1、1第四章：第四章：反應堆臨界理論反應堆臨界理論4.14.1均勻裸堆的單群理論均勻裸堆的單群理論 4.1.1 4.1.1均勻裸堆的單群擴散方程均勻裸堆的單群擴散方程 4.1.2 4.1.2熱中子反應堆的臨界條件熱中子反應堆的臨界條件 4.1.3 4.1.3各種幾何形狀裸堆計算各種幾何形狀裸堆計算 4.1.4 4.1.4單群理論修正單群理論修正- -徙動長度徙動長度4.24.2有反射層均勻堆有反射層均勻堆4.34.3非均勻反應堆非均勻反應堆2 4.1.14.1.1均勻裸堆單群擴散方程均勻裸堆單群擴散方程均勻均勻燃料與慢化劑等堆內一切材料均勻混燃料與慢化劑等堆內一切材料均勻混合合裸堆裸堆沒有反射層的

2、反應堆。沒有反射層的反應堆。一群一群中子能量相同，（中子能量相同，（單速中子）單速中子）3 4.1.14.1.1均勻裸堆單群擴散方程均勻裸堆單群擴散方程),(),(),(),(12trDtrtrSttra 單群中子擴散方程：單群中子擴散方程：假設所有中子都是裂變瞬發中子，熱中子反應堆內單位時間、假設所有中子都是裂變瞬發中子，熱中子反應堆內單位時間、單位體積內產生的中子數單位體積內產生的中子數),(),(trktrSa ),(),(),(),(12trDtrtrkttraa ),(1),(),(122trLktrttrD 其中其中L2=D/ a擴散長度擴散長度即得堆芯單群即得堆芯單群中子擴散方程

3、中子擴散方程邊界條件：邊界條件：1）在反應堆外推邊界處，中子通量密度為）在反應堆外推邊界處，中子通量密度為0；2）在不同介質交界面上，中子通量密度相等，中子流密度相等）在不同介質交界面上，中子通量密度相等，中子流密度相等4 單群中子擴散方程的解單群中子擴散方程的解采用分離變量法：采用分離變量法：)()(),(tTrtr 單群中子擴散方程變為單群中子擴散方程變為221)()(1)()(LkttTtTDrr 上式左邊只與上式左邊只與r有關，而右端只與有關，而右端只與t有關，因此等式兩端必須都等有關，因此等式兩端必須都等于某一常數（設為于某一常數（設為-B2），），則有則有0)()(22 rBr 為

4、典型的波動方程，又稱為典型的波動方程，又稱亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程，B B2 2稱為方程稱為方程的本征值（或特征值）的本征值（或特征值）對于給定幾何形狀系統，在滿足邊界條件下，可得到一系列從對于給定幾何形狀系統，在滿足邊界條件下，可得到一系列從小到大排列的本征值小到大排列的本征值Bn2，及對應的本征函數及對應的本征函數 n (n=1,2,3)。n=1的本征函數稱為基波特征函數或一階諧波，其余為高階諧波；的本征函數稱為基波特征函數或一階諧波，其余為高階諧波；n=1的本征值的本征值B12稱為反應堆的幾何曲率稱為反應堆的幾何曲率Bg2(它只與堆的大小和形狀有關它只與堆的大小和形狀有關) nnnrAr

5、)()( 5由于特征函數由于特征函數 n(r)的正交性，對于每一個的正交性，對于每一個n值的項都是線性獨立值的項都是線性獨立的，因而對于每一個的，因而對于每一個Bn2值和值和 n(r) ，有一個，有一個Tn(t)與之對應：與之對應：221)()(1nnnBLkttTtTD 兩端同乘兩端同乘L2/(1+L2 Bn2)nnnnlkttTtT1)()(1 2202221)1(nnnBLlBLDLl 221nnBLkk nnltkneT/)1( 常數常數與時間及空間相關的中子通量密度：與時間及空間相關的中子通量密度： nltknnnnnnnnerAtTrAtr/)1()()()(),( 6 例：無限寬

