë f ( x) - g ( x)ùû = A - B1o2olim f ( x) = Alim 

11、3;ë f ( x) g ( x)ùû = AB( B ¹ 0)3o4og ( x)B（2）冪指函數極限運算法則f ( x)g ( x)f ( x ) = A > 0 , lim g ( x) = B ,則= AB .定理(以函數極限為例)：設 limx®x04.極限存在準則limx® x0x®x0（1）定理若 g ( x) £ f ( x) £ h ( x) ,且 lim g ( x) = lim h ( x) = A Þf ( x) = A .limx®x0®x0（

12、2）單調有界數列必有極限5.兩個重要極限æ1 öxsin x= 1sin lim 1+= e limx®0.ç÷xx®¥ èxø7【第一講 函數 極限 連續by 小元】6無窮小/無窮大（1） 常見無窮大量：n ® ¥時，lna n = nb = an = n! = nn ("a , b > 0，a > 1)（2）無窮小與無窮大的關系在自變量的同一變化過程中,若 f ( x) 為無窮大,則其倒數 éë f ( x )ùû-1

13、必為無窮小；反之若 f ( x) 為無窮小,且（3）無窮大與f ( x) ¹ 0 ,則其倒數 éë f ( x )ùû-1 必為無窮大.的關系無窮大量是量，量未必是無窮大.是量，不是無窮大7常用的等價無窮小當 x ® 0 時, sin x x , tan x x , arcsin x x , arctan x x , ex -1 x ,ln (1+ x) x , 1- cos x 1 x2 , (1+ x)a -1 a x .這組是基礎要求.2arcsin3333arctan2，這組在學泰勒公式后會更理解.幾個極限小結論： lim x

14、a lnbx = 0,"a, b > 0x®0y = ln(x + 1+ x2 )的性質：1(1)奇函數;(2)導數為; (3)與 x 等價無窮小.1+ x2這個函數叫：反雙曲正弦函數.后面不定還會用到.8等價代換原理（加減法，乘除法）自變量在同一變化過程中,若 a : a ' ， bu b ' Þ lim a= lim a ¢ .(乘除法代換)x ®W bx ® W b ¢a *若a a ，b b ，且lim¹ 1，則lim(a - b ) = lim(a - b ) .(加減法代換)*b

15、*9必須左、右極限的幾種函數1.求含ax 的函數 x 趨向無窮的極限，或求含ax 的函數 x 趨于零的極限.求含取整函數的函數極限8【第一講 函數 極限 連續by 小元】 +1，或由易知，一般先存在.其左、右極限，如他們存在，且相等，則極限存在，否則其極限不.求分段函數在分段點處的極限.求含arctan x 或arc cot x 的函數， x 趨向無窮的極限.含偶次方根的函數，由于算術根式前只能取正號，求其 x ® x0（常數）（或 x ® ¥）時的極限，應分 x ® x0 + 0 （或 x ®+¥）和 x ® x0 - 0

16、 （或 x ® -¥）兩種情況討論. 三、連續1定義f ( x) = f ( x0 ) ,則稱函數 f ( x) 在點 x0 處連續.連續的定義： limx®x0魏爾斯特拉斯函數處處連續而處處不可導，如右圖，每個點都是轉折點2間斷點及其分類第一類間斷點.1o 可去間斷點第二類間斷點.2o 跳躍間斷點典型的是：極限為無窮的無窮間斷點，極限為振蕩的振蕩間斷點.此外還有些型的第二類間斷點:*3閉區間連續函數的性質(1)(最值定理) 閉區間上的連續函數必取得最大值與最小值. 推論：閉區間上的連續函數在該區間上一定有界.(2)(介值定理) 閉區間上的連續函數必取得介于最大值

17、和最小值之間的任何值.f ( x) 在閉區間 a, b 上連續,且 f (a) 與f ( b ) 異號,那么至(3)(零點定理)設函數少存在一點x Î(a, b) ,使得 f (x ) = 0 .9【第二講 導數與微分by 小元】第二講 導數與微分一、導數1定義- f ( x0 ),f '(（1）導數定義(x0 )f ¢(或者0（2）對于導數的定義，要注意三點：保雙側，即取極限時，趨近的方向是雙向的.不可跨，上一定有一個是定點，這個定點不可，不能是兩個動點.階相同，因變量的變化量必須是自變量的變化量的同階無窮小.2導數的幾何意義函數 y = f ( x) 在 x =

