1、高三數學專題復習圓錐曲線中的最值問題和范圍的求解策略最值問題是圓錐曲線中的典型問題，它是教學的重點也是歷年高考的熱點。解決這類問題不僅要緊緊把握圓錐曲線的定義，而且要善于綜合應用代數、平幾、三角等相關知識。以下從五個方面予以闡述。一求距離的最值或范圍：例1.設AB為拋物線y=x2的一條弦，若AB=4，則AB的中點M到直線y+1=0的最短距離為 ，解析：拋物線y=x2的焦點為F（0 ，），準線為y=，過A、B、M準線y=的垂線，垂足分別是A1、B1、M1，則所求的距離d=MM1+=(AA1+BB1) +=(AF+BF) +AB+=×4+=,當且僅當弦AB過焦點F時，d取最小值，評注：靈

2、活運用拋物線的定義和性質，結合平面幾何的相關知識，使解題簡潔明快，得心應手。練習：1、(2008海南、寧夏理)已知點P在拋物線y2 = 4x上，那么點P到點Q（2，1）的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標為（ A ）A. （，1） B. （，1）C. （1，2） D. （1，2）2、（2008安徽文）設橢圓其相應于焦點的準線方程為.（）求橢圓的方程；（）已知過點傾斜角為的直線交橢圓于兩點，求證：;（）過點作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于和,求 的最小值解 ：（1）由題意得： 橢圓的方程為 (2)方法一： 由（1）知是橢圓的左焦點，離心率 設為橢圓的左準線。則 作，與軸交于點

3、H(如圖) 點A在橢圓上 同理 。方法二： 當時，記，則 將其代入方程 得 設 ，則是此二次方程的兩個根. .(1) 代入（1）式得 .(2) 當時， 仍滿足（2）式。 （3）設直線的傾斜角為，由于由（2）可得 ， yO.Mx. 當時，取得最小值3、我們把由半橢圓 與半橢圓 合成的曲線稱作“果圓”，其中， 如圖，設點，是相應橢圓的焦點，和，是“果圓” 與，軸的交點，是線段的中點(1)若是邊長為1的等邊三角形，求該“果圓”的方程；（2）設是“果圓”的半橢圓上任意一點求證：當取得最小值時，在點或處；（3）若是“果圓”上任意一點，求取得最小值時點的橫坐標解：（1） ，于是，所求“果圓”方程為， （2

4、）設，則， ， 的最小值只能在或處取到 即當取得最小值時，在點或處 （3），且和同時位于“果圓”的半橢圓和半橢圓上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圓”的半橢圓上的情形即可 當，即時，的最小值在時取到，此時的橫坐標是 當，即時，由于在時是遞減的，的最小值在時取到，此時的橫坐標是 綜上所述，若，當取得最小值時，點的橫坐標是；若，當取得最小值時，點的橫坐標是或4、已知P點在圓x2+(y-2)2=1上移動，Q點在橢圓上移動,試求|PQ|的最大值。解：故先讓Q點在橢圓上固定，顯然當PQ通過圓心O1時|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大值.設Q(x，y)，則|O1Q|2= x

5、2+(y-4)2 因Q在橢圓上,則x2=9(1-y2) 將代入得|O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2 因為Q在橢圓上移動，所以-1£y£1，故當時，此時二求角的最值例2M，N分別是橢圓的左、右焦點，l是橢圓的一條準線，點P在l上，則MPN的最大值是 . 解析：不妨設l為橢圓的右準線，其方程是，點，直線PM和PN傾斜角分別為.于是 即MPN的最大值為.評注：審題時要注意把握MPN與PM和PN的傾斜角之間的內在聯系.練習：1、已知橢圓的一個焦點為F1(0,-2)，對應的準線方程為，且離心率e滿足：成等差數列。（1）求橢圓方程；（2）是否存在直線l，使l與橢圓交于不同的兩

6、點M、N，且線段MN恰被直線平分，若存在，求出l的傾斜角的范圍；若不存在，請說明理由。（1）解：依題意e ， a3，c2，b1， 又F1(0，2)，對應的準線方程為 橢圓中心在原點，所求方程為 (2)假設存在直線l，依題意l交橢圓所得弦MN被平分直線l的斜率存在。 設直線l：ykxm由消去y，整理得 (k29)x22kmxm290l與橢圓交于不同的兩點M、N，4k2m24(k29)(m29)0 即m2k290設 M(x1,y1),N(x2,y2) 把代入式中得，k或k直線l傾斜角三、求幾何特征量代數和的最值例3.點M和F分別是橢圓上的動點和右焦點，定點B(2,2).求|MF|+|MB|的最小值

