1、有限元分析與應用有限元分析與應用-習題課習題課2 線彈性力學靜力問題有限元法計算列式的推導是如何采用線彈性力學靜力問題有限元法計算列式的推導是如何采用彈性力學問題基本方程？彈性力學問題基本方程？答：答： (1) 假設單元的位移場模式 eNf (2) 代入到幾何方程，得 eB (3) 代入到物理方程，得 eDB (4) 代入到虛功方程或最小勢能原理，得到單元剛度方程 eeKF (5) 疊加到總剛陣，得到結構的平衡方程 KF (6) 引入位移邊界條件后， K非奇異，解上式得結點位移。 32. 圖示彈性力學平面問題，采用三角形常應變元，圖示彈性力學平面問題，采用三角形常應變元，網格劃分如圖，試求：網

2、格劃分如圖，試求：(1) 計算在你的結點編號下的系統剛度矩陣的半帶寬；計算在你的結點編號下的系統剛度矩陣的半帶寬；(2) 根據圖中結構的邊界約束狀態，指出那些結點自由度的根據圖中結構的邊界約束狀態，指出那些結點自由度的位移已知并且為何值。位移已知并且為何值。題2 圖p87625431912354678910解：解：101d2B4d)(,041uu041vv43. 彈性力學有限元中，平面等參數單元中的彈性力學有限元中，平面等參數單元中的“等參數等參數”概念是概念是何意思？何意思？ 該單元在跨相鄰單元時，該單元在跨相鄰單元時，位移場連位移場連續嗎？續嗎？ 應力場連續嗎？應力場連續嗎？答：答：在單元

3、中，位移描述的形函數和單元形狀描述的形函數是相同的，參數個數相等，稱為等參數元。相鄰等參元之間，位移是連續的，應力場不連續。54. 回答下列問題：回答下列問題：(1) 彈性力學平面問題彈性力學平面問題4節點等參元，其單元自由度是節點等參元，其單元自由度是多少？多少？單元剛陣元素是單元剛陣元素是多少？多少？答：答：平面問題4節點等參元，其單元自由度是8個； 單元剛陣元素有64個。(2) 彈性力學空間軸對稱問題三角形彈性力學空間軸對稱問題三角形3節點單元，其單元自節點單元，其單元自由度是由度是多少？多少？單元剛陣元素是單元剛陣元素是多少？多少？答：答：軸對稱問題三角形3節點單元，單元自由度是6個；

4、單元剛陣元素有36個。64. 回答下列問題：回答下列問題：答：答：空間問題4節點等參元，其單元自由度是12個；單元剛陣元素有144個。(3) 彈性力學空間問題彈性力學空間問題4節點等參元，其單元自由度是節點等參元，其單元自由度是多少？多少？單元剛陣元素是單元剛陣元素是多少？多少？75. 對于平面、空間實體單元，位移有限元計算結果中，對于平面、空間實體單元，位移有限元計算結果中，位移和應力解結果的精確度是相當嗎？如果精度不相位移和應力解結果的精確度是相當嗎？如果精度不相當，哪一個解較精確？當，哪一個解較精確？答：答：對于平面、空間實體單元，位移有限元計算結果中：位移解的精度較好。6. 判斷判斷（

5、 ）1. 對于高壓電線的鐵塔那樣的框架結構的模型化處理使用梁單元 。 （ ）2. 不能把梁單元、殼單元和實體單元混合在一起作成模型。（ ）3. 四邊形的平面單元盡可能作成接近正方形形狀的單元 。 （ ）4. 平面應變單元也好，平面應力單元也好，如果以單位厚度來作模型化處理的話會得到一樣的答案 。 6. 判斷判斷（ ）5. 一般應力變化大的地方單元尺寸要劃的小才好。 （ ）6. 所謂全約束只要將位移自由度約束住，而不必約束轉動自由度。 （ ）7. 同一載荷作用下的結構，所給材料的彈性模量越大則變形值越小 。（ ）8. 一維變帶寬存儲通常比二維等帶寬存儲更節省存儲量。 7. 填空填空1平面應力問題