18、 x0 可導時,曲線在點( x0 , f ( x) 切線的斜率為f '( x0 ) .切線方程為： y - f ( x0 ) =f '(0 ).0 )( f '( x0 ) ¹ 0) 或 x = x0 ( f '( x0 ) = 0) .法線方程為： y - f (0二、導數的計算求導公式1. (C )¢ = 0 .2. (xa )¢ = axa-1特別的，(¢12 .3. (ax )¢ = ax ln a, (a > 0, a ¹ 1)1(log x )¢ =, (a > 0,

19、a ¹ 1)4.ax ln a特別的， (ex )¢ = ex. 特別的， (ln x)¢ = 1 .x16.（1） (arcsin x)¢ =5（1） (sin x )¢ = cos x,1- x21（2） (arccos x)¢ = -（2） (cos x )¢ = - sin x,1- x210【第二講 導數與微分by 小元】1（3） (arctan x)¢ =（4） (arc cot x )¢（3） (tan x)¢ = sec2 x,1+ x21（4） (co t x )¢（

20、5） (sec（6） (csc求導運算法則(1) 四則運算求導法則= - csc 2 x ,= -.1 +x 2,.éë f ( x) + g ( x)ùû ' = f '( x) + g '( x) .éë f ( x) g ( x)ùû ' = f '( x) g ( x) + f ( x) g '( x) .1o2oé f ( x) ù f '( x) g ( x) - f ( x) g '( x)g 2 ( x)ú

21、 ' =ê.3oë g ( x) û(2) 復合函數求導法則復合函數的導數：設函數u = g ( x) 在點 x 處可導,而函數 y = f (u ) 在點u = g ( x) 可dydydy duf g(x) 在點 x 處可導,且=f '(u ) g '( x) 或=導,則復合函數 y =dxdxdu dx(3) 反函數求導a.設 y = f ( x) 可導且 f ¢( x) ¹ 0 ，又 x = j ( y) 為其反函數，則 x = j ( y) 可導，且j¢( y) = x¢ = dx =11f

22、 ¢(x).dydxdyb.設 y = f ( x) 二階可導且 f ¢( x) ¹ 0 ，又 x = j ( y) 為其反函數，則 x = j ( y) 二階可導，d æö1æ dx öçf ¢(x) ÷dèøç dy ÷f ¢(x)f ¢3 (x)且j ¢( y) = x ¢ = èø =dx= -.dydydx注意：這里 x 與 y 不能像高中那樣隨意調換位置，因而反函數與原函數是同一條曲線

23、. (4)隱函數求導若 F（x,y）=0 確定 y 關于 x 的隱函數，求 y 對 x 的導數時，只要將 y 看成 x 的函數，11【第二講 導數與微分by 小元】兩邊對 x 求導即可.(6) 由參數方程定義的函數(數一、數二)設 y 與 x 的函數關系是由參數方程 ïìx = j (t ) 確定的,在式子有意義的前提下,í y =y (t )ïîdydt dxdty ¢(t )dy=dx= j¢(t ).若j (t ) ，y (t) 二階可導且j ¢(t) ¹ 0 ，則y ¢(t)æ

24、 dy öd æ dy ö¢dç dx ÷j¢(t) dt ç dx ÷y ¢(t)j¢(t) -y ¢(t)j ¢(t)j¢3 (t)d2 yd= èø =èø =/dt=j¢(t)（7）絕對值函數的可導性結論 1：當 k 為正整數， f (x) = (x - a)k不存在.x - a在 x = a 處 k 階可導，但k +1階導數x - a g(x) ， g ( x) 在 x = a 處連續.結論 2：