7、.求|MF|+|MB|的最小值.解析：易知橢圓右焦點為F(4,0)，左焦點F(-4,0)，離心率e=，準線方程x=±.|MF| + |MB| = 10|MF | + |MB| =10（|MF|MB|）10|FB|=102. 故當M，B，F三點共線時，|MF|+|MB|取最小值102.過動點M作右準線x=的垂線，垂足為H，則.于是|MF|+|MB|=|MH|+|MB|HB|=.可見，當且僅當點B、M、H共線時，|MF|+|MB|取最小值.評注：從橢圓的定義出發，將問題轉化為平幾中的問題，利用三角形三邊所滿足的基本關系，是解決此類問題的常見思路。練習：1、點P為雙曲線的右支上一點，M，N

8、分別為和上的點，則PMPN的最大值為 .解析：顯然兩已知圓的圓心分別為雙曲線的左焦點和右焦點.對于雙曲線右支上每一個確定的點P，連結PF1，并延長PF1交F1于點Mo.則PM0為適合條件的最大的PM，連結PF2,交F2于點No.則PN0為適合條件的最小的PN.于是故PMPN的最大值為6.評注：仔細審題，合理應用平面幾何知識，溝通條件與所求結論的內在聯系，是解決本題的關鍵.2已知e1，e2分別是共軛雙曲線和的離心率，則e1+e2的最小值為 .解析： 考慮到，故得. 即e1+e2的最小值為.評注：解題關鍵在于對圓錐曲線性質的準確理解，并注意基本不等式等代數知識的合理應用.3（2012年高考（山東文

9、）如圖,橢圓的離心率為,直線和所圍成的矩形ABCD的面積為8.()求橢圓M的標準方程;() 設直線與橢圓M有兩個不同的交點與矩形ABCD有兩個不同的交點.求的最大值及取得最大值時m的值.解:(I) 矩形ABCD面積為8,即 由解得:,橢圓M的標準方程是. (II), 設,則, 由得. . 線段CD的方程為,線段AD的方程為. (1)不妨設點S在AD邊上,T在CD邊上,可知. 所以,則, 令,則 所以, 當且僅當時取得最大值,此時; (2)不妨設點S在AB邊上,T在CD邊上,此時, 因此,此時, 當時取得最大值; (3)不妨設點S在AB邊上,T在BC邊上,可知 由橢圓和矩形的對稱性可知當時取得最

10、大值; 綜上所述當和0時,取得最大值. 四、求面積的最值例4已知平面內的一個動點P到直線的距離與到定點的距離之比為，點，設動點P的軌跡為曲線C.求曲線C的方程；過原點O的直線l與曲線C交于M，N兩點.求MAN面積的最大值.解析：設動點P到l的距離為d，由題意根據圓錐曲線統一定義，點P的軌跡C為橢圓., 可得 故橢圓C的方程為：若直線l存在斜率，設其方程為l與橢圓C的交點 將y=kx代入橢圓C的方程并整理得. 于是 又 點A到直線l的距離 故MAN的面積 從而 當k=0時，S2=1得S=1 當k>0時，S2<1得S<1 當k<0時， 得若直線l不存在斜率，則MN即為橢圓C

11、的短軸，所以MN=2. 于是MAN的面積.綜上，MAN的最大值為.評注：本題將MAN的面積表示為l的斜率k的函數，其過程涉及弦長公式和點到直線距離等解析幾何的基礎知識，在處理所得的面積函數時，運用了分類討論的思想方法。當然，也可以將該面積函數轉化為關于k的一元二次方程，由0求得面積S的最大值。練習：1（2012年高考（浙江理）如圖,橢圓C:(a>b>0)的離心率為,其左焦點到點P(2,1)的距離為.不過原點O的直線l與C相交于A,B兩點,且線段AB被直線OP平分.()求橢圓C的方程;() 求ABP的面積取最大時直線l的方程.【解析】 ()由題:; (1) 左焦點(c,0)到點P(2

12、,1)的距離為:. (2) 由(1) (2)可解得:. 所求橢圓C的方程為:. ()易得直線OP的方程:y=x,設A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中y0=x0. A,B在橢圓上, . 設直線AB的方程為l:y=(m0), 代入橢圓:. 顯然. <m<且m0. 由上又有:=m,=. |AB|=|=. 點P(2,1)到直線l的距離為:. SABP=d|AB|=,其中<m<且m0. 利用導數解: 令, 則 當m=時,有(SABP)max. 此時直線l的方程. 2（2012年高考（廣東理）(解析幾何)在平面直角坐標系中,已知橢圓:()的離心率且橢圓上的點

