1、(2)第二章習題1.1.求以下微分方程的解dy+ 2y tan x = 4sinx dxd2ydy-x+ 2 + 2y = e cosx dx解：(1)-2tan xdx2tan xdxf 4sin xe dx+c2x J 4sin xeln|cosx|dx + c4 x cos x4cos x C cos xC 為任意常數x2d2ydx2+ 2xdy+ 2y = x + Inxdxcos2sin xx 4cos2xdx c(1)dx2dydx解:2y tan x = 4sin xcos2cos2d cosx c2d y dy y dx dx解： 先求通解：特征方程為：X2- 2 入+2 =

2、0心=-1 !故方程通解為：yehGcosx C2sin x)由于二=-i - i 為方程一根設特解為:二 Axe()x代入方程得:取其實部：y方程的解為：A1y=e (C1cosx C2sin x)xe sin x2=e cosx1 .i21-ixe2(i)x1Aixe (cosx i sin x)=21xe(i cosx-sin x)22d y c dyx 2 2x 2y = x I nx dx2dx解：設x二et原式可化為：馬型2y二 tdt dt特征方程為：2 2 = 0、十77i i -27i2 =2通解為：Y二e2(G co-71 C2sin71)2 2設特解為：*AtyAey2二

3、At B代入方程得:*1ty1e4*(3)y2y=e2(G cos t C2sin t)_e224即y = x2(G co-7In x C2sin - In x)1x11n x- 丄224242.2.求解第一章給出的連續結晶器的穩態數學模型G牛Fg-n)n(0)=旦G式中，成核速率 B B,生長速率 G G,流量 F F 均可考慮為常數，加入流體的粒數分布 的任意函數 n n,n=n=nin(l)(l)。解：求解以下方程：GFn的解。所以，方程的解為:分離變量得:積分得:dnFdlnGln n - 一 匚 l CG上In = CeG(C C 為常數)= C（I），將 n n 的表達式代入原微分

4、方程，得:_FIG(CeGFlCeG)=Fnin二Fdl C,Ci為常數。G代入 n n 表達式得原微分方程解:l l = 0 0 時,則原方程解為：n二GCe二FnhGGnineGdlC1n(0) = FnneGdlGCiCiF1G=B_ Gdli =0Fn.eGldIG旦-.FnineGdl3.3.電極加熱爐中石墨電極棒的傳熱問題可用以下方程描述Q；dT DU dx ITdx丿A式中 D D, U U , A A, T T0均為常數，但導熱系數 k kT為溫度的線性函數，k kT= = k k0c(x) c c*)？解：2d c dcD2-U q = 0 dx2dxd2c U dc q2

5、dx D dx D齊次方程的特征方程為UD所以齊次方程的通解為c2exp利用比較系數法，求得非齊次方程的特解*qCX(2 2)UCBDA% DB%VDACAODB-CB0、VDACAODBCBO丿 DBCB0VDACA0CA0 -CA =CA01一CBO-CB=x= ,（0蘭x蘭XR）、VDACAOCB0DBCB0VDACA01 1 +、_DBCBO丿&X +VDACA0DBCBO,（XRX解得（1）所以，非齊次方程的通解為X = 0, X =1：C = Co 心）jU/ !expE所以溶氧濃度沿組織厚度方向的分布為c(x) =Coc2exp Dx一1 -Uq對c（x）關于X求一次，及

6、二次導數 式中c2- 0dcUU=c2一exp x dx D吐U；expUx 0dx2D2D令斜0得即U需要滿足c（x） C邊界條件為iVc( x) =Gc2expxID 丿 Uqx（3 3）Ci 7qlexpUluL .Dc(x)Uexp U-1:ql_qD U所以，氧濃度在D.XojUlDxDlnUexp (U% )1 IUlD達到最小值為保證組織內部不會出現缺氧的情況，要求Cminc(-4)n6.6.(V)求以下變系數方程的級數解(a(a)解：將幕級數(4.54.5)代入方程，逐項比較系數，令首項xcJ的系數為 0 0,得到指標方程1為心)產0G =0, C2二1，屬于第一種情況，可以將