25、設 f (x) =若 g (a) = 0 ，則 f (x) 在 x = a 處可導，且 f '(a) = g (a) = 0 ；若 g (a) ¹ 0 ，則 f (x) 在 x = a 處不可導結論 3：設g(則y = g(x)h(上述結論可總結為0處可導，h(0處連續但不可導，0處可導的充要條件是g (x0 ) = 0“重合連續，不重合可導”。即對于連個連續函數相乘，函數值為 0 的點與不可導點重合時，要求函數值為 0 的點連續，相乘后就可到。若不重合，要求函數值為 0 的點可導時，相乘后才可導。相關詳細講解、題目運用可以看小元程。三、高階導數(1) 求解高階導數的通用表達

26、式歸納法已發課第一步先求出一階、二階、三階等導數.第二步從中歸納出 n 階導數的表達式. 第三步用數學歸納法證明歸納出的表達式是正確的.公式法12【第二講 導數與微分by 小元】u ± v(n) = u(n) ± v(n)a)b) Leibniz（萊布尼茲）公式(uv)(n)= u(n)v(0) + C1u(n-1)v(1) + ××× + Cku(n-k )v(k ) + ××× + Cn-1u(1)v(n-1) + u(0)v(n)nnnnå nk (n-k ) (k )( )v,其中 u= u ,=

27、 v .0=C uk =0v( 0 )(2) 常用高階導數的通用表達式y(n) = m (m -1)×××(m - n +1) xm-n ；設 y = xm ,則設 y = ax ,則 y(n) = ax (ln a)n ；n-1 an (n -1)!(ax + b)n設 y = ln (ax + b) ,則 y(n) = (-1),該公式可以做題時歸納.ann!(ax + b)1(n)= (-1)n設 y =,則 yn+1 ,該公式可以做題時歸納.ax + bpænö()設 y = sin x ,則 y= sin x +nç

28、7;；è2øpæön(n)設 y = cos x ,則 y= cos x +ç÷；è2ø注意：如果是求高階到數值，可以用泰勒公式法，而如果求高階導函數，不能用泰勒. 四、微分1定義微分的定義： dy = ADx .也即dy = f ¢(x0 )gDx = f ¢(x0 )dx2微分與導數的關系可微Þ可導可微Ü可導13【第三講 微分學中值定理及其應用by 小元】第三講一、微分中值定理1.費馬引理微分學中值定理及其應用oof ( x)U ( x0 )"x ÎU

29、 ( x0 )f ( x) £f ( x0 )在 x0 的 去 心 鄰 域若 函 數， 對 于， 有f ( x) ³ f ( x0 )）且 f ( x) 在 x0 可導Þ f ¢( x0 ) = 0 .（2.羅爾中值定理f ( x) 滿足條件：（1）在閉區間a, b 上連續；若在開區間(a, b)內可導；（3） f (a ) =f (b)（2）f ¢(x ) = 0 .在開區間(a, b) 內至少存在一點 x ，使得Þf ¢(x) =¢ln f ( x)常用還原技巧：f (x)3.拉格朗日中值定理在閉區間a, b

30、上連續； (2)f ( x) 滿足條件：(1)在開區間(a, b) 內可導,則在若開區間(a, b) 內至少存在一點 x ,使得 f (b) - f (a) = f ¢(x ) ,b - a或寫成 f (b) - f (a) = f ¢a + q (b - a)(b - a)4.柯西中值定理(0 < q < 1)f ( x) ， g ( x) 滿足條件：（1）在閉區間a, b 上連續；若在開區間(a, b)內可導， g¢( x) ¹ 0（2）在開區間(a, b) 內至少存在一點 x ，使得 f (b) - f (a) = f ¢(x

31、 )Þg(b) - g (a)g¢(x )【注意】某點導數大于 0，不能推出單調，但可以有上面的結果，看下面反例：14【第三講 微分學中值定理及其應用by 小元】ì¹ 0f ( x) = ï可 以íïîèøx = 00f ¢(0) = 1 ，但其圖像如右圖，求得，2如果放大原點位置，會發現曲線是不斷波動的，沒有一個單調區間，但這一點導數卻是大于 0 的.5.18 個羅爾定理結論.15中值等式G(x ) = 0湊成導函數等式 F '(x) = 0輔助函數 F (x)f '

