1、北師大選修北師大選修2-2第一章第一章 復習回顧復習回顧 簡言之簡言之, ,歸納推理是由歸納推理是由部分到整體部分到整體、由、由個別到一個別到一般般的推理。的推理。 根據一類事物的部分對象具有某種性質根據一類事物的部分對象具有某種性質, ,推出這推出這類事物的所有對象都具有這種性質的推理類事物的所有對象都具有這種性質的推理, , 稱為稱為歸納歸納推理推理( (簡稱簡稱歸納歸納). ).1.歸納推理：歸納推理：2.歸納推理的步驟：歸納推理的步驟：實驗觀察實驗觀察概括推廣概括推廣猜想一般性結論猜想一般性結論注意：歸納推理的結論不一定正確注意：歸納推理的結論不一定正確 春秋時代魯國的魯班，木匠業的祖

2、師。一春秋時代魯國的魯班，木匠業的祖師。一次去林中砍樹被一株齒形的茅草割破了手。這次去林中砍樹被一株齒形的茅草割破了手。這件事給了他啟發，從而發明了鋸子件事給了他啟發，從而發明了鋸子. .一年夏天，魯班上山砍樹，因為坡陡路滑，而且橫七豎八地長滿一年夏天，魯班上山砍樹，因為坡陡路滑，而且橫七豎八地長滿了小樹、雜草，行走非常不便。魯班只好攙著樹木、拽著茅草往上了小樹、雜草，行走非常不便。魯班只好攙著樹木、拽著茅草往上爬。忽然，腳底一滑，身體便順著山坡往下滾去，魯班急中生智，爬。忽然，腳底一滑，身體便順著山坡往下滾去，魯班急中生智，急忙抓住一把茅草，由于沒有抓牢，反而感到手掌心疼痛無比。滑急忙抓住一

3、把茅草，由于沒有抓牢，反而感到手掌心疼痛無比。滑到山腳，魯班狼狽地爬了起來，伸開手掌一看，掌心已是鮮血淋漓。到山腳，魯班狼狽地爬了起來，伸開手掌一看，掌心已是鮮血淋漓。魯班非常驚奇，為何一把茅草能夠劃破人的手掌。魯班顧不得疼痛，魯班非常驚奇，為何一把茅草能夠劃破人的手掌。魯班顧不得疼痛，沿著滑下來的山坡，爬上去一看，這叢茅草與別的草沒有兩樣。魯沿著滑下來的山坡，爬上去一看，這叢茅草與別的草沒有兩樣。魯班不甘心，便揪下一根茅草仔細地觀察起來。這茅草的葉子很怪，班不甘心，便揪下一根茅草仔細地觀察起來。這茅草的葉子很怪，葉子兩邊都長著鋒利的小細齒，人手握緊它一拽，手掌就會被劃破。葉子兩邊都長著鋒利的

4、小細齒，人手握緊它一拽，手掌就會被劃破。魯班又試著用茅草在他的手指上拉了一下，果然又劃開一道血口。魯班又試著用茅草在他的手指上拉了一下，果然又劃開一道血口。魯班從這件事中得到啟發，心想：如果仿照茅草細齒，來做一件魯班從這件事中得到啟發，心想：如果仿照茅草細齒，來做一件邊緣帶有細齒的工具，用它來鋸樹，豈不比斧砍更快、更好嗎？魯邊緣帶有細齒的工具，用它來鋸樹，豈不比斧砍更快、更好嗎？魯班忘記疼痛，轉身下山，做起試驗來。在金屬工匠的幫助下，魯班班忘記疼痛，轉身下山，做起試驗來。在金屬工匠的幫助下，魯班做了一把帶有許多細齒的鐵條。魯班將這件工具拿去鋸樹，果然又做了一把帶有許多細齒的鐵條。魯班將這件工具

5、拿去鋸樹，果然又快又省力。鋸子就這樣發明了。快又省力。鋸子就這樣發明了。探究一：探究一：魯班從茅草割破手這件事得到啟魯班從茅草割破手這件事得到啟發，而發明了鋸子。他當時的思發，而發明了鋸子。他當時的思維過程是不是歸納推理？維過程是不是歸納推理？ 相似點相似點: :功能功能 （前提）（前提） 形狀形狀 ( (猜想的結論猜想的結論) )能割破手能割破手能割斷木頭能割斷木頭齒形齒形齒形齒形茅茅 草草鋸鋸 子子探究二：火星上是否存在生命探究二：火星上是否存在生命簡言之，類比推理是由簡言之，類比推理是由特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理類比推理類比具有發現的功能類比具有發現的功能平面向量平面向量空間向量空

6、間向量a bab ab ab 112233(,) a bab ab ab 112233(,) aaaaR 123(,)()a b ababab 1 12 23 3 a bab ab abR 112233/,() ababa ba b 1 12 23 30若若 ， 則則 aa a a123( , , )bb b b123( , , )abab ab1122(,)1122abab ab(,)aaaR 12(,)()a ba ba b1 122 a bab abR 1122/,()aba ba b1 1220若若 ， 則則 12aa a (,)bb b12(,)2212|aaa222123|aaaa

7、 檢驗猜想。檢驗猜想。觀察、比較觀察、比較聯想、類推聯想、類推猜想新結論猜想新結論類比推理的一般步驟類比推理的一般步驟: 找出兩類對象之間可以確切表述的找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；相似特征； 用一類對象的已知特征去推測另一用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想；類對象的特征，從而得出一個猜想；2、試根據等式的性質猜想不等式的性質。、試根據等式的性質猜想不等式的性質。等式的性質：等式的性質：(1) a=ba+c=b+c;(2) a=b ac=bc;(3) a=ba2=b2; 猜想不等式的性質：猜想不等式的性質：(1) aba+cb+c;(2) ab acbc;(

