第11章一元一次不等式

熱考題型

知識點1：不等式的概念

知識點5：解一元一次不等式組、

有解無解問題

知識點2：不等式的性質

知識點6：一元一次不等式（組）

的整數解

元一次不等式知識點3：一元一次不等式（組）

的概念

知識點7：用一元一次不等式（組）

解決問題

知識點4：解一元一次不等式

【含構造不等式求解】

考查題型一不等式的概念

例1.以下表達式：①4x+3yW0；②a>3；③/+中；（4）6;2+Z?2=c2；⑤x，5.其中不等式有（）

A.4個B?3個C.2個D?1個

練1.下列式子：①5<7；②2x<3；③awO；④x2-5；⑤3x-l；@-^3；?x=3.其中是不等式的

2

有（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

例2.甲和乙猜一個橘子的質量，甲說：“不少于25克.”乙說：“不夠35克.”若他倆說得都沒錯，則

這個橘子的質量x（元）所在的范圍為（）

A.25<x<35B.25令<35C.25令435D.25<x^35

練2.甲種蔬菜保鮮適宜的溫度是3℃?8℃,乙種蔬菜保鮮適宜的溫度是5℃?10℃,將這兩種蔬菜放在一

起同時保鮮，適宜的溫度是（）

A.3°C~5°CB.3°C~1O°CC.5°C~8°CD.8°C~1O°C

考查題型二不等式的性質

例1.若。>6,則下列不等式正確的是（)

A.3a<3bB.ma>mbC.—a—\>—b—\D.—+1>—+1

22

練1.下列不等式的變形正確的是()

A.若a>b,貝!Jc+Q<c+bB.若a<b,且cw0,則ac<6c

C.若a>b,貝Iac2>be2D.若ac1<be?,貝！

例2.已知x>y,要使機x<叼，則()

A.m<0B.m=0C.m>0D.機為任意數

練2.若x<y,且(a—3)x>(a—3)歹，則。的取值范圍是()

A.a<3B.a>3C.D.a<3

例3.若a<b,則(左2+1)Q(k2+l)b.

練3.用不等號填空，若a>b,則-」a+l」6+i(填“〉”或.

33

例4.根據等式和不等式的基本性質，我們可以得到比較兩數大小的方法：

(1)若a—6>0,則ab；若a-b=0,則ab；若a-b<0,則ab；(填“>"、"="

或“<”)

(2)這種比較大小的方法稱為“求差法”，請嘗試用這種方法比較2f-2x與x2-2x的大小.

練4.【閱讀理解】在比較兩個數或代數式的大小時，解決策略一般是利用“作差法”，即要比較代數式

M、N的大小，只要作出差M-N.若M-N>Q,貝！］M>N；若M-N=Q,則"=N：若M-N<0,

則W<N.

【解決問題】

(1)若a<0,則，一____0(填>、=或<)；

a-\

(2)已知/=——,8=廠-2川,當x<_i時，比較4與工的大小，并說明理由.

x2-lx-1B

考查題型三一元一次不等式(組)的概念

例1.下列各式中是一元一次不等式的是()

A.4x-l>0B.3>-1C.2x-l>y+lD.2o+l<-

a

練1.下列各式：@X2+2>5；?a+b-,③二》23；@x-l；⑤x+2W3.其中是一元一次不等式的有

35

()

A.2個B.3個C.4個D.5個

例2.已知4-(3-<0是關于x的一元一次不等式，貝1|優=.

7

練2.已知（（加+4）”尸+6〉0是關于、的一元一次不等式，貝|」加=

例3.下列各項中，是一元一次不等式組的是（）

5x+2>0

Jx+1>0

A.,2B.

x-1>—b-3>i

(2x>3口卜<2

[%?—%>0[x+2>-1

練3.下列不等式組：①F＞：2,+1<X[x+3>0[x+l>0

②］尤＞：4,③F：，④《，⑤〈

[x<3[x+2>4]廣+2>4[x<-7[y-1<0

其中一元一次不等式組的個數是（)

A.2個B.3個C.4個D.5個

考查題型四解一元一次不等式【含構造不等式求解】

例1.不等式-3（x-1）27-x的解集在數軸上表示正確的是（)

BT()

C.-2（ID.-2o

練1.在數軸上表示不等式了2-1的解集，正確的是（）

A.WS就見威用I

.1則R-Bil、^

D.MBTTIfiftti

例2.解不等式：2二1齊_二,并把它的解集在數軸上表示出來.

64

.』加im耀tfiiww等

淖33感貿翻翻

練2.解不等式x+221l,并在數軸上表示解集.

