1、1第二十九講由正難則反切入人們習慣的思維方式是正向思維，即從條件手，進行正面的推導和論證，使問題得到解決但有些數學問題，若直接從正面求解，則思維較易受阻，而“正難則反，順難則逆，直 難則曲”是突破思維障礙的重要策略.數學中存在著大量的正難則反的切入點. 數學中的定義、公式、法則和等價關系都是雙 向的，具有可逆性；對數學方法而言，特殊與一般、具體與抽象、分析與綜合、歸納與演繹, 其思考方向也是可逆的；作為解題策略，當正向思考困難時可逆向思考， 直接證明受阻時可 間接證明，探索可能性失敗時轉向考察不可能性由正難則反切入的具體途徑有：1.定義、公式、法則的逆用；2.常量與變量的換位；3 反客為主；4

2、.反證法等.【例題求解】【例 1】已知x滿足 _x2_2x=2，那么 x22x 的值為_.x 2x思路點撥 視 x22x 為整體，避免解高次方程求x的值.【例 2】已知實數a、b、c滿足 a= b，且2002(a -b) 2002 (b -c) (c _a) = 0求(c)9-a)(a-b)2的值.思路點撥顯然求a、b、c的值或尋求a、b、c的關系是困難的，令.2000二x，則 2002= x2,原等式就可變形為關于x的一元二次方程，運用根與系數關系求解.注：(1)人們總習慣于用凝固的眼光看待常量與變量，認為它們涇渭分明，更換不得，實際 上將常量設為變量，或將變量暫時看作常量，都會給人以有益的

3、啟示.(2)人的思維活動既有“求同”和“定勢”的方面，又有“求異”和“變通”的方面.求 同與求異，定勢與變通是人的思維個性的兩極，充分利用知識和方法的雙向性，是培養思維能力的重要途徑.正難則反在具體的解題中，還表現為下列各種形式：(1) 不通分母通分子；(2) 不求局部求整體；(3) 不先開方先平方；2(4) 不用直接挖隱含；(5) 不算相等算不等；(6) 不求動態求靜態等.【例 3】 設a、b、c為非零實數，且 ax22bx c =0 , bx22cx a = 0 , ex22ax b = 0 , 試問：a、b、c滿足什么條件時，三個二次方程中至少有一個方程有不等的實數根.思路點撥如從正面考

4、慮，條件“三個方程中至少有一個方程有不等的實數根”所涉及的情況比較復雜，但從其反面考慮情況卻十分簡單，只有一種可能，即三個方程都沒有實數根， 然后從全體實數中排除三個方程都無實數根的a、b、c的取值即可.注：受思維定勢的消極影響，人們在解決有幾個變量的問題時，總抓住主元不放，使有些問題的解決較為復雜，此時若變換主元，反客為主，問題常常能獲得簡解.【例 4】 已知一平面內的任意四點，其中任何三點都不在一條直線上，試問：是否一定能從這樣的四點中選出三點構成一個三角形，使得這個三角形至少有一內角不大于45 ?請證明你的結論.思路點撥 結論是以疑問形式出現的， 不妨先假定是肯定的，然后推理.若推出矛盾

5、，則說明結論是否定的；若推不出矛盾，則可考慮去證明結論是肯定的.【例 5】能夠找到這樣的四個正整數， 使得它們中任兩個數的積與 數嗎？若能夠，請舉出一例；若不能夠，請說明理由.思路點撥先假設存在正整數 n1, n2, n3, n4滿足mnj，2000 =m2(i , j =1 , 2, 3, 4, m 為正整數)運用完全平方數性質、奇偶性分析、分類討論綜合推理，若推出矛盾，則原 假設不成立.注：反證法是從待證命題的結論的反面出發，進行推理，通過導出矛盾來判斷待證命題成立的方法，其證明的基本步驟是：否定待證命題的結論、推理導出矛盾、肯定原命題的結論.宜用反證法的三題特征是：(1) 結論涉及無限；

6、(2) 結論涉及唯一性；2002 的和都是完全平方3(3) 結論為否定形式；(4) 結論涉及“至多，至少”；(5) 結論以疑問形式出現等.學力訓練1 由小到大排列各分數：-，10，12，15，20，60是1117192333912. 分解因式x3亠(1 a)x22ax亠a2=_3.解關于x的方程：2x4-7x3-3ax23x24ax a2=0(a -)得x=.84.一111_ 的結果是.2 1 1,23 2 2 3100.99 99、1005 . 若關于x的三個方程，x2亠 4mx 亠 4m2亠 2m 亠 3 =0 ,x2亠(2m T)x、m2=0,(m -1)x22mx m _1 =0中至少

