1、問題解決：從解題到建模 （吳正憲工作室）過去在小學教學中，教師們非常重視“應用題”的教學，目的是要通過培養學生運用數學知識來解決實際問題的能力。新課程改革以來，雖然應用題不再成為獨立單元，反而是對解決問題能力的加強。 新的數學課程標準將問題解決作為一個重要目標，這是課程改革和發展的需要。 （一）問題解決與傳統“應用題”的區別 1. 重視過程的教學：應用題更多的強調盡快獲得答案；而問題解決是強調一個過程，就是尋求解決問題方式方法的過程。重視問題解決的過程，尋求問題解決的方法和策略比獲得一個結論本身來的更重要。 2不僅僅依附一個知識點：應用題往往是結合某一個具體的知識點，例如今天講加法， 就是加法

2、應用題，明天學乘法是乘法應用題，原來的應用題常常是依附在某一個知識點的背景下；而問題解決是強調針對具體的一個真實的情景，它更多的強調綜合解決問題的過程。例如今天講完加法后，問題解決的情景它可能不局限于用加法，也不局限于用減法，它要調動學生已有的知識來解決問題。它是不僅僅依附于某一個知識點的。 3具體問題具體分析：應用題教學把應用題歸成類，集中一類問題進行思考，強調速度和技巧；而問題解決強調的是具體問題具體分析，換句話說就是在一種新的情境中如何運用所學知識解決問題，使問題更具挑戰性，可能一個問題跟著一個問題。它更具有挑戰性，更具有新意。 4問題的開放性和多元性：應用問題強調廣泛性，即從生活中來、

3、從兒童已有的經驗出發、從現在的科技、社會發展的過程中發現問題和提煉問題。問題本身的開放性和多元性也是其很重要一個特征。 （二）解決生活情景具體與數量關系抽象之間的矛盾 數學問題解決，指的是按照一定的思維對策進行的一個思維過程，一步一步地接近目標，最終達到目標。也就是說，數學領域中的解決問題，不只是關心問題的結果，更重要的是關心求得結果的過程探索、思考解決數學問題的過程，一般說來，是一個較為復雜。艱苦的歷程。學生除需要運用抽象、歸納、類比。演繹等邏輯形式外，還需要運用直覺、靈感或頓悟等非邏輯形式。 要能夠把握“問題解決”的問題，要準確迅速地把握問題的關鍵，揭示問題的本質屬性，搞清問題的求解目標和

4、已知條件、未知條件，是問題解決的第一步。 問題解決的第二步是設計求解計劃，這要求大量的分析綜合，嘗試與猜測、類比與聯想，問題解決的最后一步，就是對所得結果作檢驗和回顧。 小結：理解題意 ( 分析數量關系 )- 求解作答檢驗反思 在日常教學過程中，我們發現有些孩子自己獨立讀題就不會做，老師或家長給讀完題后，就能順利解題了。我感覺學生在做應用問題時最大的困難是讀不懂題意。對于解決問題，學生的困難，一是讀懂題，二是分析數量關系。 1. 如何讀懂題意 怎樣是讀題，我們可以采用如下方法： 一遍讀，搞清楚是什么事；盤點數學信息，從題中獲得哪些數學信息？（力求不遺漏） 二遍讀，進行篩選，捕捉有用的數學信息，

5、誰和誰有關系，有什么關系。（力求無偏差） 三遍讀，告訴我們解決什么問題。讓學生梳理“有用信息”及“目標問題”，進一步明確解題指向。這樣只有我們讀懂了題，才能更好地進行解決問題。 怎樣幫助學生讀懂題 ·手勢理解。 ·情景再現。 ·邊讀題邊記錄。畫批的方法，給思維以方向，給思維以范圍。 ·抽象出問題的骨架，可以是畫出圖表示關系。 ·從數學的角度觀察、思考，提取數量關系，提出并解答數學問題。 2. 分析數量關系 我們要重視對運算意義的教學。加、減、乘、除運算的意義是核心概念，要讓學生積累原型，在什么時候用加、減、乘、除運算。 積累數學原型 加法可以作

6、為合并、移入、增加、繼續往前數等的模型； 減法可以作為剩余、比較、往回數、減少或加法逆運算等的模型； 乘法可以作為相等的數的和、面積計算、倍數、組合等的模型； 除法可以作為平均分配、比率或乘法逆運算等的模型。 除此之外，還要 在具體情境中，了解常見的數量關系：總價 = 單價×數量、路程 = 速度×時間，并能解決簡單的實際問題。 注重對數量關系的分析。 在解決具體問題時，教師要鼓勵學生通過實際操作、思考討論，尋找問題中所隱含的數量關系，強調對問題實際意義和數學意義的真正理解。例如，教師要鼓勵學生首先看懂問題情境，用自己的語言或者熟悉的符號表達問題情境和需要解決的問題；根據所求