6、與薄板彎曲問題的彈性體幾何形狀都是薄板，但前者受力特點是： ，變形發生在板面內；后者受力特點是： 的力的作用，板將變成有彎有扭的曲面。2平面應力問題與平面應變問題都具有三個獨立的應力分量： ，三個獨立的應變分量： ，但對應的彈性體幾何形狀前者為 ，后者為 。3位移模式需反映 ，反映 ，滿足 。4單元剛度矩陣的特點有： ， ，還可按節點分塊。5軸對稱問題單元形狀為： ，由于軸對稱的特性，任意一點變形只發生在子午面上，因此可以作為 問題處理。平行于板面且沿厚度均布載荷作用平行于板面且沿厚度均布載荷作用單元邊界上位移連續單元邊界上位移連續垂直于板面垂直于板面x x，y y，xyxyx x，y y，x

7、yxy薄板薄板長柱體長柱體剛體位移剛體位移常應變常應變對稱性對稱性奇異性奇異性二維二維三角形或四邊形截面的空間環形單元三角形或四邊形截面的空間環形單元7. 填空填空平衡方程、物理方程、幾何方程平衡方程、物理方程、幾何方程6等參數單元指的是：描述位移和描述坐標采用相同的形描述位移和描述坐標采用相同的形函數形式。函數形式。等參數單元優點是：可以采用高階次位移模式可以采用高階次位移模式，能夠模擬復雜幾何邊界，方便單元剛度矩陣和等效節點，能夠模擬復雜幾何邊界，方便單元剛度矩陣和等效節點載荷的積分運算載荷的積分運算。8一個空間塊體單元的節點有 個節點位移： 。 9變形體基本變量有 ; 基本方程有 。10

8、.實現有限元分析標準化和規范化的載體就是單元 6等參數單元指的是： 。等參數單元優點是： 。7有限單元法首先求出的解是 ，單元應力可由它求得，其計算公式為 eD B7有限單元法首先求出的解是 節點位移節點位移 ，單元應力可由它求得，其計算公式為u，v，w3位移、應變、應力位移、應變、應力10. 實現有限元分析標準化和規范化的載體就是 。單元單元8. 選擇選擇（1）等參變換是指單元坐標變換和函數插值采用）等參變換是指單元坐標變換和函數插值采用_ _的結的結點和點和_的插值函數。的插值函數。（A）不相同，不相同）不相同，不相同（B）相同，相同）相同，相同（C）相同，不相同）相同，不相同（D）不相同

9、，相同）不相同，相同B8. 選擇選擇（2）有限元位移模式中，廣義坐標的個數應與）有限元位移模式中，廣義坐標的個數應與_相等。相等。（A）單元結點個數）單元結點個數（B）單元結點自由度數）單元結點自由度數 （C）場變量個數）場變量個數B8. 選擇選擇（3）如果出現在泛函中場函數的最高階導數是）如果出現在泛函中場函數的最高階導數是m階，單元的階，單元的完備性是指試探函數必須至少是完備性是指試探函數必須至少是_完全多項式。完全多項式。（A）m-1次次 （B）m次次 （C）2m-1次次B8. 選擇選擇（4）與高斯消去法相比，高斯約當消去法將系數矩陣化成）與高斯消去法相比，高斯約當消去法將系數矩陣化成了

10、了_形式，因此，不用進行回代計算。形式，因此，不用進行回代計算。（A）上三角矩陣）上三角矩陣（B）下三角矩陣）下三角矩陣 （C）對角矩陣）對角矩陣 C8. 選擇選擇（5）對分析物體劃分好單元后，）對分析物體劃分好單元后，_會對剛度矩陣的半會對剛度矩陣的半帶寬產生影響。帶寬產生影響。（A）單元編號）單元編號（B）單元組集次序）單元組集次序（C）結點編號）結點編號C8. 選擇選擇（6）n個積分點的高斯積分的精度可達到個積分點的高斯積分的精度可達到_階。階。（A）n-1 （B）n （C）2n-1（D）2nC8. 選擇選擇（7）引入位移邊界條件是為了消除有限元整體剛度矩陣的）引入位移邊界條件是為了消除

11、有限元整體剛度矩陣的_。（A）對稱性）對稱性 （B）稀疏性）稀疏性 （C）奇異性）奇異性C8. 選擇選擇（8）在加權余量法中，若簡單地利用近似解的試探函數序）在加權余量法中，若簡單地利用近似解的試探函數序列作為權函數，這類方法稱為列作為權函數，這類方法稱為_。（A）配點法）配點法 （B）子域法）子域法 （C）伽遼金法）伽遼金法C8. 選擇選擇（9）采用位移元計算得到應力近似解與精確解相比較，一）采用位移元計算得到應力近似解與精確解相比較，一般般_。（A）近似解總小于精確解）近似解總小于精確解 （B）近似解總大于精確解）近似解總大于精確解（C）近似解在精確解上下震蕩）近似解在精確解上下震蕩 （D