7、有一個方程有實根，則m 的取值范圍是 _ .6.有甲、乙兩堆小球，如果第一次從甲堆拿出和乙堆同樣多的小球放到乙堆，第二次從乙 堆拿出和甲堆剩下的同樣多的小球放到甲堆，如此挪動4 次后，甲、乙兩堆小球恰好都是16 個，那么，甲、乙兩堆最初各有多少個小球？27.求這樣的正整數a，使得方程ax - 2(2a -1)x，4a_7 =0至少有一個整數解.&某班參加運動會的 19 名運動員的運動服號碼恰是119 號，這些運動員隨意地站成一個圓圈，則一定有順次相鄰的3 名運動員，他們運動服號碼之和不小于32,請說明理由.9.如正整數a和b之和是n，則n可變為 ab，問能不能用這種方法數次，將 22

8、變成 2001 ?10.證明：如果整系數二次方程 ax2，bx，c=0a (a 嚴 0)有有理根，那么a, b ,c中至少有 一個是偶數.11.在 ABC 中是否存在一點 P,使得過 P 點的任意一直線都將該 ABC 分成等面積的兩 部分？為什么？12.求證：形如 4n+3 的整數是(n 為整數)不能化為兩個整數的平方和.13.13 位小運動員，他們著裝的運動服號碼分別是113 號.問：這 13 名運動員能否站成一個圓圈，使得任意相鄰的兩名運動員號碼數之差的絕對值都不小于3，且不大于 5?如果能，試舉一例；如果不能，請說明理由.14.有 12 位同學圍成一圈，其中有些同學手中持有鮮花，鮮花總數

9、為 13 束，他們進行分花游戲，每次分花按如下規則進行：其中一位手中至少持有兩束鮮花的同學拿出兩束鮮花分給與其相鄰的左右兩位同學，每人一束.試證：在持續進行這種分花游戲的過程中，一定會出 現至少有 74位同學手中持有鮮花的情況.參考答案固由正難則反切入【例題求解】鋼 1 I 由親件得血十+ 但工+ 3=(工十】戶十 2 二碁故*+2H-12 V afr. A 可得到關于工的一元二撫方程 tjr!+ (6C)JT-I-(cn) = 0.V (a fr) + (6c) + tf a)=0i A 方程必有 i|fi 為 1 設另一根為 x/2002-則由韋達定理得 f y2352+lz4_ LJa.

10、原式-(c Z_ /2002 720024-1) =-2002 +22,_rtiaa abS/2002X1 = -7.2b列 3 設三個二皮方程都沒有不檸實整.則5 4w 耳 04rJ三式相加，f# 護+A： abAffa 莖 0；、(a fr)1+ (6 r)i-r ca)f04J-4dr*+-0.A C +t)1-1(c-a，BOr；= s 這蠱明，若三個方程罪栓有不等的實棍，期 a = 6=c.W 此當 fl.fr.r 為不全相零的菲零實數時*三個 方程至少有一個方程有不等的實救眾.4 能補若四點 A.B.c,n 構成凸四邊形，則必有-個內不帥設為 這足因為假沒四個內角祁北于旳+則 36

11、OD= Z+ZB+Zf，+ZP 4X90 = 360*. irXZAZ呂 AC+CAD：180 = 60*.不姑設 ZAC605tZA = ZBD+ZCAD60*.則BAD 與CAD 之中必有一傘瘟* X 6O*C45.戰 結論底立.W5 不能找和這樣的四它們中任兩牛敦的積與 2Q02 的和抵是先全平方數，理由如下；個數的孚方龍翹 4 廉陳+奇敢的平方嫌 4 除余 L,也就是正整數的平方鍛4除余。或 L若存在正廉歡 Er+地，也境足小叫+闔帖=存卅 J= 1.2,3,4, wr 是正施數；因為 2002 檢 4 篠余氛所及n.ttr魅 1 粽磁 余23.門若正第歡 m 皿 5 皿中有兩牛是側數

12、*不婿設 W E 是偶數.則 rt，nt-2002按 4 除余氛與正整救的平方破 4 除余 Q 或 1 不苻.所以正整數眄.噸.叫砥中至爹有一牛是偶數.至少有三牛屆奇數-） 在這三個奇數中菽 4 除的余數可芬.為余 1 或 3 兩類.抿據捕屜原則.亦有兩個奇數屬于同一類.則它怕的乘枳被! 馨余 1 與啟吃，啟 4 醸余左或 3 的結論尹庖.媒上所述.不能找到這樣的四個疋螯數，粳得它們中任蒔個蛙的積與 2002 的和郁足完全平方數.【學力訓練】ltA10U155O25_刃“一申產$319=2391川xI3 龍解方程訶 +4 工一 3 才加十（2xqj 7 十十 3 丁 = 0 側“4 工一 3、

