1、1第三章定常非線性系統的穩定性2一、一、 基本方法：基本方法：0 引言引言2. Lyapunov直接方法；1. 相平面方法(幾何方法)；3. 一次近似方法；4. 非線性動力學方法。定常非線性系統：(1)( ),( )xf xf0031 Lyapunov直接方法的概念直接方法的概念 從二維系統相平面上的相軌線來看：漸近穩定的相軌線趨于原點。 能找到這樣的閉曲線族，使得其附近外部的相軌線都“流入”閉曲線所圍成的區域。4引入狀態變量：12,xx xx 考慮阻尼振動的微分方程：0 xxx12212xxxxx 例例1：單自由度系統的阻尼振動。單自由度系統的阻尼振動。構造：22121122( ,)2V x

2、 xxax xbx121212,22,22VVxaxaxbxxx22212112212,2(222 )2()VVxxxaxab x xab xxx 05為保證 V=c 為閉曲線族：2ab10abab所以取：12,33ab2212112222( ,)33V x xxx xx22212121222,33VVxxxxxxx 062 定號、常號、變號函數定號、常號、變號函數 定義定義: :(1) 是半正定(常正)的, 如果: 對任意的 , 成立： ;(2) 是正定的, 如果: 對任意的 ,成立: , 且 ;(3) 如果 既可取正值, 又可取負值, 則稱之為變號函數;(4) 是半負定(常負)的, 如果:

3、 對任意的 , 成立： ;(5) 是負定的, 如果: 對任意的 ,成立: , 且 .( )0V0n( ):Vxn( ):Vxn( ):Vx( )0Vxx0( )0Vxxxn( ):Vxn( ):Vx( )0Vxx0( )0V0( )0Vx7例例: :正定;不屬于定號函數;半正定;正定.在原點的充分小鄰域內:對 ：3x222123123( )( ,)2VV x x xxxxx222123123( )( ,)23VV x x xxxxx123123( )( ,)1 cos()VV x x xxxx x222123123( )( ,)sin(2)VV x x xxxxx8二、二、 定號函數的判定方法

4、定號函數的判定方法 (1) 二次型正定的判別方法;(2) 奇數階的齊次型為變號函數;(3) 在原點的充分小鄰域內, 低次項的正(負)定性決定函數的正(負)定性. 93 Lyapunov穩定性定理穩定性定理 定常非線性系統:(1)一、一、 關于原點穩定性的定理關于原點穩定性的定理 定理定理3 3: (Lyapunov) 對于擾動運動微分方程(1), 如果能找到一個正定函數 , 它通過方程(1)構成的全導數式是常負的, 則擾動運動微分方程(1)的零解是穩定的.( )V xn( ),( )xf xfx0010定理定理3 3的幾何解釋的幾何解釋: :jxixix : 閉曲面族; 層層相套; 隨系統的解

5、 C0 , 曲面族向原點收縮.( )VCxjx11定理定理3 3的證明思路的證明思路: :1x2x(1) 任給 : 存在 l 0, 使得滿足 的點位于原點的 鄰域內; 0( )Vlx(2) 對所得到的 : 存在 , 使得 的點位于 內;( )l0( )Vlxx(3) 在 內取 , 有:x0 x( )Vlxxx0()Vlx(4) 從 出發的解， ，故對所有 : 0V 0tt0 x0( ( )()VtVlxxx0 x12試比較下面的定義與命題：定義：定義： 系統(1)的零解是 (Lyapunov意義)穩定的, 如果:對任意的 和 , 存在 , 使得對所有的 , 只要 , 就有: .00 ,)trJ

6、0tt0( , )0t0( , )otx( ;, )oot x tx定理定理3: (Lyapunov) 對于擾動運動微分方程(1), 如果能找到一個正定函數 , 它通過方程(1)構成的全導數式是常負的, 則擾動運動微分方程(1)的零解是穩定的.( )V x盡管定理3很平凡，但是有著十分重要的應用。13例：例：自由定點轉動剛體繞慣性主軸轉動的穩定性Euler 動力學方程: 定常運動: 是系統的特解.123(,)(,0,0)o 令: 112233oxxx112323223131331212()()()IIIIIIIII 112233oxxx14得擾動方程: 231231312312123123()

7、()()()()ooIIxx xIIIxx xIIIxxxI222222221233132233111()()(2)0oVIII xIII xI xI xI xx222222212231332233111()()(2)0oVIIIxIIIxI xI xI xx123III設: 123III設: 取: 則取: 可以驗證: 0dVdt定點運動的自由剛體繞其最小或定點運動的自由剛體繞其最小或最大慣性主軸的轉動是穩定的。最大慣性主軸的轉動是穩定的。 15原動力學方程有兩個首次積分 (1) 能量積分 (2) 角動量積分 22211122331UIIIc22222221122332UIIIc2222111

8、223311()ooVI xI xI xIC22222222211223312()ooVIxI xI xIC相應地, 擾動方程也有兩個首次積分 112233oxxx16222222221233132233111()()(2)0oVIII xIII xI xI xI xx222222212231332233111()()(2)0oVIIIxIIIxI xI xI xx123III設: 123III設: 取: 則取: 可以驗證: 0dVdt定點運動的自由剛體繞其最小或最大慣性主軸的轉動是穩定的. 取Lyapunov函數:2121 1()VVVIV17二、關于原點漸近穩定性的定理二、關于原點漸近穩定