12、）沒有規律）沒有規律C8. 選擇選擇（10）對稱荷載在對稱面上引起的）對稱荷載在對稱面上引起的_分量為零。分量為零。（A）對稱應力）對稱應力 （B）反對稱應力）反對稱應力 （C）對稱位移）對稱位移 （D）反對稱位移）反對稱位移D9. 簡答簡答（1）簡述有限單元法結構剛度矩陣的特點。）簡述有限單元法結構剛度矩陣的特點。（a）對稱性；）對稱性；（b）奇異性；）奇異性；（c）主對角元恒正；）主對角元恒正；（d）稀疏性；）稀疏性；（e）非零元素帶狀分布）非零元素帶狀分布9. 簡答簡答（2）簡述有限元法中選取單元位移函數（多項式）的一般）簡述有限元法中選取單元位移函數（多項式）的一般原則。原則。 一般原

13、則有一般原則有:(a) 廣義坐標的個數應該與結點自由度數相等；廣義坐標的個數應該與結點自由度數相等；(b) 選取多項式時，常數項和坐標的一次項必須完備；選取多項式時，常數項和坐標的一次項必須完備；(c) 多項式的選取應由低階到高階；多項式的選取應由低階到高階；(d) 盡量選取完全多項式以提高單元的精度盡量選取完全多項式以提高單元的精度. 9. 簡答簡答（3）有限元法分析的目的是什么？）有限元法分析的目的是什么？ 有限元方法分析的目的：有限元方法分析的目的：(a) 對變形體中的位移、應力、應變進行定義和表達，進而建對變形體中的位移、應力、應變進行定義和表達，進而建立平衡方程、幾何方程和物理方程。

14、立平衡方程、幾何方程和物理方程。(b) 針對具有任意復雜幾何形狀的變形體，完整得獲取在復雜針對具有任意復雜幾何形狀的變形體，完整得獲取在復雜外力作用下它內部的準確力學信息。外力作用下它內部的準確力學信息。(c) 力學分析的基礎上，對設計對象進行強度力學分析的基礎上，對設計對象進行強度(strength)、剛度、剛度（stiffness）評判，修改、優化參數。）評判，修改、優化參數。 9. 簡答簡答（4）有限單元法分析步驟）有限單元法分析步驟. (a) 結構的離散化結構的離散化(b) 選擇位移模式選擇位移模式(c) 分析單元的力學特性分析單元的力學特性(d) 集合所有單元平衡方程，得到整體結構的

15、平衡方程集合所有單元平衡方程，得到整體結構的平衡方程(e) 由平衡方程求解未知節點位移由平衡方程求解未知節點位移 (f) 單元應變和應力的計算單元應變和應力的計算9. 簡答簡答（5）簡述有限單元法的收斂性準則。）簡述有限單元法的收斂性準則。 完備性要求完備性要求 如果在能量泛函中所出現的位移函數的最高階導數是如果在能量泛函中所出現的位移函數的最高階導數是m階，則有限元解收斂性條件之一是單元位移函數至少是階，則有限元解收斂性條件之一是單元位移函數至少是m階完全多項式。階完全多項式。(b) 協調性要求協調性要求 如果在能量泛函中所出現的位移函數的最高階導數是如果在能量泛函中所出現的位移函數的最高階

16、導數是m階，階，則位移函數在單元邊界界面上必須具有直到則位移函數在單元邊界界面上必須具有直到m-1解的連續解的連續導數，即導數，即Cm-1連續性。連續性。9. 簡答簡答（6）考慮下列三種改善應力結果的方法（考慮下列三種改善應力結果的方法（a）總體應力磨）總體應力磨平、（平、（b）單元應力磨平和（）單元應力磨平和（c）分片應力磨平，請分別將）分片應力磨平，請分別將它們按計算精度（高它們按計算精度（高低）和計算速度（快低）和計算速度（快慢）進行排序。慢）進行排序。計算精度計算精度（a）（c）（b）計算速度計算速度（b）（c）（a）9. 簡答簡答（a）總體應力磨平）總體應力磨平10. 計算計算如圖1