7、 c c 代入遞推公式確定各系數。2令xn c項的系數為0 0，得遞推公式為ani( n c 1)(n c) lam( n c 1) a02首先將& =0=0 代入遞推公式，有UlD-1qDinU2exp.1D)-11U1D(a(a)d2yxdx21 理 y =02 dx(b)d2yxdx2(1 _2x)3 _2y =0dx(c(c) )d2ydyx(1一 診記-9y=0指標方程的兩個根為(-4)n則方程的第二解為y2=、山(2 n+1)!可得an 1an1_n(n 1) 1( n 1)1(n 1)(n E)an(-1)n1n !(n)!2(-4)nao :2n!ao則方程的第一解為y

8、14)nzo2n!ax1接著將C2代入遞推公式，整理得2an(-1)nn!( n 丄)!2ao(2n 1)!a0二(-4)nax注：級數推導詳見微積分下冊第274274 頁y(x，c)=d n c(n c-1).(1 c)當 c=0c=0 時，上式給出方程的第一解y1二、西 2x “ 二 aoe2x心 n!第二解即 y2=?cao2 n c(；二1).(1 c)c到的級數，遞推公式為2n爲驚然后將 C C1= o o 代入得到第一解為最后得到方程的通解為y = A% By2= A：(4)naxn B (n 1no2n!7 (2n 1)!ax(b(b)指標方程 C C2= =0 0 ,重根 C

9、C1=C=C2=O=O遞推公式為an 1an 1can, ,將遞推公式表示成 a an對參數 c c 的函數形式ann c (nc)于是含有任意參數c c 的幕級數 y(x,c)y(x,c)由下式給出y1n =o2a。(1-x)32nao對各項求導，并令c c= 0 0 得x11yaoe2x-ao；-(r- 3:x2n-)n所以方程的通解為y = A% By2(c c)將幕級數代入后比較系數得到指標方程遞推公式指標方程的根為2c + 2c=on +c +3an 1ann +c +1G = ,c2二-2兩根相差一個整數m m 時，遞推公式中 a am的系數將成為 o o 而使之無法確定。首先確定

10、由大根得n n -c2 x考慮以下含任意常數 c c 的級數 y(x,c)y(x,c)方程的通解為y二A% By27.7.環形法蘭上的散熱問題可用以下方程描述1 d dTk (r) =h(T To)r dr dr式中 k k 和 h h 分別為法蘭的導熱系數和向周邊環境的傳熱系數，T To為環境溫度。邊界條件為在內圓邊界r r = = r r1處：T T = =在外圓邊界r r = = r r2處：T T = = T T2試用有關的 BesselBessel 函數給出上述問題的通解并說明如何由邊界條件確定通解中的任意常數。(提示：作變換y =T -T0, x =r. h k，化為標準形式)解：

11、Q0y(x,c)二、(n c 2)( n c 1)(c 1)(c 2)n： ：cax上述級數在 c c= -2-2 處有奇異性，第二解 y y2由下式給出j、亍(n c 1)(n c 2)y2=CO|_n=00n-tcaox=a0(-n2In x nlnx-n2-n 1)xn，n=0r2ln x12 i=ao3 2_3(1x)3x2(1x) x(1 x)32=0作變換：y =T-To,x=r,hk1dr = dx代 dT_dy h. dr dx，k原式可化為：喚旳x dx dxX29yx2y =0(0 階變形 BesseI 方程)dx dxk =0,y(x)= Al(x) BKo(x)y(*

12、質)訂ToAlnhk)BKoh,質)訂-Toy(s.hk)込-ToAlo(r2、.hk)BKo(r2k)-T -To由上兩個方程可解得 A, B(T!-To) Ko(r.hk)(T2-To) Ko(ri.hk)Ko(rhk)Io(r.hkKo(r.hk)Io(rhk)(-To)lo(r.hk)(T2-To) lo(rvhk)Ko(rhk)|o(r.hkKo(r/k)|o(r.hk)8.8.(V)用矩陣解法求以下一階線性微分方程組的通解，并將通解用實函數表示。(1)y1y1y1、1廣35、y1=S丿3令2(1(1)解：系數矩陣 A A 的特征方程為det解得 A A 的特征值 =3,，2_1當3

