1、解析幾何基本結(jié)論理論 1、設(shè) (,y0)為拋物線 y2，PA、 PB為它的任意兩條弦，P x02 px ( p 0) 上一定點，1，2 分別是PA、 PB 的傾斜角，則（1）當(dāng) tan1 tan2定值 t 時，直線 AB 過定點（ x02 p ,y0）；（2 ） 當(dāng) tan1 tan 2定值 t時，直線 AB 過定點t（ x02y0 ,y02 p ）或有定向 kp ；（ 3）當(dāng)12定值 t 時，直線 AB 過定點tty0（ x02 y0 ,y02 p）或有定向 kp 。tan ttanty02 p證明思路： 設(shè) A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，則 k ABy2y1所以

2、l AB : y y12 p( x x1 )y1 y2化簡： ( y1 y2 ) yy1 y22 px （ * ）（注意：這里，我把( y1y2 )和y1 y2 看成是兩個參數(shù)團，只要找到這兩個參數(shù)團的關(guān)系，從而把兩個參數(shù)團減少為一個，就可以得到定點問題。對于（ 1），我們可以得到下面的過程：k PA k PB2 p2 pty0y1y0y2y0 2y0 ( y1y2 ) y1 y24 p2t下面只需把 y1 y2y2y0 ( y14 p 20y2 )代入（ * ）即可。t對于（ 2），完全可仿照上面過程。對于（ 3），則要麻煩一些。由tanttan( 12 ) （先討論 tan 1 , tan

3、 2 , tan( 12 ) 都存在的情況），知道：2 p2 ptanty0y1y0y22 p(2 y0y1 y2 )2 p2 py0 2y0 ( y1y2 ) y1 y2 4 p 21y1y0y2y0可得這兩個參數(shù)團的關(guān)系。代入（* ）即可。考過的試題。題 1、（ 2005 山東 22）點 A 、B 為拋物線y 22 px （ p0 ）上原點以外的兩個不同的點，直線 OA和OB 的傾斜角分別為1、2 ，當(dāng)1、 2 變化且12 為定值(0)時，證明直線AB 恒過定點。題 2、（ 2005 北京春）過拋物線y 22 pxy（ p0 ）的對稱軸上任一點P(m,0) (m0) 作直線與拋物線交于A,

4、B 兩點。 當(dāng) m2 p 時，求AOB 的大小。BQOPx題 3 、（ 2004 北 京）過拋物線 y 22 pxA（ p0 ）上任一點 P(x0 , y0 ) ( y00) 作兩條直線與拋物線交于A,B 兩點。當(dāng) PA、 PB 的斜率存在且傾斜角互補時，證明直線AB 的斜率是非零常數(shù)。題 4、（2000北京春）點 A、 B 為拋物y線y24 px（ p0 ）上原點以外的兩個動點，已知OAOB， OMAB，求點 M 的B軌跡方程。題 5、（ 2005天津 21）拋物線 C 的方Q OPx程為yax2 (a0) ，過拋物線 C 上一點AP( x0 , y0 ) (x00) 作斜率為 k1 , k

5、2 的兩條直線分別交拋物 線 C 于A(x1 , y1 )、B(x2 , y2 ) 兩 點 （ P、 A、 B 三 點 互 不 相 同 ）， 且 滿 足k 2k1 0(0,1) 。（1）求拋物線 C 的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)直線 AB 上一點 M ，滿足 BMMA ，證明線段 PM 的中點在 y 軸上；（3）當(dāng) =1 時，若點 P 的坐標(biāo)為 (1,1) ，求PAB 為鈍角時點 A 的縱坐標(biāo) y1 的取值范圍。對于橢圓也有類似的結(jié)論，但過于復(fù)雜，下面僅羅列幾條簡單結(jié)論。1、 設(shè)P( x0 , y0 )為橢圓yPA1OA2 xxABx2y 21(a b0) 上一定點，PA 、 PB 為它的任

6、意兩條弦，1，2 分別是a2b 2PA、 PB 的傾斜角，則當(dāng)tan1tan20時，直線 AB 有定向 kb2 x0；a2 y0證明思路：（ 1）求點 A、 B 的坐標(biāo)，設(shè)直線PA 的斜率為 k ，則只需求出A 點的坐標(biāo)，再把其中的 k 換成k 即得 B 的坐標(biāo)。（2）把直線 l PA ： y y0k(xx 2y 21，得關(guān)于 x 的方程，x0 ) 代入橢圓b2a2而這個方程的一個根已經(jīng)知道是xx0 ，則另一個根可由韋達定理求得。以下理論的證明類似。2、 設(shè) P( x0 , y0 ) 為橢圓x 2y 21(ab0) 上一定點， PA、 PB 為它的任意兩條弦，a 2b 21，2 分別是 PA、