13、或 um 2F 上*逬一涉梆得 Ji.t1 土i/Ea卜丨_9_二”105-當心 1 時且三牛方程均無實根則一 y*-y（當材=1 時.第三牛方祥報為T= 0.故當 g-弓或心一+時，三牛方稈至少有一亍方程育實報.6.逆推7.耙原方理改為英于的一觀方程j + 2）!a = 2j-+7（ 2）,a_ - t J- + Z） 2J+ 7*/. +21 蒼 0.解得一 3 莖1、:.JM3T-10,1.|E.r= 3 1.0l 井劇代人得 a 1=呂皿=1.啟 4 =或 q-5 時.顒方程至少有一沖整數解.*在圓周上按逆時針亟.序以 1 號為起點記尿動艇號的數為 ai 出， wttu*口葉*顯然 Q

14、i q】 *両旳皿 *+“ *a 護就是 2 5-,18413 的一個排列，令 A, +j +gtAt=at,+at+商 *兒=口） 十血 +aLt,* .At=aT+a,?4 則 4 +兒 - H九=2 + 3 + 4 - J7+L8 + 1S=189若兒*比嚴/八兒 中毎一沖都$31,則樂十& -卜+十九 X 31 = 186 與上式孝W-6罠逆向推算,2Wl=X667h由&+667 = 670,得列強 0= 10X 64 由 10+67-77 得到 i77=/Xil 由 7+11=1得到從任意* = l+可得到(n-D-lXtu-lJ,因此，從攀開始可依氏得到 2i,20

15、.S.)8t77t67G 和 2OT1,HL 偃設S全疑奇址.且旦是方思的一牛有理 ftb 且,Fr)-=l.fl(a()i +r = 0 即砒卅+加眄+?=0 井別就 H JIFT附郵為奇數，E 為奇數*為偶處，訊対儲數曲為奇蠹三科摘況時論，推導矛盾.11. 偃設存在點 P 備足撇芹+連 AP 井延怏去比： 于 6 逹 BF 井廷栓交 A1：于&則 氐陽D=$”H枚BD=CD,同理 AE= CE.fliJ P AAABC的直 4 故爺=專， 過卩柞 SHBC,并別空AH.AC于G、 H*由?!； 用“相(？有進簽乂 (籍)=(箸八缶則靈榔才弘訓鈿=4 5,SPSg#%沖故點 P 不鴨

16、櫚足條件.即不存在述樣的點 P*12. 假設 F=4n+m=J+酹 3 怡為整敦八則與卜磁為一牛奇敢，一牛農敗.不姑設 = 2s+l,6=2f(i.r 為整枕.昂尸-仆+ 3=a1+fr2=2( (+l)l+ (St) )1-4Gl+i+/I) + l即尸既是 4+3 基泊誑* 丈是型的數，出現尹 ALIX 不麗辦到，躍由如下；悝設能骼排號鷗購足萌設要求.遺們將號砰敬廿為兩 A &為】2 川*ll L2.13B 組為 145 諾*匚乩 41 們”顯棘A 組中的任曲牛數的菱的絶對帙要也小于氛要會丈于氣所以在捧辰的園圈中 A 組中的任不能榨嘟*也 就足八組中的枉兩片散之問至少郵宴摘放 1

17、牛 E 組中的數.迴 A 堆中的戳排或一羸后有石牛阿隔組中有丁牛歎*所 口排好陪有一牛間陽且只有亠牛阿陽描放有 3 組中的兩 GtS2t(6a)()(e)(63(fldDt(7.12)ffif3X6.11XSlS)(8118) )K.l)( (rUi( (ioa3)I從中町見，B 堀申的數 5 氣 7 硏 9 都能與掩姐中的闊牛不同的數相郭族賣 4 只與艷對昇。只與 13 配時因此排虛團 膽石匚40 郵不能單獨插在 A 組中的陳牛不網牡之冊，4、1。只能偉為相鄰的前tlfc 捕在 A 蛆中前兩牛不同甦之間.也就 是 4 與 10 .相鄰，此時 IQ-4=$A5,勾悶設護甬！因肚題設要求的邯林不

18、繇辦到.14.不肪個設開始時手中持有鮮花的同學 JF 足丁位，殺幻熾哉缶、占彳“、人口按世時什方向依歡分別拆記這12位祠舉.U)在井耙游戲過程中，任何相鄆的兩扯冋學一涇其中亠也手中持有鮮花，那會在此后的母帆分花之百，他和兩人中加 妊至少冇一人乎中持有悍花一事實上，毎武分花如卑務龍的同于來是這曲應同學中的一也瞬么他們儁手屮的鮮吧只左増加，不趙微少” in 果怖們 誦甲的一糧是分花青.那么.井花后男一位冏學一定持有聲花.任何一也同學不町能手中始聲無花.可用反證迭旺明這_點.不紡假設凡手中曲趺無花這竜竦著遇姑彈沒柞為步花瓠松手中蟬花 R 栩堰加.不密威少.國總共只欄 13 貶幣 花所 E 經過有限氏分花之后.缶不再接曼醉?E.這