13、時，特征向量方程為類似的得到 毎=_1對應的特征向量為X=(1,-1)T因此，微分方程的通解為(2(2)解：系數矩陣 A A 的特征方程為3九det 5解得 A A 的特征值 打,2=4i當4i時，特征向量方程為式中的方程線性相關，取X X1為獨立變量，令 X X1= 1 1,得到=4i相應的特征向量為(1,4LZ3)T, ,相應的復數形式的解為5f1 1、4i _3 e4i=4i _3 (cos4t+isin4t)I5丿15(cos4tsin4t34+ i 43 cos4t一s-cos4t - - sin4tI 55)55上述實部和虛部為方程的兩個線性無關特解，因此方程組的通解為(1(1)待

14、定系數法式中的兩個方程線性相關，取(1)=(1,1)T(A - iI )x =22：=0X Xi為獨立變量，令 X Xi= 1 1，得到=3 3 相應的特征向量為(A- l)x*3 4i-5cos4tsin4t=G卍2丿-cos4t -4sin4t559.9.(V)對于上題(1 1)中的系數矩陣AC2cos4t -5expAtexpAt2、，請用下述方法求矩陣函數si n4t5lagrangelagrange 插值法解：將特征根代入方程，得到3tao(t) 3(t)二ea(t) a!(t) =eai(t) (e3te)41ao(t) (e3t3eJ)4(2(2)將特征根代入方程(7.247.2

15、4 )得nexp At八eitli(A)iA10.10.如所示, ,兩相互聯接的攪拌釜中裝有體積分別為V V1和 V V2的溶液，初始時刻釜中溶質濃度分別為 y y10與 y y20, ,從 t t = = 0 0 開始，兩釜中的溶液以流量q q 通過管道泵送而相互交換，管道體積可以忽略，求兩釜中的溶質濃度隨時間的變化關系。習題 1010:兩互聯攪拌釜的動態響應解：由條件得，對第一個釜:M 普二 q一*dtV2羋二 q % - y21+12、1-323te2計丿+ e -n;mn;則任何由矩陣級數定義的函數f f（A A）都可用不高于 n-1n-1 次的 A A 的多項式表示：f （A）二a0

16、Ia1A a2A2an4An考慮其參數形式（A）盧f（i）（1I）廣叫（A廣fi#（人一人）（人一人二）（ -九i十）（人一G）ryig6yi0二2y202彳+日必。-靭化-麵i日嚴2二2i其中日= =V Vq11.11.設 = = i i 為矩陣 A A 的特征值，試根據特征向量方程(246)(246)證明 SylvesterSylvester 定理(2.5.24)(2.5.24)。對于求齊次方有式 2.4.6:2.4.6:(A - l)X =0定義expA八Ak=I Ak!23!(1)2njf ( ) = a0a!.亠a2.亠 亠an若欲確定其中的ai(i=0,1(i=0,1,n-1),n

17、-1),常用的方法是用函數f (i)(i=1,2(i=1,2 ,n),lagrange,n),lagrange 插值法來得到，因f ( )是 n-1n-1 次的多項式，故可通過 lagrangelagrange 插值的方法來準確表達nf()八f(i)li()怪.J.(打)(站)(J乂n)(i - 1)(i - i)(i冷1)(i - n)將參數，代換為 A A 上式同樣成立，有f嚴f嚴1) (A-)(AI) (A-nl)(y(A1)(人一打)(人i人)(入一入七)(入一打)此式即為 SylvesterSylvester 定理. .12.12. 不同形狀的催化劑顆粒上的反應- -擴散問題可用以下

18、方程描述dcAdrx=R:- Dhm(cA -cb)dr式中 s s 為顆粒的形狀指數，s s = = 0 0 為片形，s s = = 1 1 為長圓柱形，s s = = 2 2 為球形，D D 為內擴散系數，k k 為一級反應速率常數，h hm為外表面傳質系數，c cb為流體相本體濃度。(a)(a) 選擇適當的特征尺度將問題無量綱化；(b)(b) 分別求取 s s = = 0 0，1 1，2 2 時的粒內濃度分布；(c)(c) 求催化劑有效系數D判_s 2dxx缶-Rkcb與 ThieleThiele 模數 = R Rk和 BiotBiot 數Bi二匕聖 之間的關系，并討論這兩個參數對的影V