17、所示等腰直角三角形單元，其厚度為t，彈性模量為E=1，泊松比v=0；單元的邊長a=1及結點編號見下圖所示。試求：(1) 形函數矩陣N ；(2) 應變矩陣B和應力矩陣S；(3) 單元剛度矩陣Ke。123aa10. 計算計算解：解：設右圖所示的各點坐標為點1（a，0），點2（a，a），點3（0，0）于是，可得單元的面積為 12A 2a，及)(21)(21)(21333322221111ycxbaANycxbaANycxbaAN123aa23132113311xxcyybyxyxa31213221122xxcyybyxyxa12321332233xxcyybyxyxaa1=0a2=0a3=0b1=a

18、b2=0b3=-ac2=ac3=0c1=-a10. 計算計算解：解：設右圖所示的各點坐標為點1（a，0），點2（a，a），點3（0，0）于是，可得單元的面積為 12A 2a，及)(21)(21)(21333322221111ycxbaANycxbaANycxbaAN123aa0y)ax(a2A1Nay)0 x(02A1Nay)ax(02A1N32110. 計算計算解：解：設圖1所示的各點坐標為點1（a，0），點2（a，a），點3（0，0）于是，可得單元的面積為 12A 2a，及123123 NNNNIIINNN（1）形函數N為123aa10. 計算計算解：解：123123 NNNNIIINNN

19、（1）形函數N為123aa（2）單元應變矩陣B和應力矩陣S分別為LNB xNyNxNyNxNyNyNyNyNxNxNxN33221132132100000010. 計算計算解：解：123123 NNNNIIINNN（1）形函數N為123aa（2）單元應變矩陣B和應力矩陣S分別為LNBa00aaa00a0a00a000aa1210. 計算計算解：解：123123 NNNNIIINNN（1）形函數N為123aa（2）單元應變矩陣B和應力矩陣S分別為DBS xNyNxNyNxNyNyN0yN0yN00 xN0 xN0 xN210001011E332211321321210. 計算計算解：解：1231

20、23 NNNNIIINNN（1）形函數N為123aa（2）單元應變矩陣B和應力矩陣S分別為DBS 2a002a2a2a00a0a00a000aaEa00aaa00a0a00a000aa12100010001E2210. 計算計算解：解：123aa（2）單元應變矩陣B和應力矩陣S分別為DBS 2a002a2a2a00a0a00a000aaE2（1）形函數N為（3） 單元剛度矩陣KetAtATTSBDBBKe10. 計算計算解：解：123aa（3） 單元剛度矩陣Ke1001110200020020201001111021311201134EttA2a002a2a2a00a0a00a000aaEa0

21、0aaa00a0a00a000aa1tAtA2T2TTSBDBBKe11. 計算計算11. 計算計算11. 計算計算解：解：jmmmmiiiijjj1N /m21N /m124563（1）根據對稱性，計算模型如右圖所示。（2）每個單元的合理合理局部編號，如右圖所示。所謂“合理”即使半帶寬B最小）12. 一些概念及術語理解一些概念及術語理解（1）什么是平面應力問題？什么是平面應變問題？答：平面應力問題是指薄板受平行于板面且沿厚度均布載荷作用，只有xy面上三個應力分量x，y，xy非零。平面應變問題是指長柱體受平行于橫截面且沿長度均布載荷作用，只有xy面上三個應變分量x，y，xy非零。 12. 一些

22、概念及術語理解一些概念及術語理解（2）單元剖分時應注意哪些問題？答：規模適當、單元形狀盡量接近正多邊形、不同材料部分劃分在不同單元、不同厚度或不同截面劃分在不同單元、集中力作用點及分布載荷密度變化處設置節點、應力集中區域單元劃分密度要大、疏密過渡要平緩、希望了解某處位移此處設置節點、邊界點設置節點。12. 一些概念及術語理解一些概念及術語理解（3）什么是位移模式？位移模式應滿足哪些條件？答：位移模式是在單元范圍內的位移函數，是坐標的函數。位移模式通常應滿足a）反映剛體位移；b）反映常變形；c）單元邊界上位移連續，三個條件。12. 一些概念及術語理解一些概念及術語理解（4）什么是節點力？什么是節