6、有限厚平板均勻裸堆例：無限寬有限厚平板均勻裸堆xa0222 Bx（2）在平板的外推邊界）在平板的外推邊界面（面（x=d）上通量為）上通量為0。邊界條件：邊界條件：（1）中子通量對稱分布，）中子通量對稱分布，在在x=0處凈中子流密度為處凈中子流密度為0。根據斐克定律有：根據斐克定律有：外推長度外推長度d=2/(3 s)=2D厘米量級，厘米量級，而一般熱中子堆的堆芯尺寸在米的而一般熱中子堆的堆芯尺寸在米的量級，故可認為外推邊界就是堆芯量級，故可認為外推邊界就是堆芯幾何邊界幾何邊界02/ ax 00 xx 通解：通解： (x)=AcosBx+CsinBx (x)=AcosBxBn= (2n-1) /

7、a n=1,2,3xanAxnn )12(cos)( nnltknnnexanAtx/)1()12(cos),( 無限平板堆中子通量密度：無限平板堆中子通量密度：7 4.1.2熱中子反應堆的臨界條件熱中子反應堆的臨界條件221nnBLkk 通過前一小節的討論可以知道：通過前一小節的討論可以知道：1）特征值）特征值Bn2隨隨n增加而增大。最小特征值是增加而增大。最小特征值是n=1時的時的B12值；值；2）當）當n增加時，增加時，kn單調遞減，也就是說對應于最小特征值單調遞減，也就是說對應于最小特征值B12之之k1是是k1, kn中的最大值。另外，考慮到中的最大值。另外，考慮到Bn2與系統尺才有關

8、，與系統尺才有關，當系統尺寸加大時，當系統尺寸加大時， Bn2便減小，因而改變系統的尺寸就可以便減小，因而改變系統的尺寸就可以改變改變Bn2值，從而也就改變了值，從而也就改變了kn值。值。Bn= (2n-1) /a n=1,2,3平板堆：平板堆：8第二種情況：第二種情況： 著著k1 1，則，則(k1-1)0，這時中子通量密度將隨這時中子通量密度將隨時間不斷地增長，反應堆將處于超臨界狀態。時間不斷地增長，反應堆將處于超臨界狀態。第三種情況：若通過調整反應堆堆芯尺寸，使第三種情況：若通過調整反應堆堆芯尺寸，使k1恰好等于恰好等于1，則，則其余其余k2 ，kn(n1)的值都將小于的值都將小于1，那么

9、，那么 (r,t)中中n=1的項將的項將與時間無關，而與時間無關，而n1的各項將隨時間而衰減。因而當時間足夠長的各項將隨時間而衰減。因而當時間足夠長時，時，n1各項都已衰減到零，系統達到穩態，這時中子通量密度各項都已衰減到零，系統達到穩態，這時中子通量密度按基波形式分布，反應堆處于臨界狀態。因而反應堆維持臨界的按基波形式分布，反應堆處于臨界狀態。因而反應堆維持臨界的條件是條件是k1=1，顯然，顯然k1便是前面定義的有效增殖系數。便是前面定義的有效增殖系數。第一種情況：第一種情況： 對于一定幾何形狀和體積的反應堆芯部，若對于一定幾何形狀和體積的反應堆芯部，若B12對對應的應的k1小于小于1，那么

10、，其余的，那么，其余的k2， kn都將小于都將小于1，這時的這時的(kn-1)都是負值。這時，都是負值。這時， (r,t)將隨時間將隨時間t按指數規律衰減，因而系統處按指數規律衰減，因而系統處于次臨界狀態。于次臨界狀態。 nltknnnnerAtr/)1()(),( 中子通量密度分布：中子通量密度分布：9 結論：結論：裸堆單群近似的裸堆單群近似的“臨界條件臨界條件” 又稱為單群理論的臨界方程：又稱為單群理論的臨界方程：0)()(22 rBrg 最小特征值，即幾何曲率最小特征值，即幾何曲率當反應堆處于臨界狀態時，中子通量密度按最小特當反應堆處于臨界狀態時，中子通量密度按最小特征值征值Bg2所對應

11、的基波特征函數分布，也就是說穩所對應的基波特征函數分布，也就是說穩態反應堆的中子通量密度空間分布滿足波動方程：態反應堆的中子通量密度空間分布滿足波動方程：這里這里B12系波動方程的最小特征值系波動方程的最小特征值Bg2(幾何曲率幾何曲率)112121 BLkk熱中子泄漏率熱中子泄漏率 VgVVLdVDBdVdVP 2aa中中子子泄泄漏漏率率中中子子吸吸收收率率中中子子吸吸收收率率熱中子不泄漏幾率：熱中子不泄漏幾率：)()(22rDBrDg 2211gLBLP 11 LPkk10 例題例題xa設有如圖所示一維石墨慢化反應堆，設有如圖所示一維石墨慢化反應堆，k =1.06，L2=0.03米，米，