19、 DD響趨勢。解：取顆粒的半徑為x的特征尺度。取Cb為CA的特征尺度 可將問題無量綱化。f (i)f C )上的 n n 個點上的值其中lj(討二丄上(sX :X邑)g.:x選擇R與cb分別為自變量x與因變量cA的特征尺度，作變換r=x/R,c=cA/cb代入方程和邊界條件，整理得:sd(rsS2cr dr drc de門r=0:0drdcr = 1:Bi(c-1) = 0drBi二hmR/D(2)S=0L、r D 1)二kcAx : Xd2cA,小D2- kcA二0dx2特征方程：D2-k = 0 dCACix = 0CA=hm(CA H)(eDxJ D)A-kRkRkD(eD-eD)-Dd

20、CAdrx = RdCA不 9dr-hm(CA -Cb)hm(CCb)kRD) _D(G-C2DR)C1=C2=p而(J、kxS=11：D (xxXD1x1dcADAD2x dx dxdj 1 dCAkc 0dx2x dx DA此方程為變系數方程c=0時，:a。kn 2n浮x黯廠kcAdx dx%kc-kcAanxn c代入方程，n=0得:QO an( n c)(n c-1)xn c_2n=0令x_2的系數為零c(c -1) c = 0q = c2= 0令xn c的系數為零oO| cd八an(n c)xn c2-上n=0Dn=0n+ca“xkan.2(n c 2)(n c 1) an 2(n

21、c 2) 3an= 0an 2=kanD( n c 2)2aoy y(x,o)二二kcA、- -()xnT(2n)(2n -2)(2) DCA=Ayi+By2A,B均為任意常數a2n2n2 22 22 2占)(2nC)2(2n c- 2)2()(2 c)2DDO2n2n 丹.a0 0 xkn ny(x,C)2 202 22 2()n n(2n+c)2(2n+c-2)2()(2+c)2D將上式對C求導，再令C=0 得第二解：2n4C-ax_ (j)n(2n c)2(2n c- 2)2()(2 C)2(D)12n00 ao(2X)k11(上)nln x_1_丄_1n=o(n!)2D“23oO二aJ

22、(x)ln x八n二a。2n2n 丹a xay(x,c)八ndy廠當“QC(2x)2nnS=21?2；:cAD 2(x ) = kCAx；x；x設CA宜x可將原方程化為：D獸一ky =0dx通解為：CA二x(A-Bx = 0 A= -BX1(AkDey=AekDxBe/Ae跖x+ Be昭加B)(AeDBe)xdcA1/A子八字(Ae dx x-kDx)dx-B.kDeBe-kDx)2xx = Rr dcA-Ddx二hm 7)A = _B_A(Ae“廠今)丄(ARR=hm -Q) D一D1(人戶 +Be呵 +R (A初De BAR)R)2A二hm(CA-cJRR(，DekDR、Dke kDR)2

23、hm( cAcb) RB二R(+)_(ekDR-e%R)is*RdcA .AL才hm -cb)dxs 2hm(CA-Cb)RkcbR2-DhmRDhmRk(CA- q)(s 2) Bi所以與Bi成正比，與2成反比13.13.對于可逆反應A B，反應的轉化率由于受到化學平衡的限制而難以提高，采用反 應-分離耦合操作的方法就可以打破這一限制。設在一催化劑顆粒內部發生上述雙組分可逆反應，同時也篩選出了某種吸附劑，使得A A、B B 的吸附性能呈現較大差別，這樣，我們就可以將催化劑與吸附劑摻混，然后采用逆流移動床來實現反應-分離耦合操作。設吸附等溫線為線性，反應關于固相濃度為一級，忽略顆粒內外的傳質阻

24、力和床層返混，則逆流移動床數學模型 由以下方程描述_DdcA|D .lx二RdxBi展開得:det A二dCAdnA.SkAnAkBnBdz dzdCBdnB;,S-=dz dznA =KACA,nBz = 0:CA=cA,t!B,kAnAkBnB-KBCBCB= cBtnB =nB,nA =nA式中，c c 和 n n 分別表示流體和固體相的濃度，. , ,.S分別為流體和固體的運動速度，求1 1） 解上述方程，給出濃度 A A、B B 的沿塔分布。2 2）如果令qA= “,CA-：SKACA，分 A A、B B 的凈流率。研究表明，只有當邊界上的間斷條件表述為塔底（z z = = 0 0）