“愉4HIMFIMIni密

小"』a題也翻第

例3.小明解不等式匕二(匕巫+1的過程如下：

23

解:3(l+x)W2(l+3x)+6,①

3+3xW2+6x+6,②

3x—6x<2+6-3,(§)

-3xW5,④

x<--.⑤

3

其中，小明出現錯誤的一步是()

A.從①到②B.從②到③C.從③到④D.從④到⑤

練3.下面是小穎同學解不等式的過程，請認真閱讀并完成相應任務.

解：去分母得：2(x+2)-3(7-3x)>-24,…第一步

去括號得：2x+4-21-9x2-24,…第二步

移項得：2x-9x2-24-4+21,…第三步

合并同類項得：-7x2-7,…第四步

系數化為1得：xWl.…第五步

任務：

任務一：填空：

①上述解題過程中，第一步是依據—進行變形的；

②第一步開始出現錯誤，這一步錯誤的原因是—；

任務二：請直接寫出該不等式的正確解集；

任務三：除了任務一中出現的錯誤外，請根據平時的學習經驗，就解不等式時還需要注意的事項給其他同

學提一條建議.

例4.已知關于x的不等式的解集為x22,則關于x的不等式2ax+a>b+36x的解集為.

練4-1.已知x=4是關于x的方程fcc+b=O(左20/>0)的解，則關于x的不等式左(X-3)+26>0的解集是

()

A.x>11B.x<11C.x>7D.x<7

練4-2.已知關于x的不等式（2a-b）x+a-5b〉0的解集為％〈了，求關于的不等式辦>6的解集.

【構造不等式求解】

例5.關于x,>的方程組尸=6滿足不等式x-><5,則心的范圍是（）

[x+2y=m

A.m>—9B.m<—9C.m>\D.m<1

練5.已知關于x,y的二元一次方程組I*-2J'=2的解滿足2x-a>>+i,求。的取值范圍.

[x-y=a-l

例6.已知2x—y=4,k=x-y,在3,y>-6,則左的取值范圍為（）

A.k<9B.左<1C.1<左（5D.左<5

練6.閱讀下列材料：

數學問題：已知：x-y=2f且%>1,歹<0，試確定x+y的取值范圍.

問題解法：x-y=2,:.x=y+2,

,/x>1,/.y+2>1,/.y>-\,

??,y<0,/.-l<y<0,①

同理可得：'：x-y=2,y=x-2,

y<0,x-2<0,:.x<2,

,/x>1,1<x<2,②

由②+①得：-l+l<y+x<0+2,/.x+y的取值范圍是0<x+y<2.

完成任務：

（1）直接寫出數學問題中2%+歹的取值范圍：—.

（2）已知x+y=3,且x>2,y>0,試確定x-y的取值范圍；

（3）已知y>l,x<-l,若％->=Q成立，試確定x+y的取值范圍（結果用含Q的式子表示）.

例7.若a、b、c是三個非負數，并且2Q-36+C=5,a-2b+c=4,設相=3Q-6+7C,貝!J機的最小值

為—.

練7.已知a、b、c滿足3a+2b—4c=6,2a+6-3c=l,且a、b、c者B為正數.設y=3a+b—2c,貝!Jy

的取值范圍為（）

A?3<y<24B?0<y<3C.0<y<24D.y<24

考查題型五解一元一次不等式組、有解無解問題

x+522x+3,的解集在數軸上表示正確的是（）

例1.不等式組

3x-2（x-1）>3

朋

D.詢

C.'i

2x+l<3x

練1.一元一次不等式組17的解集在數軸上表示為（）

-x—7<1—x

122

____________J,fjL--------—

InlHi)

A.《霸即下一

3

B.旦1

C.

薯

D.國1「卻凝豳晶

2x+l>3（x-l）

例2.解不等式x+7,并將其解集在數軸上表示出來.

XH----->1

3

x—2

x-2>----

3

練2.解不等式組,并在數軸上表示此不等式組的解集.

X-1.

----44一%

I2

3x42（x+1）,,左力a、1EI

例3.若關于x的一元一次不等式組的斛集為初，則冽的取值范圍為（）

x^m

A.m=2B.加〈2C.m<2D.m>2

練3.已知不等式組c的解集是—2<x<0,則(m+n)2024=()

x+n<2

A.2024B.1C.0D.-1

關一“>°有解，則0的取值范圍是（）

例4.若不等式組

2x一1<3

A.a<\B.a^lC.a<2D.Q<2

練4.關于x的一元一次不等式組[“-5》1有解，則°的取值范圍是（）

\2x+a<8

A.Q》4B.Q>4C.%4D.a<4

a-2<x

例5.若關于x的不等式組x+1無解，則。的取值范圍是（）

A.Q>3B.Q<3C.Q>3D.a<3

練5.已知關于x的不等式組「一3x2T無解，則。的取值范圍是（）

[a-]<0

A.a<2B.Q<2C.a>2D.Q22

考查題型六一元一次不等式（組）的整數解

例1.解不等式：--^^<1,并寫出非正整數解.