9、性的定理定理的幾何解釋定理的幾何解釋:ix定理定理4: (Lyapunov) 對于擾動運動微分方程(1), 如果能找到一個正定函數 , 它通過方程(1)構成的全導數式是負定的, 則擾動運動微分方程(1)的零解是漸近穩定的.( )V x : 閉曲面族; 層層相套; 隨 C0 向原點收縮.( )VCx18定理的證明思路：定理的證明思路：(1) 首先原點是穩定的;(3) 用反證法:單調下降且有下界, 所以極限存在:( )Vlxx0( )Wlx00ttldt 00()l tt 矛盾(2) 要證明:lim ( )ttx0設 為一解:lim( )ttx0( ) tx( ) tx0( )VVtxlim( )

10、0tVtlx由 V 函數正定 存在 0 , 使得 在 之內.x( )Vlx設 , 存在 , 使得 在 之內.0lx( )0VWx0( )Wlx( )VWx在 上有: ，x0( )Wlx00( )()( )ttVVWdtxxx19例例: 考慮阻尼振動的微分方程：引入狀態變量:12,xx xx 1222122xxxxx 220 xxx系統的能量 E :2221122Exx能量 E 關于時間的變化率:按定理只能得到原點穩定的結論, 但實際上原點漸近穩定.2(grad )20EEx x20定理的條件可適當放寬:定理定理: :對于擾動運動微分方程(1), 如果能找到一個正定函數 , 它沿方程(1)的解的

11、全導數式常負, 且在的點集中, 除原點外不包含整條軌線, 則擾動運動微分方程(1)的零解是漸近穩定的.( )0Vx( )V x21三、三、 Lyapunov函數函數定義定義: : 在Lyapunov直接法的穩定性定理中, 滿足任何一個穩定性基本定理所需條件的函數稱為Lyapunov函數.Lyapunov函數可以是如下兩種形式: (1) 正定函數, 它通過系統的運動方程構成的全導數式常負;(2) 負定函數, 它通過系統的運動方程構成的全導數式常正;222123123( ,)V x x xxxx是正定函數,卻非正定函數.但：222123123( ,)1V x x xxxx22關于穩定性的充分條件,

12、 我們還有如下形式的Lyapunov定理: 四、四、Lyapunov定理的極值表示定理的極值表示 將 看成相空間中的向量場, 如果 , 則 稱為向量場 的奇點.( )f x0() f x00 x( )f x定理定理: 對于可微向量場 的奇點 , 如果存在一個Lyapunov函數, 則該奇點是穩定的.( )f x0 x定義定義: 一個可微函數 V 稱為向量場 的奇點 的Lyapunov函數, 如果它滿足以下的條件: (1) V 在 的某一鄰域內有定義, 且在 取嚴格的極小值; (2) 在 的某一鄰域內, V 沿向量場 的導數非正:( )f x( )f x0 x0 x0 x0 x0L V f23x

13、五、五、 關于不穩定的定理關于不穩定的定理定理定理5的幾何解釋的幾何解釋:( )0Vx( )0Vx( )0Vx1( )Vcx2( )Vcx0 x定理定理5: 對于擾動運動微分方程(1), 如果能構造一個可微正定、常正或變號函數 , 它通過運動方程(1)構成的全導數式 是正定正定的, 則擾動運動微分方程(1)的零解不穩定.( )V x( )V x24定理定理5 5的證明思路的證明思路: :由0V 積分:要證: 對任給的 , 不論 取得多么小, 都能找到從 內出發的軌線, 它必到達 的邊界.0 xx反證法反證法: : 設不會到達 的邊界.x0( ( )()0VtVxx取小的 0，使 在 之外;(

14、) txx因為: ( )0VWx存在 0 , 使得在 上,x( )Wx( )0VWx0( )()ottVVWdtxx0()ottVdtx00()()Vttx這與 落在 內矛盾.( ) txx x( )Wx0()VVx( ) txx25例例: 單擺2sin02gl引入狀態變量:12xx x12221sinxxxxx能量積分:22212(1 cos)xxE取:221221( ,)2(1 cos)V x xxx沿系統的解:0V 原點穩定.26例例: 有阻尼單擺引入狀態變量:12xx x取:221221( ,)2(1 cos)V x xxx沿系統的解:原點穩定.22sin02220Vx 2221221

15、21( ,)24(1 cos)V x xxxxx取:沿系統的解:原點漸近穩定.221124sin0Vxxx 122212sin2xxxxxx27解：解：取Lyapunov函數：例例：判定系統的零解的穩定性。2222sin()sin()xyxxyyxyxy 22Vxy則沿系統解的導數：22222()sin()Vxyxy0按Lyapunov不穩定定理，系統的零解不穩。028引入極坐標:221,tanyrxyx例例：判定系統的零解的穩定性。2222sin()sin()xyxxyyxyxy 解二：解二：方程化為：2sin1rrr 在原點鄰域內，沿系統解， r 單調增加，故原點不穩。2921(0)(0)0例例: 考慮如下系統的零解的穩定性:系統的相軌線方程：21( )( )dyxdxy21( )( )0 x dxy dy積分得：21( )( )xyc如果在原點鄰域內：則系統的原點穩定。此類系統無漸近穩定性