32、(x ) + Ax k + B = 0（ A ， B 為常數）f (a)g '(x ) - f '(x )g (a) - k= 0n-1å a (n - i)x n-1-i = 0ii =0f '(x )g(x ) + f (x )g '(x ) = 0f (x )g ''(x ) - f ''(x )g(x ) = 0x f '(x ) + kf (x ) = 0(x -1) f '(x ) + kf (x ) = 0f '(x )g(1- x ) - kf (x )g '(1- x )

33、= 0f '(x ) + l f (x ) = 0f '(x ) + g '(x ) f (x ) = 0Axk +1 f (x) + Bx' = 0k +1 f (a)g (x) - f (x)g (a) - kx'= 0n-1å a xn-i ' = 0ii =0 f (x)g(x)' = 0 f (x)g '(x) - f '(x)g (x)'= 0xk f (x)' = 0(x -1)k f (x)' = 0gk (1- x) f (x)' = 0elx f (x)'

34、; = 0eg(x) f (x)' = 0Axk +1f (x) + Bx k +1f (a)g(x) - f (x)g(a)-kxn-1å a xn-iii =0f (x)g (x)f (x)g '(x) - f '(x)g (x)xk f (x)(x -1)k f (x)gk (1- x) f (x)elx f (x)eg(x) f (x)【第三講 微分學中值定理及其應用by 小元】6洛必達法則定理：設(1) 當 x ® a (或 x ® ¥)時,f ( x) 及 F ( x) 都趨于零或無窮；f ¢( x) 及 F

35、 ¢( x) 都存在且 F ¢( x) ¹ 0 ；(2) 在點 a 的某去心領域內, f ¢( x) f ( x) f ¢( x)= lim(3) lim存在(或為無窮大),那么 lim.x®a F ¢( x)x®a F ( x)x®a F ¢( x)7泰勒公式f ( x) 在 x0 及其附近有直到 n+1階的導數,則若f (n) ( x)f ( x) =f ( x ) +f ¢() + ××× +( x - x )( x) ,n0+R000nn!16洛必

36、達失效的三種情況洛必達失效一：不是未定式洛必達失效二：不能化簡 洛必達失效三：極限不存在當lim f ¢( x) 不存在時（等于無窮大的情況除外），lim f ( x) 仍可能存在F（¢ x）F（x）x f '(x ) - kf (x ) = 0f '(x ) - kf (x ) = 0f (x ) + x - b f ¢(x ) = 0af '(x )g(x ) - f (x )g '(x ) = 0(1- x 2 ) / (1+ x 2 )2 = 0f '(x ) - f (x ) + kx - k = 0f ¢

37、;(x )+f ¢(x ) - k = 0f '(x )+k f (x ) -x -1 = 0f ¢(x ) - f (x ) = 0 f (x) / xk ' = 0 f (x) / ekx ' = 0éë(x - b)a f ( x)ùû¢ = 0 f (x) / g (x)' = 0x / (1+ x2 )' = 0e-x f (x) - kx¢ = 0ex f ¢(x) - k ¢ = 0ekx f (x) - x¢ = 0ex f (x

38、) - f ¢(x)¢ = 0f (x) / xk f (x) / ekx(x - b)a f (x)f (x)g(x)x / (1+ x2 )e-x f (x) - kx ex f ¢(x) - k ekx f (x) - xex f (x) - f ¢(x)【第三講 微分學中值定理及其應用by 小元】(n +1)()n +1 , x 在 x 與 xR之間,這是帶有拉格朗日余項的泰勒公式.n00需要熟記的泰勒公式：還有一種寫出前幾項的形式(標背景色的和前面通項形式不重復)，常用于求極限：有個簡單的口訣，方便大家初學泰勒記憶：指對連，三角斷，三角對數隔一