23

練若關于…的方程喟Uh的解滿足~6,求機的最小整數值.

2x—l

例2.解不等式組：■3“，并寫出它的所有整數解.

5—2x>2—x

2(1-x)<x+8

練2.解不等式組：3x-2x-1，并寫出它的最大整數解

63

例3.已知不等式2x+a<x+4的正整數解有2個，則a的取值范圍是（)

A.1<a<2B.1<"2C.&破2D.<2

練3.若關于X的不等式2x-a<0的解集中存在正數解，但不存在正整數解，則。的取值范圍是（)

A.0<a<2B?0<Q<2C.0（a<2D.

例4.已知關于x的不等式組2"的最小整數解是3,則實數力的取值范圍是（）

x-4<3（x-2）

A.—3?冽<—2B.—3<機V—2C.—3<冽<—2D.—2<冽V—1

x>a

練4.若關于x的不等式組、一2有3個整數解，則常數a的取值范圍是（）

--------3<-1

[2

A.2<?<3B.2<Q<3C.2<a<3D.2<6z<3

考查題型七用一元一次不等式(組)解決問題

例1.某種商品的進價為80元，出售時標價為120元，后來由于該商品積壓，商店準備打折出售，但要保

證利潤率不低于5%,則至多可打幾折？若設該商品打x折銷售，則可列不等式為()

A.120x^80x5%B.120^-80^80x5%

YV

C.120x—》80x5%D.120X--80^80x5%

1010

練1.寶安鳳凰山森林公園位于“寶安第一山”鳳凰山腳下，公園樹木豐茂，景色優美，所以小青想帶她初

三的表姐去游玩放松釋放壓力，計劃15點10分從學校出發，已知兩地相距5.1千米，她們跑步的平均速

度為190米/分鐘，步行的平均速度為80米/分鐘，若她們要在16點之前到達，那么她們至少需要跑步多

少分鐘？設他跑步的時間為x分鐘，則列出的不等式為()

A.190x+80(50-x)》5100B.190x+80(50-xK5100

C.190x+80(50-x)25.1D.190x+80(50-%K5.1

例2.若一艘輪船沿江水順流航行120初?用時少于3小時，它沿江水逆流航行60加7也用時少于3小時，設

這艘輪船在靜水中的航速為x碗/力，江水的流速為y方"/〃，則根據題意可列不等式組為()

(3x-y<60f3(x+y)>120

A.<D>>

[3x+j/<120[3(x-j;)>60

CJ3(x-^)>120Df3x+j?>60

[3(x+y)>60(3x-y>120

練2.八年級某班級部分同學去植樹，若每人平均植樹7棵，還剩9棵，若每人平均植樹9棵，則有1名同

學植樹的棵數不到8棵.若設同學人數為工人，下列各項能準確的求出同學人數與種植的樹木的數量的是

)

A.7x+9-9(x-l)>0

B.7x+9-9(x-l)<8

7x+9-9(x-l)^0

C.

7x+9-9(x-l)<8

7x+9-9(x-1)20

D.

7x+9-9(x-lK8

例3.超市購進4、8兩種商品，購進4件/種商品比購進5件5種商品少用10兀，購進20件Z種商品

和10件5種商品共用去160元.

(1)求/、8兩種商品每件進價分別是多少元？

（2）若該商店購進工、2兩種商品共200件，都標價10元出售，售出一部分商品后降價促銷，以標價的

八折售完所有剩余商品，以10元售出的商品件數比購進/種商品的件數少30件，該商店此次銷售工、B

兩種商品共獲利不少于640元，求至少購進/種商品多少件？

練3.力量健身器材專賣店某款踏步機原售價100元，現推出三種優惠活動，并規定購買此款踏步機時只能

選擇其中一種優惠活動.

優惠活動一優惠活動二優惠活動三

當購買此款踏步機不超過10按原售價購買此款踏步機，購買陽光健康保險，每購買

個時，無優惠；當購買超過當消費額每滿1000元時減500元保險，則所購踏步機每

10個時，超過的部分每個優200元.（如：購買踏步機個優惠5元，且保險額必須

惠40元.11個，花費為500的整數倍，最多購買