8、3) aba2b2;問：這樣猜想出的結論是否一定正確？問：這樣猜想出的結論是否一定正確？合作探究合作探究試將平面上的圓和空間里的球進行類比試將平面上的圓和空間里的球進行類比球球. .合作探究合作探究1.類似特征類似特征圓圓是平面內封閉的曲線所圍成的對稱圖形是平面內封閉的曲線所圍成的對稱圖形 球球是空間中封閉的曲面所圍成的對稱圖形是空間中封閉的曲面所圍成的對稱圖形. .圓圓球球的定義：空間里，到定點的距離等于定長的點的集合的定義：空間里，到定點的距離等于定長的點的集合圓圓的定義：平面內，到定點的距離等于定長的點的集合的定義：平面內，到定點的距離等于定長的點的集合 弦弦 直徑直徑 切線切線周長周長

9、（封閉曲線的長）（封閉曲線的長）面積面積（封閉曲線圍成的面積）（封閉曲線圍成的面積）試將平面上的圓和空間里的球進行類比試將平面上的圓和空間里的球進行類比截面圓截面圓過球心的截面圓過球心的截面圓( (大圓大圓) )切面切面表面積表面積（封閉曲面的面積）（封閉曲面的面積）體積（體積（封閉曲面圍成的體積）封閉曲面圍成的體積）球球. .合作探究合作探究2.類比類比. .圓圓圓的概念和性質圓的概念和性質球的概念和性質球的概念和性質與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距離不相等的兩弦不相與圓心距離不相等的兩弦不相等等, ,距圓心較近的弦較長距圓心較近的弦較長以點以點(x(x0 0,y,y

10、0 0) )為圓心為圓心, r, r為半徑為半徑的圓的方程為的圓的方程為(x-x(x-x0 0) )2 2+(y-+(y-y y0 0) )2 2 = r= r2 2圓心與弦圓心與弦( (非直徑非直徑) )中點的連線中點的連線垂直于弦垂直于弦球心與不過球心的截面球心與不過球心的截面( (圓面圓面) )的圓心的連線垂直于截面的圓心的連線垂直于截面與球心距離相等的兩截面面積相等與球心距離相等的兩截面面積相等與球心距離不相等的兩截面面積與球心距離不相等的兩截面面積不相等不相等, ,距球心較近的面積較大距球心較近的面積較大以點以點(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0) )為球心為球心, r, r

11、為半為半徑的球的方程為徑的球的方程為(x-x(x-x0 0) )2 2+(y-+(y-y y0 0) )2 2+(z-z+(z-z0 0) )2 2 = r= r2 2利用圓的性質類比得出球的性質利用圓的性質類比得出球的性質球的體積球的體積3 34 4V = RV = R3 3球的表面積球的表面積2 2S = 4RS = 4R圓的周長圓的周長 S = 2RS = 2R圓的面積圓的面積2 2S =RS =R等差數列等差數列等比數列等比數列定義定義通項公式通項公式前前n項和項和12)nnaadn（()nmaanm d11()2(1)2nnn aaSn nnad1:2)nnaaqn（n mnmaa

12、q11(1)(1)(1)1nnnaqSaqqq1(1)naand11nnaa q等差數列等差數列等比數列等比數列中項中項任意實數任意實數a、b都有等都有等差中項差中項 ，為，為2ba當且僅當當且僅當a、b同號時才同號時才有等比中項有等比中項 ，為，為ab232,mmmmmSSSSS成等差數列成等差數列232,mmmmmSSSSS成等比數列成等比數列 我們要根據實際情況選擇適當我們要根據實際情況選擇適當的類比對象如：的類比對象如：平面平面空間空間正方形正方形正方體正方體圓圓球球三角形三角形三棱錐三棱錐四面體四面體（各面均為（各面均為三角形三角形）球球線線幾何中常見的類比對象幾何中常見的類比對象三

13、角形三角形圓圓代數中常見的類比對象代數中常見的類比對象平面幾何平面幾何立體幾何立體幾何點點, , ,S,_.ABCa b cABC例例1 1：已已知知三三邊邊長長為為面面積積為為 則則內內切切圓圓半半徑徑r r= =2Sabc 分析：面積法分析：面積法1234,A-BCD,R_.S SSSV 根根據據類類比比推推理理的的方方法法 若若一一個個四四面面體體四四個個面面的的面面積積分分別別為為體體積積為為 ，則則四四面面體體的的內內切切球球半半徑徑12343VSSSS , , ,S,2.ABCa b cSABCabc 變變式式： 已已知知三三邊邊長長為為面面積積為為 則則內內切切圓圓半半徑徑r r

14、= =ABCDOO（1010年全國卷第年全國卷第1515題）題）在平面幾何里在平面幾何里, ,有勾股定理有勾股定理:“:“設設ABCABC的兩邊的兩邊ABAB、ACAC互互相垂直，則相垂直，則ABAB2 2+AC+AC2 2=BC=BC2 2.”.”拓展到空間，類比平面幾何拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側面面積與底面面積的關系，的勾股定理，研究三棱錐的側面面積與底面面積的關系，可以得出的正確結論是可以得出的正確結論是“設三棱錐設三棱錐A-BCDA-BCD的三個側面的三個側面ABCABC、ACDACD、ADBADB兩兩互相垂直，則：兩兩互相垂直，則：_.”DABC2222BCDABCACDADBSSSSABC 484128161216412,.,_,_,.(09)nnnnanSSSSSSSSbnTTTT 設設等等差差數數列列的的前前 項項和和為為則則，成成等等差差數