13、到點的距離的最大值為3.()求橢圓的方程;()在橢圓上,是否存在點,使得直線:與圓:相交于不同的兩點、,且的面積最大?若存在,求出點的坐標及對應的的面積;若不存在,請說明理由.解析:()因為,所以,于是.設橢圓上任一點,則(). 當時,在時取到最大值,且最大值為,由解得,與假設不符合,舍去. 當時,在時取到最大值,且最大值為,由解得.于是,橢圓的方程是. ()圓心到直線的距離為,弦長,所以的面積為,于是.而是橢圓上的點,所以,即,于是,而,所以,所以,于是當時,取到最大值,此時取到最大值,此時,. 綜上所述,橢圓上存在四個點、,使得直線與圓相交于不同的兩點、,且的面積最大,且最大值為. 3已知

14、橢圓C：1(ab0)的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為.(1)求橢圓C的方程；(2)設直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為，求AOB面積的最大值解：(1)設橢圓的半焦距為c，依題意b1，所求橢圓方程為y21.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)當ABx軸時，|AB|.當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為ykxm.由已知，得m2(k21)把ykxm代入橢圓方程，整理得(3k21)x26kmx3m230，x1x2，x1x2.|AB|2(1k2)33(k0)34.當且僅當9k2，即k±時等號成立當k0時，|AB|.綜上所述，|AB|max2.當|AB|最

15、大時，AOB面積取最大值：Smax×|AB|max×.五.求最值條件下的曲線方程【例5】橢圓E的中心在原點O，焦點在軸上，其離心率, 過點C（1,0）的直線與橢圓E相交于A、B兩點，且滿足點C分向量的比為2.（1）用直線的斜率k ( k0 ) 表示OAB的面積；（2）當OAB的面積最大時，求橢圓E的方程。解：（1）設橢圓E的方程為( ab0 )，由e =a2=3b2 故橢圓方程x2 + 3y2 = 3b2 設A(x1,y1)、B(x2,y2),由于點C（1，0）分向量的比為2， 即 由消去y整理并化簡得 (3k2+1)x2+6k2x+3k23b2=0由直線l與橢圓E相交于A

16、（x1,y1）, B(x2,y2)兩點得： 而SOAB 由得:x2+1=，代入得：SOAB = （2）因SOAB=,當且僅當SOAB取得最大值此時 x1 + x2 =1, 又 =1 x1=1,x2 =2將x1,x2及k2 = 代入得3b2 = 5 橢圓方程x2 + 3y2 = 5 練習：1.已知橢圓的焦點F1(3,0)、F2(3,0)且與直線xy+9=0有公共點，求其中長軸最短的橢圓方程.解法1：設橢圓為=1與直線方程xy+9=0聯立并消去y得：(2 a2 9) x2 + 18 a2 x + 90 a2a4= 0， 由題設=(18 a2)24(2 a29) (90 a2a4) 0a454 a2

17、 + 405 0a245或a29.a29> 0, a245, 故amin=3，得（2a）min=6,此時橢圓方程為.解法2：設橢圓=1與直線xy+9=0的公共點為M(acos,)，則acos+9=0有解.=9cos(+)=，|19a245, amin=3，得（2a）min=6,此時橢圓的方程.解法3：先求得F1(3，0)關于直線xy+9=0的對稱點F(9,6)，設直線xy+9=0與橢圓的一個交點為M，則2a=|MF1|+|MF2| =|MF| +|MF2|FF2|=6，于是(2a)min=6,此時易得： a2=45, b2=36，于是橢圓的方程為.評注：本題分別從代數、三角、幾何三種途徑

18、尋求解決。由不同角度進行分析和處理，有利于打開眼界，拓寬思路，訓練思維的發散性。解決圓錐曲線中的最值問題，要熟練準確地掌握圓錐曲線的定義、性質，在此基礎上，靈活合理地運用函數與方程、轉化與劃歸及數形結合等思想方法，仔細審題，挖掘隱含，尋求恰當的解題方法。此外，解題過程力爭做到思路清晰、推理嚴密、運算準確、規范合理。六、求參變量的取值范圍：例6、如圖，已知某橢圓的焦點是F1(4，0)、F2(4，0)，過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|F1B|+|F2B|=10，橢圓上不同的兩點A(x1,y1),C(x2,y2)滿足條件 |F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數列 (1)求該橢

19、圓的方程；(2)求弦AC中點的橫坐標；(3)設弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m，求m的取值范圍 解 (1)由橢圓定義及條件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b=3 故橢圓方程為=1 (2)由點B(4,yB)在橢圓上，得|F2B|=|yB|= 因為橢圓右準線方程為x=,離心率為，根據橢圓定義，有|F2A|=(x1),|F2C|=(x2)，由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數列，得(x1)+(x2)=2×,由此得出 x1+x2=8 設弦AC的中點為P(x0,y0),則x0=4 (3)解法一 由A(x1,y1),C(x2,y2)在橢圓上 得得9(x12x22)+25(y12y22)=0,即9×=0(x1x2)將 (k0)代入上式，得9×4+25y0()=0 (k0)即k=y0(當k=0時也成立) 由點P(4，y