1、課時作業 31 數列的概念與簡單表示法一、選擇題1.已知數列 1,2, 7, 10,13,，則 2 19 在這個數列中的 項數是(C )A. 16B. 24C. 26D. 28解析：因為 6 = 1=1,a2= 2= .4,出=.7,84=10,5=13,，所以 an = . 3n 2.令 an=，: 3n 2= 2 19= 76,解得 n= 26.2. 數列 偸的前 n 項和 Sn= 2n2 3n(n N*),若 p q = 5,則 apaq= ( D )A. 10B. 15C. 5D. 20解析：當 n2 時，an= Sn &-1= 2n23n 2(n 1)2 3(n 1)=4n5

2、,當 n= 1 時，a1=S1= 1,符合上式，所以 an= 4n 5,所 以 apaq= 4(p q) = 20.3. 已知數列an滿足 a1= 1, an+2 an= 6,則的值為(A )A. 31B. 32C. 61D. 62解析：數列an滿足 a1= 1, an+2 an= 6,a3= 6+ 1 = 7, a5= 6 + 7= 13, a7= 6+ 13= 19, ag= 6+ 19=25,an = 6+ 25= 31.4. 設數列an的通項公式為 an= n2 bn,若數列a.是單調遞增數列，則實數 b 的取值范圍為(C )解析：因為數列an是單調遞增數列,*所以 an+1 an=

3、2n + 1 bO(n N ),*所以 b2n+1(n N ),所以 b(2n+ 1)min= 3, 即卩 b0 對一切正整數 n 恒 成立，所以小+1,因為 n N*，所以K2,故選 C.二、填空題7. 已知數列an滿足 a1= 1,且 an= n +廠 a*)(n N*)，貝 S a3=3,an= n.an+1n + 1解析：由an= n(an+1 an),可得a=廠，貝 S an=annanan1an2a2nn1 n22-a_a1=x x xxTX1 = n(n2),二anian2an3ain 1 n 2 n 31a3= 3. Tai= 1 滿足 an= n,.an= n.8. 已知數列

4、an滿足 ai+ 2a?+ 3a3+ + nan= n+ 1(n N )，則2, n= 1,數列an的通項公式為 an= 1n2.n解析：已知 ai+ 2a2+ 3a3+ nan= n +1,將 n = 1 代入，得 ai=2;當 n2 時，將 n 1 代入得 ai+ 2a2+ 3a3+ + (n 1)an1= n,A . (2,+O)C. (O,2)12,n=1,兩式相減得 nan= (n+ 1) n= 1，an=；,韋=in1,n2.9. (2019 惠州市調研考試)已知數列an滿足 ai= 1, an+1 2an=2n(n N*),則數列an的通項公式 an= n 2n1.*n+1a i

5、 a解析：an+1 2an= 2n兩邊同除以 2n+I,可得孑門一戸=2，又寸=1a11a1i2，二數列詢是以 2 為首項，2 為公差的等差數列，;2=2+（門1）x2n=2，a = n 2n1.10.（2019 吉林普通中學二調）已知數列an中，前 n 項和為 S,C IA且 Si=2an,則a（n1）的最大值為 2.n+1n+1 n解析：2an,當 n1 時，an= Si Sn-1= 2an 2務務-1,a nna即= ，丁數列n1 單調遞減，當 n = 2 時，一-=2 最大.an1n1、an1三、解答題I21a1= 2a1+ 2a1,解得 a1= 1, a1= 0（舍）.121S2=

6、a1+ a2= 2*2+ 2*2,解得 a2= 2（負值舍去）；同理可得 a3= 3, a4= 4.（2） 因為 Sn = 2an+胃，11.（2019 浙江舟山模擬）已知 S 為正項數列an的前 n 項和，且1 1 *滿足 S = 2*2+ an（n N*）.（1） 求 a1, a2, a3, a4的值；求數列an的通項公式.121 * _t解：（1 ）由 Sn= 2an+ 2an（n N）可得,12an1所以當 n2 時，Sn-1=2an-1+ 廠,1 12 2一得 an= 2(an 3n-1)+ 2(& 3n-1), 所以(an an-1 1)(an+ an-1)= 0.由于 a