7、的問題和情境中的條件，運用圖、表格等多種形式分析數量關系；回憶所學運算及其他內容的數學意義，將數量關系表達出來，這就是 關注題目的大邏輯 ： 如：三年級植樹 20 棵，六年級植樹的棵樹是三年級的 3 倍，三年級和六年級一共植樹多少棵？ 此題的大邏輯：三年級種的棵樹六年級種的棵樹 = 總數 小桶裝水 8 千克，大桶裝水的質量比小桶多 5 千克， 4 個大桶可以裝水多少千克？ 此題的大邏輯：一個大桶的質量× 4= 總質量 還可以讓學生畫枝形圖：從條件入手畫枝形圖，表示題中的數量關系，這就是用綜合法來分析題中的信息。 也可以從結論入手畫枝形圖，表示題中的數量關系，這就是用分析法來詮釋題中的

8、數量之間的關系。 看來分析數量關系的方法：從條件入手、從問題入手這些分析方法該告訴學生還得告訴學生，那什么從問題解決情景中逐步抽象出模型呢？ 從眾多情景中抽象出模型 建立數學模型；向別人解釋自己所列模型的實際意義。在學習了一段時間后，教師還可以鼓勵學生自己總結一些數學模型的典型實例。 一輛客車 3 小時行 270 千米，照這樣計算， 6 小時行多少千米？ 3 瓶飲料花 27 元， 5 瓶這樣的飲料花多少元？ 王師傅 2 小時生成 18 個機器零件，照這樣計算， 9 小時可以生產多少個機器零件？ 這三道題全部是歸一問題，傳統的基于題型的訓練也是建模；為什么這樣說呢？ 一是從眾多例證中抽取共性的東

9、西：都是先求單一量，這一步是中間問題，也是解決問題的關鍵所在；二是在選取素材時選取了基本的數量關系：如速度×時間 = 路程；單價×數量 = 總價；補充了工作效率×工作時間 = 工作總量。這就是建立模型的過程。 教學中也有一些老師經常問這樣的問題：實際問題解決之后，用不用給學生總結歸納基本的數量關系：每份數×份數 = 總數，單價×數量 = 總價似乎老師給總結了就有灌輸的嫌疑。 其實，這些基本的數量關系在學生充分感悟的基礎上，需要教師總結提煉，這也是抽象概括的過程。學生可以運用這幾個基本的數量關系去解決其它類似的問題。當然不要過早地揭示，更不能強加

10、給學生。 從模型出發引發新的問題情景 像“植樹問題”在新課標教材中，不論哪個版本都有涉及。植樹問題分三種情況： 第一種是兩端種樹，第二種是一端種樹，第三種是兩端都不種。 在四年級的一次調研測試時，有幾道題目從不同角度詮釋了植樹問題： （ 1 ）小明早晨去學校時，氣溫是零下 3 ， 中午休息時，氣溫是 5 。那么氣溫上升了 ( ) 。 這是屬于一端種樹的問題，學生可以根據直觀圖數段數，也可以進行計算。 (2) 從 20 數到 50 ，兩個兩個地數，一共數（ ）次。 這是一年級學過的 100 以內數的數數問題，到了四年級呈現此題時，目的時讓學生不斷把學過的知識進行分類、歸類和建構。這道題就是四年級

11、學過的植樹問題，兩端都種的情況。 換成解決問題的題目：一條 30 米長的路，每 2 米栽 1 棵月季花，從頭到尾一共栽多少棵？這就是模型思想。需要教學中經常變化情景，做到變中抓不變。 什么是“好”的問題？ 對于教材編寫和教學，一個首要的方面是提出“好”的問題。對于“好”的標準也許并不統一，這里只是談一談我們的思考。“好”的問題絕不等同于簡單的練習，解決問題也決不能簡單地理解為在一般的公式中對某個參數賦以具體的數值，也不能僅僅理解為會解決一些“人造”的問題。當然，知識的簡單應用是必要的，但不能僅僅停留于此，而是應努力使學生經歷從現實情境中“抽取”數學模型的數學化過程，以及把數學模型放到現實中加以