7、 PB 的傾斜角，則當(dāng)tan 1 tan 21時，直線AB 過定點2222（ a2b2x0 , a 2b 2 y0 ）；abab3、 設(shè) P( x0 , y0 ) 為橢圓x 2y 21(ab0) 上一定點， PA、 PB 為它的任意兩條弦，a 2b 21，2 分別是 PA、 PB的傾斜角，則當(dāng) tanb2時，直線 AB 有定向（當(dāng) AB1 tan 2a2斜率存在時，有 kABy0 ）；x0x2y 21(a0, b0) 上一定點， PA、 PB 為它的任意兩條4、 設(shè) P( x0 , y0 ) 為雙曲線b2a2弦，1，2 分別是 PA、 PB 的傾斜角，則當(dāng)tan 1 tan20 時，直線 AB

8、 有定向kb2 x0；a2 y0x2y 21(a0, b0) 上一定點，PA、 PB 為它的任意兩條5、 設(shè) P( x0 , y0 ) 為雙曲線b2a2弦，1，2 分別是 PA、 PB 的傾斜角，則當(dāng)tan 1 tan 21時，直線AB 過定點（ a2b 2x 0 ,a 2b 2）；a2b2a2b2y 0x2y 21(a 0, b 0) 上一定點，PA、 PB 為它的任意兩條6、 設(shè) P( x0 , y0 ) 為雙曲線2b2a弦， 1， 2 分別是 PA、 PB 的傾斜角， 則當(dāng) tan 1 tan 2b 2時，直線 AB 有定向a 2（當(dāng) AB 斜率存在時，有k ABy 0x 0理論 2、設(shè)

9、橢圓 x2y21(ab 0) ，兩焦點 F1 ( c,0)、F2 (c,0) ，點 Q 在橢圓上，關(guān)a 2b2于F1QF2 （常稱焦點三角形）有如下性質(zhì)：（1）當(dāng)點 Q 為短軸端點時，F(xiàn)1QF2 達最大。證明思路：記 QF1m,QF2n ，則cosF1QF 2m 2n24c 2( m n) 22mn 4c22mn2mn4b212b212m nmn2()2當(dāng) mn 時取得。（2）過焦點 F1作F1QF2 的外角平分線的垂線，垂足為P ，則 P 點的軌跡方程是x 2y 2a 2 （除去點 (a,0), (a,0) ）（等腰三角形、中位線） （見雙曲線部分的證明）。（3）設(shè) F1QF2 的內(nèi)切圓為圓

10、M ，則 Q 到圓 M 的切線長為定值 ac ；關(guān)于雙曲線： 設(shè)雙曲線 x2y 21(a0,b0) ，兩焦點F1(,0)、F2( ,0) ，點Q在雙a2b 2cc曲線上，關(guān)于F1QF2 有如下性質(zhì)：（ 1） F1QF2 的內(nèi)心記為 M ，則 x 軸于圓 M 切于定點；（ 2）過焦點 F1作 F1QF2 的角平分線的垂線，垂足為 P ，則 P 點的軌跡方程是x2y 2a 2 （除去點 ( a,0), (a,0) ）證明思路： 延長 F1P ，交 QF2 于點 N ，則 QF1QN ，則 NF2 2a，連接 OP ，則|OP| 1 |NF2|a 。2考過的試題：題1、（ 2005遼寧21）已知橢圓

11、 x 2y 21( a b0) 的左、右焦點分別是F1 ( c,0) 與a 2b2F2 (c,0) (c0) ， Q 是橢圓外的動點，滿足|F1Q|2a ，點 P 是線段 F1Q 與該橢圓的交點，點 T 在線段 F2 Q 上，并且滿足PT TF20,|TF2 | 0。（1）設(shè) x 為點 P 的橫坐標(biāo)，證明| F1 P | ac x ；（2）求點 T 的軌跡 C 的方程；a（3）試問：在點 T 的軌跡 C 上，是否存在點M ，使F1MF2 的面積 Sb2，若存在，求F1 MF2 的正切值；若不存在，請說明理由。題2 、（ 2004全國IV 卷21）設(shè)橢圓x 2y21 的兩個焦點是 F1 (c,0) 與 F2 (c,0)m1(c0) ，且橢圓上存在點12垂直。（ 1）求實數(shù)m的取值范圍；P ，使得直線 PF與直線 PF（2）設(shè) L 是相應(yīng)于焦點 F2| QF2|2 3，求直的準(zhǔn)線，直線 PF2 與 L 相交于點 Q ，若| PF2線 PF2 的方程。理論 3、設(shè) F 為圓錐曲線焦點， 其相應(yīng)準(zhǔn)線為 l ，作一直線交圓錐曲線于 A、P 兩點，交 l 于 M ，則 FM 平分 AFP （或其外角） 。lMyPAFxxO推論1、設(shè)過圓錐曲線焦點F 作一直線與圓錐曲線相交于P、 Q 兩點， A 為圓錐