39、換，三角指數有感嘆.指對連：指數函數和對數函數的展開式中 1、2、3是連續的. 三角斷：三角函數的展開式 1、3、5 或 2、4、6 這樣不連續的. 三角對數隔一換：三角函數和對數函數的符號隔一個換一次.三角指數有感嘆：三角函數和指數函數中分母有階乘（感嘆號）. 反三角函數與三角函數首項相同，第二項相反數。泰勒公式前一兩項主要是等價無窮小，寫出前幾項后后面的規律就可以背上面的口訣寫下去.11(1 + x)a 和高中的二項式展開很類似，,是等比數列求和公式，這兩個沒在口1+ x 1+ x2訣里，但可以結合已掌握的知識. 二、微分學的應用1單調性的定理：設函數 y=f ( x) 在 a,b 上連續

40、,在(a,b) 內可導.17【第三講 微分學中值定理及其應用by 小元】如果在(a,b) 內 f ¢( x) >0 ,那么函數 y=f ( x) 在 a,b 上單調增加；如果在(a,b) 內 f ¢( x) <0 ,那么函數 y=f ( x) 在 a,b 上單調減少.（1)（2)2函數極值及求法f ( x) 在 x0 不可導或者 f ¢( x0 ) =0(1) 取得極值的必要條件： x0 是極值點Þ函數(2) 判定極值點的充分條件：f ( x) 在 x0 處連續,且在 x0 的某去心鄰域 U ( x0 ,d ) 內可導.第一充分條件：設函數0

41、 )時, f ¢( x) >0 ,而0 +d ) 時, f ¢( x) <0 ,則 f ( x) 在 x0若處取得極大值；0 )時, f ¢( x) <0 ,而0 +d ) 時, f ¢( x) >0 ,則 f ( x) 在 x0若處取得極小值；若 x ÎU ( x0 ,d ) 時, f ¢( x) 的符號保持不變,則 f ( x) 在 x0 處沒有極值. 第二充分條件：若函數 f ( x) 在 x0 點有 f ¢( x0 ) =0 , f ¢( x0 ) ¹ 0 ,則函數在 x0

42、 處取得極值.當 f ¢( x0 ) <0 時取得極大值；當 f ¢( x0 ) >0 時取得極小值. 第三充分條件：設y = f (0處n 階可導，f ¢(x0 )=f ¢(x0 ) = f ¢(x0 ) = ¼ = f(x ) = 0,( n-1)0且 f (n) (x ) ¹ 0，則當n為偶數時，(x , f (x )是曲線的極值點.0f (n) (x ) > 0時，是極小值點；0f (n) (x ) < 0時，是極大值點.03. 曲線的凹凸性.(1) 凹凸性的判定00的充分條件：設函數 f (

43、 x) 在(a,b) 內具有二階導數 f ¢ ( x ) ,凹凸性如果在(a,b) 內的每一點 x ,恒有 f ¢( x) >0 ,則曲線 y = f ( x) 在(a,b) 內是凹的； 如果在(a,b) 內的每一點 x ,恒有 f ¢( x) <0 ,則曲線 y = f ( x) 在(a,b) 內是凸的.(2) 拐點的判定 拐點的定義：曲線的凹凸性改變的點為該曲線的拐點.18【第三講 微分學中值定理及其應用by 小元】拐點可能是下列 3 類點：a.一階導數不存在的點,如下圖最左邊的桃子形狀，頂部是拐點也是不可導點.中間的圖也是，在 0 點導數無無窮大

44、，認為導數無窮大就是導數不存在.b.一階導數存在,而二階導數不存在的點，如下圖最右邊，求導后變為絕對值函數， 二階不可導，但在 0 點是拐點.c.二階導數存在時,二階導數為 0 的點. 正常的拐點都這樣. 拐點存在的必要條件： 點( x0 , f ( x0 ) 是曲線 y =f ¢( x0 ) = 0 或 f ¢( x0 )不存在.拐點存在的第一充分條件： 設函數 f (x) 在點 x0 的某鄰域內連續且二階可導f ( x) 的拐點的必要條件是f ¢ ( x ) 的符號相反,則點( x0 , f ( x0 ) 是f ¢( x0 ) 或 f ¢(