12、使用的過程。 在內容上，它的內容更具有現實性，更貼近孩子生活實際，從形式方面新穎活潑，從單一的文字形式到了圖文并茂的形式； 從思維價值上看更具有挑戰性，讓學生在解決這個問題的過程當中就獲得了思維的發展，換一句話說就是要用數學本身的魅力來吸引學生； 從趣味性層面看要能夠激發孩子的興趣，激發學生學習欲望。 概括起來說，一個好問題具有以下四個特點： （1）具有較強的探究性（或創造精神） （2）具有一定的啟發性和發展空間 （3）具有一定的開放性 （4）具有給定信息的現實性和簡易性 四、教學中凸顯問題解決的策略 問題解決活動的價值不只是獲得具體問題的解，更多的是學生在問題解決過程中獲得的發展。其中重要的

13、一點在于使學生學習一些問題解決的基本策略，體驗問題解決策略的多樣性，并在此基礎上形成自己解決問題的某些策略。 下面我們就來介紹幾種常用的解題問題的策略。 1畫圖的策略。 把畫圖作為一種解決問題的策略。由于孩子年齡的局限，他們對符號、運算性質的推理可能會發生一些困難，如果適時的。讓孩子們自己在紙上涂一涂、畫一畫，可以拓展學生解決問題的思路，幫助他們找到解決問題的關鍵。因此我們認為，畫圖應該是孩子們掌握的一種基本的解決問題的策略。為什么說畫圖很重要呢？主要是比較直觀，通過畫圖能夠把一些抽象的數學問題具體化，把一些復雜的問題簡單化。下面我們來介紹幾種常用的畫圖的方法。 畫圖包括畫線段圖、 樹圖 、

14、集合圖 、 示意圖 除了剛才介紹的幾種圖以外，孩子們有的時候是沒有任何框框的，他們根據自己的經驗，自己的思維的特點，可能畫出一些讓我們老師意想不到的、他所明白的一些圖。就是孩子們在解決問題的過程中，自己畫的圖。因此我們特別提出來，作為教師要尊重孩子們，特別是當孩子們的示意圖畫出來的時候，可能是非常的嫩稚的，可能是非常不成熟的，但是我們要很好地、認真地去挖掘他的思維價值，保護孩子們創造的積極性。 多樣化方法的呈現，讓學生的交流成為可能，實現了 “經歷與他人交流各自算法的過程，并能表達自己的想法。” 這樣的課程目標。 鼓勵學生畫圖分析問題和解決問題，發展學生的畫圖意識。尤其是學生自己畫的富有個性的

15、示意圖，是學生認知風格的具體體現。 畫圖，不僅讓學生思維外顯，而且讓教師了解學生的思維水平，為學生間的相互交流提供了有力的支撐；畫圖在具體形象和抽象數量關系之間架起了橋梁。 2列表嘗試 列表的策略，有時候我們也叫列舉信息的策略。在解決問題的過程當中，我們將問題的條件信息用表格的形式把它列舉出來，往往能對表征問題和尋求問題解決的方法，起到事半功倍的效果。 嘗試的策略，簡單的說就是不知道該從哪開始的時候，可以先猜一猜來進行嘗試。但是猜測的結果，應該是比較合理的，并且要把猜測的結果，放到問題中去進行調整。 多數情況下這兩種策略同時使用。雞兔同籠問題也是運用列表的方法，在嘗試與調整中逐步逼近正確答案。

16、 問題與策略之間不應該是一一對應的，解決同一個問題應該有多種策略，一種策略也應該能解決多種問題。 3模擬操作。 模擬操作是通過探索性的動手操作活動，來模擬問題情境，從而獲得問題解決的一種策略。學生是通過自己探索的過程，將需要解決的問題，轉化為一個已知的問題來進行推導性的研究。通過這種開發性的操作的策略的訓練，不僅能夠使學生獲得問題的解決，而且在這個過程當中，也能培養學生的創造性思維。 如：甲乙兩地相距 360千米 客車和貨車同時從甲開出。客車每小時行 60千米 ，貨車每小時行 40千米 ，客車到達甲地后立刻返回，幾小時與乙相遇？ 用手勢進行模擬；或動作模擬。學生明白做的路程是2個 360千米 ； 4. 逆推 逆推也叫還原，就是說從反面去思考，從問題的結果一步一步地反面去思考。在解決某一個問題的過程當中，當你從正面進行思考遇到了阻礙，碰到困難的時候，可以換個思路從相反的方向，即從問題的結果一步一步的往前推。 小結解決問題的策略： “列表”； “ 假設” ；“猜想嘗試”； “模擬操作”；“畫圖”； “逆推”；“簡化”等都是學生常用的解決問題的策略。 問題解決的建議： 1理解運算意義的基礎上，學會分析數量關系。 2注重恰當選擇解決問題的策略。 3鼓勵學生主動發現問題提出問題的意識，提高學生問題解決的能力。 4反思問題解決的過程及策略，逐步形成評價