7、n+ an-10,所以an an-1= 1 ,又由(1)知 a1= 1,所以數列an是首項為 1,公差為 1 的等差數 列，所以 an= n.12. (2019 河南南陽一中模擬)已知數列an的前 n 項和為 Sn, an半0, a1= 1,且 2anan+1= 4Sn 3(n N ).(1) 求 a2的值，并證明 an+2 an= 2;求數列an的通項公式.1解：(1)令 n= 1,得 2a1a2= 4S 3, a1= 1,所以 a2=，2anan+1=4Si 3,2an+1an+2= 4Sn+1 3,兩式相減得 2an+1(an+2 an) = 4an+1. 因為 an 0,所以 an+2

8、 an=2.(2) 由(1)可知，數列 a1, a3, a5,，a2k-1,為等差數列，公差 為 2,首項為 1,所以當 n 為奇數時,a2k-1= 1 + 2(k-1) = 2k-1,數列 a2,，,1a2k,為等差數列，公差為 2,首項為 2 ,13所以當 n 為偶數時，a2k=2+ 2(k 1) = 2k 2 ,n , n 為奇數，綜上所述，an=3n , n 為偶數.力提升練n9 !912j + !+ 90,又 n +II6,當且僅當 n = 3 時，等號成立，所II 以 12 n + !+ 90 162 所以 0t162.14.已知等比數列an是遞增數列，a2a5= 32, a3+

9、a4= 12,又數列bn滿足 bn= 2log2an+1, Sn是數列bn的前 n 項和.13.(2019 河南中原名校聯考)已知等差數列an的前 n 項和為 S,1且 S3= 15, a7+ a9= 34,數列Janan+1的前 n 項和為 Tn,且對于任意的a +11n N*, Tn亠 f，則實數 t 的取值范圍為(0,162).解析：依題意，設等差數列an的公差為 d,因為 S3= 15,故 S3=3a2= 15,故 a2= 5.又 a7+ a9= 2a8= 34,故 a8= 17,故 a8 a2= 6d= 12,故 d = 2,故 ai= 3,所以 an= 3+ 2(n 1) = 2n

10、+ 1,所以 anan+1= 2n+ 1 2n + 31 1_=2(2 n+ 12 n + 3)1(1 1(1所以Tn= 25 丿+ 515-7丿+gn+1 2n+3 廠232n+ 3 一 3(2 n + 3)n2n+12因為吟亍，即亦-T-,顯然 Man+ 113(2n+ 12X2n+ 3) 3(4n2+ 30n + 36) 所以 t=(1)求 s；若對任意 n N*，都有S1魯成立，求正整數 k 的值.解：(1)因為an是等比數列，則 a2a5= 8384= 32,又 a3+ a4= 12,且an是遞增數列,所以 a3= 4, a4= 8,所以 q= 2, ai= 1, 所以 an= 2n

11、_1.所以 bn= 2log2an+1= 2log22n= 2n.n(2+2n)2所以 Sn= 2+4+2n=2= n + n.tSn+1sn貝yCn+1 Cn= aan+1ann+ 1 n+2 n n+ 1 2n-n+ 1 2n2n所以當 n= 1 時，C1C2；當 n= 2 時，C3= C2；當 n3 時，Cn+1_ CnC4C5,所以數列Cn中最大項為 C2和 C3.(2)令 Cn= 0 =an2n2+2n_12n2所以存在 k= 2 或 3,使得任意的正整數 n 都有Ssakan尖子生小題庫一一供重點班學生使用，普通班學生慎用15. （2019 洛陽市第一次聯考）已知數列an滿足 nan+2（n + 2間 =Xn2+ 2n），其中 ai= 1, a2= 2,若 anan+1對任意的 n N*恒成立，則實數入的取值范圍是0，+乂）.2an+2an解析：由nan+2-(n+2)an=Xn+2n)=X(n+2)得 n+2n=所以數列詈的奇數項與偶數項均是以 入為公差的等差數列，因為2 2n 2nn nan=