12、tr=0.028米。試求：米。試求：(1)達到臨界達到臨界時反應堆的厚度時反應堆的厚度H和中子通量密度的分布；和中子通量密度的分布；(2)設取設取H=2.5米，試求反應堆的有效增殖系數米，試求反應堆的有效增殖系數k。(1) 反應堆臨界時反應堆臨界時11221 gBLkk對應的幾何曲率對應的幾何曲率2220 . 203. 0106. 11 米米LkBg1414. 1 米米aBg 米米222. 2 gBa 外推距離外推距離 d=0.7104 tr=0.71040.028 0.02米米臨界時反應堆的厚度臨界時反應堆的厚度 H=a-2d=2.222-0.04=2.182米米中子通量密度的分布中子通量密

13、度的分布xaAx cos)( （2）若）若H=2.5米，則反應堆幾何曲率米，則反應堆幾何曲率222530. 12 米米dHBg 反應堆的不泄漏幾率反應堆的不泄漏幾率有效增殖系數有效增殖系數9561. 0530. 103. 0111122 gLBLP0135. 19561. 006. 1 LPkk11 4.1.3幾種幾何形狀裸堆計算幾種幾何形狀裸堆計算 1 1）球形反應堆：半徑）球形反應堆：半徑R(R(含外推距離含外推距離) )應用球坐標系統，并把原點取在球心上。根據對稱性條件，這時應用球坐標系統，并把原點取在球心上。根據對稱性條件，這時的波動方程為的波動方程為02222 gBrrr通解：通解：

14、rBrErBrCrggcossin)( 邊界條件：邊界條件：1）r0，有限值：有限值：rBrCrgsin)( 2）r=R， =0：BgR=n ，n=1,2,3;n=1時幾何曲率時幾何曲率:22 RBg 中子通量密度分布為中子通量密度分布為 RrrCr sin)(C由反應堆功率決定由反應堆功率決定12 2 2）長方體反應堆）長方體反應堆cabxzy長方體邊長分別為長方體邊長分別為a,b,c(均包括均包括外推距離在內外推距離在內)。這時采用直角。這時采用直角坐標系，原點取在反應堆的中坐標系，原點取在反應堆的中心點上，波動力程可以寫成心點上，波動力程可以寫成02222222 gBzyx采用分離變量法

15、：采用分離變量法： (x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)222)()(1xBxxXxX 222)()(1yByyYyY 222)()(1zBzzZzZ 2222gzyxBBBB 131)中子通量密度關于中子通量密度關于x,y,z軸對稱軸對稱2)在在x= a/2，或，或y= b/2或或z= c/2，中子通量密度為，中子通量密度為0長方體堆邊界條件長方體堆邊界條件xBAxXxcos)( yBEyYycos)( zBFzZzcos)( 22 aBx 22 bBy 22 cBz zcybxaCzByBxBCzyxzyx coscoscoscoscoscos),( 2222 cbaBg C是由中子通

16、量密度歸一條件或由反應堆輸出功率決定的常數是由中子通量密度歸一條件或由反應堆輸出功率決定的常數14 3 3）有限高圓柱體反應堆）有限高圓柱體反應堆22222211zrrrrr 柱柱坐坐標標系系：通量分布對稱，與通量分布對稱，與 無關，無關， = (r,z)故穩態擴散方程為故穩態擴散方程為:01222 Bzrrrr在不計外推長度時的邊界條件在不計外推長度時的邊界條件RHrz1)在圓柱上下底在圓柱上下底部部,中子通量為中子通量為02)在圓柱表面在圓柱表面,中子通量為中子通量為03） 有界、連續，有界、連續，相對相對z=0上下對稱。上下對稱。02/ Hz 0 Rr 220405. 2cos405.

