1、問題1:如果在食餌-捕食者系統中，捕食者掠食的對象只是成年的食餌 ，而未成年的食餌因體積太小免遭捕獲在適當的假設下建立這三者之間關系的模型，求平衡點設：比心 負餌食用魚在時刻'的數最'I也小捕侵者罄魚在時刻f的數顯J 負餌獨立生存吋以指數規律增長，柑對増長率；q;捕食者獨立生存吋以指數規律増長，相對增長率，g 食餌的最大容量；弘；捕食者的最大容供；m單位數最乙相對于佗提供的供養甲的優物最為單位數最甲相對于M消耗的供養甲伐物最w倍；6；單位數疑甲相對于N提供的供養甲的食物最為單位數戢乙柑對于弘消耗的供養甲作物最6倍.4捕金者離開您餌時觀自存在的死亡率。我們將食餌與捕食者分別記作

2、x t，y t，即x't二rx而捕食者的存在使魚餌的增長率減小，設減小程度與捕食者的數量成正比，即x'=xr-ay二rx-ax.同樣對于捕食者y'-d+bx二-dy+bxy我們根據自身的阻滯增長作用.知道存在一定的規律，根據Itea模型|和我們對魚的生長以及捕直的關系的了解+可以建立以下的數學模型：叮二吶1魯n卡X2t=與 146*-守4根據微分方程3和4,解代數方程組;/亦七“貞咗。請卜0可以得到3個平衡點:戸伽，02N/，(6)P3十 1) N仏 j)I 1 + 66又按照判斷平衡點穩定性的方法計算，町以得到:=dct<J)|A,/ = 1,2,3(7>

3、(8)我們可以將3個平衡點p.q的結果及穩定條件匯總，得到柑關的表格表1:表1：平衡點pg的結果及穩定條件平穩點PQ穩定條件p(o,o)_打+尸2一 “2不穩定卩2餡，0打-1)- "S-i)g2 <1rV.D 也-1)*6 + 1)+尸,(6-1)1 4 6702也(6 +1加2-1)12 > 1<L)對 T pt - (0.0)點/一6° I p_/4_灼，廠-他，故P點不穩定。1° -6 丿r(2)對于p,N,0)有-1),g=-r丄(q-i)，所以，豈6弋1吋Pi心穩定*對于巧+1)川肌-1治 ,11 + <7|*72 丿聽(1+巧

4、卅-(9)MQh如)地一 b辺1+巧巧解得心&我業包 廠邊凹色二丄當sJs>砂41 +<T|fl，I1 bOjb? >1時p?點穩定©問題2：惡狼追兔問題設有一只兔子和一只狼，兔子位于狼的正西 100m處。假設兔子與狼同時發現對方，并開始 了一場追逐。兔子往正北 60m處的巢穴跑，而狼那么在其后追趕。假設兔子和狼均以最大速 度勻速奔跑且狼的速度是兔子速度的兩倍。問兔子能否平安回到巢穴。解：設，兔子的速度為v,那么兔子回到家所用時間為 60/v，狼假設想抓住兔子，那么應在兔子回家前完成抓捕，并且應走直線。如圖：那么兔子家那么狼假設恰好在兔子回家瞬間抓住兔子，那

5、么狼所使用的時間為116.6/2V。所以，無論兔子以多快速度回冢都會被狼抓住。但是這是理想化模型，實際模型狼的運動模型應為一條曲線，曲線的切線與y軸點焦點為現在兔子的位置。可得方程組1;Y-y=(dy/dt*dt/dx)(X-x) 2:v*t-y=(dy/dt*dt/dx)*(0-x)其中x，y為曲線上的點，X，Y為切線上的點ill (0 fi fr/ivZsJ* (-X)- vOt -r+t 求導并化簡* Cdx/dt) f Cx) = vO即加創=訂/少砂仙胚7吃低這里去員號是由這個II趕曲線一上亂決定的) 代入(3人 井把vl=2v0代入井化簡得礙恥心f如盤尼 F必這是一個二階微分方程，它滿足 y 100=0令 p=dy/dx ， dp/dx=d2y/dx2 ，代入4，可得：Inp+1+p201/2/2=0.5*lnx+c ，p 100=0,所以 c=-ln10可得 dy/dx=p= x1/2/10-10/x1/2/2