25、:bb亠bCA =CA,nA =nAv（c -CB%VS（nA-nA4）塔頂（z z =l=l）:-S（nA -nA（cA -CATtt.ttC CB, nB =nB式中上標“ + ”與“-”分別表示塔頂和塔底邊界外部的值，根據上述條件確定流體相和 固體相的出口濃度。3 3）如果取以下參數KA=1.17, KB=1.80,S/=0.77, kAl /的濃度分布并作圖考察各參數變化的影響。解：1 1）原方程組可化為如下形式：z =1:qB=】CB-：SKBCB，則二者分別表示床層任一截面上組q qA和 q qB的方向相反時，才能實現A A、B B 的分離，此時= 0.226, kA/kB=0.4

26、9計算相關CAkAk-K-dzU-JKAu-5KA&dc-kAk-K-&丿idz丿嚴SKBuJK-丿kBKB其特征方程為:det-SKAkA-SKAkBSKB-SKBkAKAfkAKA*k-K-k-K-kAKAflj、U7SKA)_USKB丿V-VSK-SK-/kAKAk-K-+kAKA-+-k-K-a+a2k-K-kAKA九+人2= 0kA- -SKA-SKB-SKA：-SKBSKAU7SKB丿十kBV-VSK V-VSKBJ_kAKA亠kBKBkAKA亠kBK與，=0對應的特征向量方程為:kAU USKAkAKA嚴USKBkKCB。令CB=1，得到特征向量:kAKA(1),

27、 kBKBTc (,1)kAKA-SKB-SKBcB。令CB=1，得到特征向量:綜上，微分方程組的通解為:其特征值為：，=0,kA；.； sKA丄kBU SKB丿，為相異實根。即:kB=GkAKA 1丿AKACAnAq、c2為常數kAKA亠kBKBA .；%KBkAKA _ _kBKB& kA-SKB- -SKA_kAKA亠kBKBSKA-SKBKACQC-SKB-SKA(A - 11)c =-SKAkBKBV-VSKBCA1CB丿1。 取CB為獨立變量，得 CA=kAKA USKAkBKB-SKB對應的特征向量方程為:kBKBkBKB(A - l)c =-SKBkAKA-SKAkAK

28、ACA0J取CB為獨立變量，得 CA-SKAz=0時，CA=CA,CB=cB，知:(bkBKBsKBCA= GC2 -kAKAU -USKAbCBc2解得:SKAbCBkBkAKA十甘_9SKB,5_SKAkBkAkBKB .：- SKBkAKA：-SKA則得到原方程組的解:b r二:SKBbCACBV -VSKAkBKB-SKBkAKA-SKAb TSKBbCACBV -VSKAkBKB .-SKBkASKAkBKBkXkBKB b bkBKB .： sKBRAKAL；： ：SKAkBKBb bCB _CAkAKkAK_ e 異_SKBASKAz =1時，二nB，nA二nA，知:tnAIkA

29、KAr：kBKBSKA二SK二ClKAC2ekAkBKBB1丿U -5KBU7SKAnB-C|KB Kpqe|kAKA亠kBKBI一 ：FKA：“SKBkAKA:_：SKB-SKAkBKB -SKBt解得：C工匹KB$nB -nAkASKB-，C2學nB -nAkAkAKA 1kBKBe：-k：則得到原方程組的解:nA =-t止KBn nB二-n nBKBkA: :AnBtFAk kBK KB邑KBKA一：KBk kAk kB t&AKB+KAV -V：KBv -V：KA丿即 A A、B B 的沿塔分布。kBkAk kBkAKBKA-SKB-SKA嚴KSKA兀KB+KBrkBkAk k

30、B t tBn nB-皿k kAKBKAJSKBU7：KA丿kAKA-.kBKBIzeF F-SKBSKAIRAKA. kBKkBKB1e: rsKA： KBZ = 0時，因j；H%KB，否則靜流率為 0 0，則由條件-(cB-cBJ - -s(n；-nB)得:b b：；b b：!；CB= CB,nB -nBz =1時，同上原因，由條件:(cA -cAj二：s(nA -n)得:tt tcA二cA,nA二n3)3)由條件得:2)2)kB80 =3傘7SKB0.49 1.17一 i -SKA-0.771.80-0.771.17二-3.90;kAKAkBKB_0.226 1.170.226 1.80

