1、精解三角函數的周期性一、正弦函數的周期三角函數，以正弦函數 y = sin x為代表，是典型的周期函數.冪函數 y = x 無周期性，指數函數 y = ax 無周期性，對數函數 y =logax無周期，一次函數 y = kx+b、二次函數 y = ax2+bx+c、三次函數 y = ax3+bx2 + cx+d 無周期性.周期性是三角函數獨有的特性.1、正弦函數 y=sin x 的最小正周期在單位圓中，設任意角的正弦線為有向線段MP.正弦函數的周期性動點P每旋轉一周，正弦線MP的即時位置和變化方向重現一次.同時還看到，當P的旋轉量不到一周時，正弦線的即時位置包括變化方向不會重現.因此，正弦函數

2、y=sinx的最小正周期2.2、y=sin（x）的最小正周期設0，y =sin（x）的最小正周期設為L .按定義 y = sin （x+L） = sin（x+ L） = sinx .令x = x 則有 sin （x + L） = sin x因為sinx最小正周期是2，所以有例如 sin2x的最小正周期為sin的最小正周期為3、正弦函數 y=sin（x+） 的周期性對正弦函數sinx的自變量作“一次替代”后，成形式y = sin （x+）.它的最小正周期與y = sinx的最小正周期相同，都是.如的最小周期與 y = sin（3x）相同，都是.于是，余弦函數的最小正周期與sinx的最小正周期相同

3、，都是2.二、復合函數的周期性將正弦函數 y = sin x 進行周期變換xx，sinx sinx后者周期變為而在以下的各種變換中，如（1）初相變換sinx sin（ x+）；（2）振幅變換sin（x +） Asin（ x+）；（3）縱移變換 Asin（ x +） Asin（ x+）+m；后者周期都不變，亦即 Asin（ x +） +m與sin（x）的周期相同，都是.而對復合函數 f （sinx）的周期性，由具體問題確定.1、復合函數 f（sinx） 的周期性【例題】 研究以下函數的周期性：（1）2 sinx； （2）（2）的定義域為2k，2k+，值域為0，1，作圖可知， 它是最小正周期為2的

4、周期函數.【解答】 （1）2sinx 的定義域為R，值域為，作圖可知，它是最小正周期為2的周期函數.【說明】 從基本函數的定義域，值域和單調性出發，通過作圖，還可確定，loga x，sinx，sin（sinx）都是最小正周期2的周期函數.2、y= sin3 x 的周期性對于y = sin3x =(sinx)3，L=2肯定是它的周期，但它是否還有更小的周期呢？我們可以通過作圖判斷，分別列表作圖如下.圖上看到，y = sin3x 沒有比2更小的周期，故最小正周期為2.3、y= sin2 x 的周期性對于y = sin2x = (sinx)2，L=2肯定是它的周期，但它的最小正周期是否為2？可以通過

5、作圖判定，分別列表作圖如下.圖上看到，y = sin2x 的最小正周期為，不是2.4、sin2n x 和sin2n-1 x 的周期性y = sin2x 的最小正周期為，還可通過另外一種復合方式得到.因為 cos2x 的周期是，故 sin2x的周期也是.sin2x的周期，由cosx的2變為sin2x的. 就是因為符號法“負負得正”所致.因此，正弦函數sinx的冪符合函數sinmx，當m=2n時，sinm x的最小正周期為；m = 2n1時，sinmx的最小正周期是2.5、冪復合函數舉例【例1】 求 y =|sinx|的最小正周期.【解答】 最小正周期為.【例2】 求的最小正周期.【解答】 最小正

6、周期為2.【例3】 求的最小正周期.【解答】 最小正周期為.【說明】 正弦函數sinx的冪復合函數.當q為奇數時，周期為2；q為偶數時，周期為.三、周期函數的和函數兩個周期函數，如 sin x 和 cosx ，它們最小正周期相同，都是2. 那么它們的和函數，即 sinx + cos x的最小正周期如何？和函數的周期與原有函數的周期保持不變. 這個結論符合一般情況.對于另一種情況，當相加的兩個函數的最小正周期不相同，情況將會如何？1、函數 sinx + sin2 x 的周期性sin x的最小正周期為2，sin2x的最小正周期是，它們之間誰依誰，或依賴一個第三者？列表如下.表上看到函數sinx+sin2x的最小正周期是2.2、函數 sinx + sin2x 的周期性依據上表，作sinx+sin2x 的圖像如右.從圖上看到，函數的最小正周期為2. 由sinx，sin2x的最小正周期中的大者決定，因為前者是后者的2倍.從圖上看到，sinx+sin2x仍然是個“振動函數”，但振幅已經不是常數了.3、函數sinx+sinx的周期性sinx的最小正周期為2，sinx的最小正周期是3. 們之間的和sinx + sinx的最小正周期也由“較大的”決定嗎？