1、教教 師師： 馮馮 弢弢辦公室辦公室： 7104Email : 1.1 矩陣及其運算矩陣及其運算 1.1.1. 矩陣的概念矩陣的概念 1.1.2. 矩陣的線性運算矩陣的線性運算 1.1.3. 矩陣的乘法矩陣的乘法 1.1.4. 矩陣的轉置矩陣的轉置132 yx054 yx13221 xx05421 xx1.1.1 矩陣的概念矩陣的概念231450A矩陣概念的引入矩陣概念的引入 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 線性方程組線性方程組的解取決于的解取決于 , 2 , 1;, 2 , 1njmiaij 系數系數 mibi, 2 ,

2、 1 常數項常數項 mmnmmnnbaaabaaabaaa21222221111211對線性方程組的研究可轉化為對這張對線性方程組的研究可轉化為對這張表表的研究的研究. .線性方程組的系數與常數項按線性方程組的系數與常數項按原位置原位置可排為表可排為表, 212222111211 mnmmnnaaaaaaaaaA記作記作簡記為簡記為 nmijaA nmA 或或), 2 , 1;, 2 , 1( njmianmij 個個數數由由列列的的數數表表，行行排排成成的的nm.列矩陣列矩陣行行稱為稱為nm.矩陣矩陣簡稱簡稱nm 矩陣是一張矩陣是一張 數表數表 (table). .列列元元素素行行第第表表示

3、示第第jiaij定義定義(matrix)132 yx054 yx 5432A 054132A可以建立線性方程組與矩陣的可以建立線性方程組與矩陣的一一對應一一對應：系數矩陣；系數矩陣；稱為方程組的稱為方程組的(coefficient matrix)稱為方程組的稱為方程組的增廣矩陣增廣矩陣.(augmented matrix)例例 (價格矩陣價格矩陣)四種食品四種食品(Food)在三家商店在三家商店(Shop)中中,單位量的單位量的售價售價( (以某種貨幣單位計以某種貨幣單位計) )可用以下矩陣給出可用以下矩陣給出 1915818191391521117171F2F3F4F1S2S3S例例 某航空

4、公司在某航空公司在A,B,C,D四城市之間開辟了若四城市之間開辟了若干航線干航線 ,如圖所示表示了四城市間的航班圖如圖所示表示了四城市間的航班圖,如果如果從從A到到B有航班有航班,則用帶箭頭的線連接則用帶箭頭的線連接 A 與與B.ABCD發站發站到站到站ABCDABCD四城市間的航班圖情四城市間的航班圖情況常用表格來表示況常用表格來表示: :其中其中 表示有航班表示有航班. .1111111000000000此數表反映了四城市間交通聯接情況此數表反映了四城市間交通聯接情況. .為了便于計算為了便于計算, ,把表中的把表中的 改成改成1,空白地方填上空白地方填上0,就得到一個數表就得到一個數表:

5、ABCDABCD實矩陣實矩陣 (real matrix) 元素是實數元素是實數.復矩陣復矩陣 (complex matrix) 元素是復數元素是復數.例如例如 34695301是一個是一個 實矩陣實矩陣,42 2222222613i是一個是一個 復矩陣復矩陣,33 一些特殊的矩陣一些特殊的矩陣 9532是一個是一個 矩陣矩陣,41 4是一個是一個 矩陣矩陣.11 jiaAij2 54 ，其元素矩陣例：試寫出 421是一個是一個 矩陣矩陣,13 34567123451012332101Ai=1,2,3,4j=1,2,3,4,5不同階數的零矩陣是不相等的不同階數的零矩陣是不相等的.零矩陣零矩陣元素

6、全為零的矩陣稱為零矩陣元素全為零的矩陣稱為零矩陣， 零矩陣記作零矩陣記作 或或 . .nm nmOo.O,O 0000001222如如 ( (zero matrix) )行矩陣行矩陣列矩陣列矩陣方陣方陣只有一行的矩陣只有一行的矩陣 ,21naaaA ,21 naaaB只有一列的矩陣只有一列的矩陣行數與列數都等于行數與列數都等于 的矩陣的矩陣，稱為稱為 階階nn.nA方方陣陣. 也可記作也可記作(row matrix)(column matrix)(square matrix)對角矩陣對角矩陣)diag(22112211nnnna,.,a,aaaaA aii 稱為稱為主主對角元對角元.)1, 2

7、diag(1002 A如如不全為不全為0(diagonal matrix)單位矩陣單位矩陣nnnI 111記作記作 方陣，主對角元素全為方陣，主對角元素全為1，其余元素都為零，其余元素都為零. IIn或或)1,.,1 , 1diag( (identiy matrix)上三角上三角矩陣矩陣形如形如 的方陣的方陣. . nnnnaaaaaa00022211211下三角下三角矩陣矩陣形如形如 的方陣的方陣. . nnnnaaaaaa21222111000(upper triangular matrix)(lower triangular matrix)同型矩陣同型矩陣：nmnmB,A A與與B相等相

8、等：njmibabBaAijijijij,.,1;,.,1,)()( 同同型型，且且與與記為記為 A = B.例如例如 9348314736521與與為為同型矩陣同型矩陣.1.1.2 矩陣的線性運算矩陣的線性運算例例 設設,131,213321 zyxBA.,zyxBA求求已已知知 解解,BA . 2, 3, 2 zyx加法加法：).(ijijbaBABA 同型，定義同型，定義與與 mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111即即.111112不不能能相相加加與與例例如如， BA注意注意：對于同型矩陣加法才有意義對于同型矩陣加