17、2),( HRBzHrRAJzr 系數系數A由反應堆穩態功率由反應堆穩態功率P確定確定VEPAff 6 . 3Ef：一次裂變釋放：一次裂變釋放平均能量平均能量 f：宏觀裂變截面：宏觀裂變截面V：堆芯體積：堆芯體積zz 15 臨界尺寸臨界尺寸反應堆臨界時具有的體積稱為臨界體積：反應堆臨界時具有的體積稱為臨界體積：V= R2H1)對于無限寬的有對于無限寬的有限厚平板堆，臨界限厚平板堆，臨界時，其厚度時，其厚度a須滿足須滿足2221 aLKB 1 KLa 2)對于有限高圓柱堆，當臨界時，其高度對于有限高圓柱堆，當臨界時，其高度H與半徑與半徑R須滿足須滿足2222405. 21 HRLKB 2222)

18、/(405. 2HBR 圓柱堆最小臨界體積：圓柱堆最小臨界體積：0 HV2223BH 2222)405. 2(3BR 即最小臨界體積即最小臨界體積V=148/B3112;154. 0 HRHR輸出功輸出功率率/MW高高 直徑直徑/m m大亞灣大亞灣9003.65 3.36秦山秦山III7005.945 6.286田灣田灣10003.53 3.1616 其他幾何形狀均勻裸堆其他幾何形狀均勻裸堆堆芯幾堆芯幾何形狀何形狀尺寸尺寸幾何曲率幾何曲率Bg通量分布通量分布AK 最小體積最小體積(最佳尺寸最佳尺寸條件條件)無限平無限平板板厚厚a1.57長方體長方體a b c3.88161/B3a=b=c無限高

19、無限高圓柱體圓柱體半徑半徑R2.32有限高有限高圓柱體圓柱體半徑半徑R高高H3.64148/B3R=0.55H球體球體半徑半徑R3.29130/B3ffaEP 57. 1ffVEP 87. 3ffERP 2738. 0ffVEP 64. 3ffERP 24222 cba zcybxaA coscoscos rRAJ405. 20 zHrRAJ cos405. 20 rRrA sin1 xaA cos2 a 2405. 2 R22405. 2 HR 2 R 全堆平均通量全堆平均通量堆內最大通量堆內最大通量maxK 通量不均勻因子描述反應堆通量不均勻因子描述反應堆通量分布的不均勻程度通量分布的不均

20、勻程度17 4.1.44.1.4單群理論修正單群理論修正1 1）二群臨界方程）二群臨界方程v一群擴散方法沒有區分快、熱中子，沒有考慮快中子的擴散一群擴散方法沒有區分快、熱中子，沒有考慮快中子的擴散泄漏；泄漏；v實際上，對于熱堆的臨界問題，一般至少要采用二群計算，實際上，對于熱堆的臨界問題，一般至少要采用二群計算，即把中子按能量分成快、熱兩群。即把中子按能量分成快、熱兩群?？熘凶尤旱姆€快中子群的穩態擴散方程：態擴散方程：0)()()(2 rpkrrDTTaFTFFF 快中子源項：快中子源項：SF(r)=f aT T(r)p：逃脫共振吸收幾率逃脫共振吸收幾率每秒每立方厘米內從每秒每立方厘米內從快群

21、轉入熱群的中子快群轉入熱群的中子數數熱中子群的穩熱中子群的穩態擴散方程：態擴散方程：0)()()(2 rprrDFTFTTaTT 從快群轉出的從快群轉出的中子數中子數18根據費米理論，裸堆中各群中子通量在空間的分布形狀都是相同的根據費米理論，裸堆中各群中子通量在空間的分布形狀都是相同的 F(r)=A1 (r) T(r)=A2 (r) A1、A2為常數為常數 (r)滿足亥姆霍茲方程滿足亥姆霍茲方程0)()(22 rBr 0)(0)(221212 ABDApApkABDTaTTFTaTFFA1、A2有非零解的必要條件：有非零解的必要條件：0)()(22 TaTTFTaTFFBDppkBD)(22TaTTFFTaTFBDBDk 122 TaTaTTFTFFBDBDk1)1)(1(222 TTBLBk 均勻裸堆二群臨界方程：均勻裸堆二群臨界方程：TFFTD TaTTDL 2熱中子年齡熱中子年齡熱中子擴散長度熱中子擴散長度192 2）徙動長度）徙動長度1)1)(1(222 TTBLBk 2211TTLBP 定義：定義：即熱中子不泄漏幾率即熱中子不泄漏幾率TFBP 211 即快中子在慢化中的不泄漏幾率即快中子