23、點載荷？ 答：節點力是單元給節點的力或節點給單元的力，等于單元的彈性力；節點載荷是外界作用在彈性體節點上的力。 12. 一些概念及術語理解一些概念及術語理解（5）什么是單元分析？說說單元分析的大致過程。 答：單元分析就是尋求單元節點力與節點位移之間的關系。單元分析的大致過程：設定位移模式即用節點位移表達單元內任意一點位移、建立應變與位移之間的幾何方程、建立應力與應變之間的物理關系、由虛功原理建立節點力與單元內任意一點應力之間的平衡關系，從而得到單元剛度方程。12. 一些概念及術語理解一些概念及術語理解（6）單元剛度矩陣有哪些特點？說說它們的物理意義。 答：單元剛度矩陣具有對稱性、奇異性，可按節

24、點分塊。對稱性反映了功的互等關系功的互等關系，奇異性說明單元在無約束情況下可以發生剛體位移，由于每個節點具有相同的自由度，因此單元剛度矩陣可按節點分成若干相似的子塊。功互等定理功互等定理 對于線彈性體，作用在同一構件上第一組力對于線彈性體，作用在同一構件上第一組力在第二組力引起的位移上所做的功，等于第二組力在第在第二組力引起的位移上所做的功，等于第二組力在第一組力引起的位移上所做的功，一組力引起的位移上所做的功， 12. 一些概念及術語理解一些概念及術語理解（7）如何引入約束條件？答：引入約束條件：a）對角元改1法，將剛度矩陣中有位移約束的自由度對應的行和列對角元改為1，其它元素改為0，載荷向

25、量中對應元素置為已知位移值，其它載荷元素減去已知位移值與該行對應列剛度系數之積。b）乘大數法，將剛度矩陣中有位移約束的自由度對應的行和列對角元乘以一個非常大的數，載荷向量中對應元素改為該大數乘以對角元剛度系數再乘以已知位移值。c）降階法，將整體方程組中有位移約束的自由度對應的行和列刪除，得到一組降階的修正方程，一般適用于手工計算。 12. 一些概念及術語理解一些概念及術語理解（8）平面問題中對稱邊界條件是什么？答：平面問題中對稱邊界條件：對稱軸上節點垂直于對稱軸方向的位移為零。用有限元程序計算分析一結構的強度須提供哪些數據？a）總體信息：問題類型，單元類型，單位制等；b）幾何信息：節點坐標，單

26、元節點組成，板厚度，梁截面等；c）材料信息：彈性模量，泊松比，密度等；d）載荷信息：集中力，集中力矩，分布面力，分布體力等；e）約束信息：對稱約束，反對稱約束，固定約束等。 12. 一些概念及術語理解一些概念及術語理解（9）有限元分析的大致步驟是什么？ 答：首先進行結構離散化結構離散化，將無限個自由度的彈性體用有限個自由度的離散結構模擬，再進行單元分析單元分析，即找出單元節點力與節點位移之間的關系，最后進行整體分析整體分析，即組集總剛、引入約束、形成整體載荷向量、方程組求解。解出節點位移，再求單元應力等。12. 一些概念及術語理解一些概念及術語理解（10）什么是軸對稱問題？什么是空間問題？它們

27、的節點有哪幾個自由度？答：軸對稱問題是指幾何結構、所受載荷和約束都關于同一軸對稱的情況，可作為二維問題處理。空間問題指結構幾何形狀不屬于桿、板、殼、軸對稱等特殊情況的一般塊體，由空間塊單元模擬。軸對稱問題節點兩個自由度：徑向、軸向位移，空間問題節點三個自由度：x、y、z三方向平移。 12. 一些概念及術語理解一些概念及術語理解（11）軸對稱單元與平面單元有哪些區別？答：軸對稱單元是三角形或四邊形截面的空間的環形單元，平面單元是三角形或四邊形平面單元；軸對稱單元內任意一點有四個應變分量，平面單元內任意一點非零獨立應變分量有三個。12. 一些概念及術語理解一些概念及術語理解（12）已知幾何矩陣B和彈性矩陣D，推導軸對稱單元的剛度矩陣。 答： , , , eeeeefNBDFK2 eTKBD B rdrdz12. 一些概念及術語理解一些概念及術語理解（13）能給出解析式的解就是精確解，只能以數值方式求得解都是近似解。這種說法對不對？為什么？答：不一定應用解析法時，往往有很多假設條件，將很多工況理想