31、=0.517-sKA-SKB-1 1-0.77 1.17 l 1 -0.77 1.800.49一l則代入原濃度分布為：CA*cB0.517-4.13 cA-3.90cB-5.13 3.14cB-cA0.517=1.32(cA 3.90cB )1.32(3.14cB cA0.517nAnB=35.051nB-16.181 nA-20.101 2.04nB -nA0.517二17.177nB-7.930nA7.930 2.04nB -nAe11414.(V)發生在催化劑顆粒上的放熱反應總是與傳熱相互耦合，從而導致多重穩態的產生和相關的穩定性問題，COCO 在鉑催化劑表面的氧化反應曾被作為一個典型的

32、體系而得到廣泛的研究。現考慮 COCO 在鉑金屬絲表面的氧化，相應的質量與熱量衡算方程可表示為dA=k-A)-kAdt-cpddT二 h(T0-T) (-：H)kA4 dt試從上述方程出發，在穩態解附近作線性近似，導出相關的穩定性判據。解：方程右端為零時，所得的解是系統的穩態解，設為(A As,T,Ts), ,考慮系統的小擾動x二A -乓,y =T譏并令kA = rA代入原方程，即得擾動(x x, y y)滿足的瞬態方程dxkfX (rATAS)dt孚 _ _ _y _：仏_AS)dt將 k k 展為泰勒級數，并忽略二階及其后的高階項，得到線性近似方程P（kf+氏）x-詹卜相應的特征方程為特征

33、根實部的正負由參數決定，分為以下情況：（1 1） 當 t tr0,0,0 0 時，兩特征根的實部為負值，系統是漸進穩定的；（2 2） 當 t tr0,0,或者：0 0 時，至少有一個特征根的實部為正值，系統是不穩定的；（3 3） 當 t tr=0,=0,0 0 時，兩特征根為相異的虛根，X X 與 y y 將圍繞穩態進行振蕩, 不是漸進穩定的。系統漸進穩定的物理變量判據為第二種解法：方程右端為零時，所得的解是系統的穩態解，設為（A As,T,Ts）, ,考慮系統的小擾動原方程化為TSA二kA,:4 汨Cpd4h;?Cpd式中：4AH p 4hCpd Cpddt：Ax（ ：g式中:4 H;?Cp

34、d4h;?Cpd其中 tr（S）（汀S-rA)-：系統是穩定的但tr，：= 0.汀S S=-kfx - kx -(k 一 ks)代dtfcPd dTPhy (-.：H)kx (k - ks)As4dt將 k k 展成泰勒級數，并忽略二階以上項k =ksdk(T -Ts)土dkysdTsdTS方程化為1515 .考慮催化劑顆粒的內擴散阻力時，一般情況下顆粒熱穩定性問題的分析將變得十分 復雜，但是，若對內擴散過程采用擬穩態假定，則問題就可以大大簡化。試從第一章給出的催 化劑顆粒簡化模型（1.5.151.5.15）、（1.5.161.5.16）出發，對熱量衡算方程采用穩態附近的線性近似，然后針 對薄

35、片型催化劑顆粒（s s= 0 0）導出相關的失穩條件（斜率條件）。解:當s=0時，有：y-2yexp 1-4 =0& I U丿特征方程：九2 02expYh-丄11 = 01 I u丿得:人=exp|丄？”1一丄i,打=一0 exp卩？ 1一丄21 U力巳 2 I U丿dxdky -dTS%：H）ksxHAs卡4 dtdTS略去方程的高階項再按穩定性的常規方法判斷。空二-(kfks)x As坐dt f打cdTSyx dkh) yLHyxIdT丿s則萬程的解為:代入熱量衡算方程為：拒毛UbRexp 1_丄1ce嘰4xce1 1廠dr_. u0、dx=B仙)+薛expd-U -1)*uexpf 1-4 c e叫 L對系統：=BiUb-uT C