45、 x0 )可以不存在),在 x0 的左右兩邊(f ( x) 的拐點.曲線 y =f (x) 在點 x0 的某鄰域內三階可導, f ¢( x0 ) = 0 , 拐點存在的第二充分條件：設函數而 f ¢( x0 ) ¹ 0 ,則點( x0 , f ( x0 )是曲線 y = f ( x) 的拐點.若f ¢(x0) = 0，則判別法失效.拐點存在的第三充分條件：0處n 階可導，f ¢(x0 ) = f ¢(x0 ) = ¼ = f(x ) = 0且f(x ) ¹ 0，(n-1)(n )00設y = f (則當n為奇數時，

46、(x0 , f (x0 )是曲線的拐點.4曲率11 .曲率半徑 r 有如下關系： r =， K =曲率 K 的表達式 K =.(1+ y¢2 )3/2rK5漸近線19y ¢【第三講 微分學中值定理及其應用by 小元】(1) 漸近線的概念當曲線上的動點沿著曲線無限遠離原點時,若動點與某一定直線的距離趨于零,則稱該直線為曲線的漸近線.(2) 曲線 y = f (x) 漸近線的分類與求法f ( x) = b2 ,其中b 為常數,則稱 y = b 為f ( x) = b1 與 lim水平漸近線：若 limiix®-¥x®+¥f ( x) 的水

47、平漸近線.y =f ( x ) 與lim f ( x) 中至少有一個是無窮大,則稱 x = c 為鉛垂漸近線： limx®c-x®c+y = f ( x) 的鉛垂漸近線.斜漸近線：求斜漸近線有兩種方法，一種是使用漸近線定義直接求出.為此常從給定的函數表示式中分離出一個線性函數，將它改寫成y = (ax + b) + h( x) ，其中 lim h( x) = 0 .直線 y = ax + b 就是所求的斜漸近線.x®±¥求斜漸近線的另一常用方法.按下式lim f ( x) / x = a1 ， lim f (x) - a1x = b1 ；x&#

48、174;+¥x®+¥和（或） lim f ( x) / x = a2 ， lim f (x) - a2 x = b2x®-¥x®-¥分別求出 ai 和b（i 常數），則直線 y = ai x + bi 就是曲線 f (x) 的一條斜漸近線（ i = 1, 2 ）.漸近線的存在是有規律的：lll鉛直漸近線可以無數條;水平漸近線，斜漸近線最多兩條;在一個方向，水平漸近線和斜漸近線只能存在一條.注意（1）一般情況下，如果 y 為偶函數，則其曲線的漸近線（如果存在的話）必定關于 y 軸對稱；如果是奇函數，則其曲線的漸近線（如果存在的

49、話）必定關于原點對稱.（2）如果 y = f (x) 為有（無）理分式函數，且的次數較分母高一，當 x ®±¥時，y 時與 x 同階無窮大，曲線可能有斜漸近線.20【第四講 不定by 小元】第四講不定一、原函數, F ¢( x ) = f ( x ) ,則稱 F ( x ) 為 f ( x ) 在 I 上的一個原函數x Î I定義：x）為奇函數，則F ( x)及f ¢( x)都是偶函數;若（fx( )f (t )dt一定是奇函數，ò若（f x）為偶函數，則F x 不一定為奇函數，但原函數f ¢( x)為奇函數；o若

50、（f x）為周期函數，則F ( x)不一定是周期函數，但f ¢( x)一定是周期函數。有些函數存在原函數，但是其原函數不是初等函數.典型的例子如下：e± x2 , cos x sin x11k ()k ()³³,1+ x4有第一類間斷點的函數一定不存在原函數（可用反證法證明）有第二類間斷點的函數可能有原函數（無窮間斷不存在原函數，震蕩間斷有可能存在原函數）.二、不定1.公式（表）xm +1ò x dx = m +1 + C (m ¹ -1，實常數)1mò x dx = ln x+ C= 1 a xò ex dx = ex + Còsin xdx = -cos x + Còcsc2 xdx = -cot x +Cò cot x csc xdx = -csc x + Cò a x dx+ C (a > 0 , a ¹ 1 )ln aò cos xdx = sin x