9、法才有意義.例例如如 221112010011211101減法減法負矩陣負矩陣 mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211 ija .負矩陣負矩陣的的稱為矩陣稱為矩陣A)()(對應元素相減對應元素相減BABA OBABA 矩陣矩陣加法加法滿足的運算規律滿足的運算規律.) 1 (ABBA 交換律：交換律：).()( )2(CBACBA 結結合合律律：.)()4(OAA .,)3(是是同同型型矩矩陣陣與與其其中中OAAOA )(ijkakA 204210212),() 1(ijaAA例，.)(112222111211 mnmmnnijkakakakakakakakakakakA即即數

10、乘數乘 ;)2(AA ;)3(AAA ;)4(BABA 矩陣矩陣數乘數乘滿足的運算規律滿足的運算規律矩陣矩陣加法加法與與數乘數乘運算合起來運算合起來, 統稱為矩陣的統稱為矩陣的線性運算線性運算.設設 為為 矩陣矩陣， 為數為數 ,nm BA、結合律結合律分配律分配律 AA 1 )1(引例引例兩個工廠生產甲兩個工廠生產甲,乙乙,丙三種產品丙三種產品.矩陣矩陣A表示一年中各工廠生產每種產品的數量表示一年中各工廠生產每種產品的數量, 矩陣矩陣B表示每種產品的單位價格及單位利潤表示每種產品的單位價格及單位利潤, 矩陣矩陣C表示各工廠的總收入和總利潤表示各工廠的總收入和總利潤.某地有某地有21, 232

11、221131211aaaaaaA 323122211211bbbbbbB12甲甲乙乙丙丙甲甲乙乙丙丙 22211211ccccC12總收入總收入總利潤總利潤單位單位價格價格單位單位利潤利潤1.1.3 矩陣的乘法矩陣的乘法 322322221221312321221121321322121211311321121111babababababababababababa 22211211cccc其中其中)2 , 1,(332211 jibababacjijijiij矩陣的乘法矩陣的乘法nmijnmnttmcCBA )(其中其中 skkjiksjisjijiijbabababac12211 , 2 ,

12、 1;, 2 , 1njmi 例例222263422142 C22 16 32 816?乘積中的乘積中的第第i i行第行第j j列列元元 = = 第一個矩陣的第一個矩陣的第第i i行行元元素與第二個矩陣的素與第二個矩陣的第第j j列列元素對應乘積之和元素對應乘積之和. .例例設設225225,223162AMN 解解,) .MN A MNMN A 求求( (, ,( (2222AB 3333 0000 12121212 BA 3333 22223333 52253162BMN 例例 106861985123321不存在不存在. .只有當只有當第一個矩陣的第一個矩陣的列數列數等于等于第二個矩陣的

13、第二個矩陣的行數行數時，兩個矩陣才能相乘時，兩個矩陣才能相乘. .矩陣的乘法矩陣的乘法nmijnmnttmcCBA )(其中其中 skkjiksjisjijiijbabababac12211 , 2 , 1;, 2 , 1njmi 乘積中的乘積中的第第i i行第行第j j列列元元 = = 第一個矩陣的第一個矩陣的第第i i行行元元素與第二個矩陣的素與第二個矩陣的第第j j列列元素對應乘積之和元素對應乘積之和. .只有當只有當第一個矩陣的第一個矩陣的列數列數等于等于第二個矩陣的第二個矩陣的行數行數時，兩個矩陣才能相乘時，兩個矩陣才能相乘. .乘積的行數乘積的行數 = = 第一個矩陣的行數第一個矩

14、陣的行數乘積的列數乘積的列數 = = 第二個矩陣的列數第二個矩陣的列數令令則上述方程組可用矩陣表示為則上述方程組可用矩陣表示為 AX = b . mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111,212222111211 mnmmnnaaaaaaaaaA,21 nxxxX.21 mbbbb 對于對于n元線性方程組元線性方程組例例例例(線性變換線性變換) nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay22112222121212121111n個變量個變量nxxx,21與與m個變量個變量myyy,21之間的之間的關系式關系式表示

15、從變量表示從變量nxxx,21到變量到變量myyy,21的的 線性變換線性變換.其中其中ija為常數為常數,.)(稱稱為為系系數數矩矩陣陣nmijaA ,XYIA 則則若若稱為稱為 恒等變換恒等變換.YAX 解解 ),.,(2121nnbbbaaaAB nnaaabbbBA2121),.,( nnnnnnbababababababababa212221212111)(2211nnababab.,).,.,(,2121BAABbbbBaaaAnn求求設設 例例1 122nnbab ab a矩陣乘法滿足的運算規律矩陣乘法滿足的運算規律);()( ) 1 (BCACAB 結結合合律律,)()2(AC

16、ABCBA 分分配配律律;)(CABAACB )()()()3(BABAAB 數乘結合律數乘結合律（其中其中 為數為數） AAIAIA ，單位矩陣的乘法) 4(注意注意(1) 矩陣乘法矩陣乘法不滿足不滿足交換律交換律，即，即.BAAB (2) 兩個兩個非零非零矩陣的乘積可能是矩陣的乘積可能是零零矩陣矩陣.例例 設設,1111 A 1111B則則,0000 AB,2222 BA.BAAB 故故例例 設設,4221 A,1231 B則則,101055 ACAB., 0CBA 且且但但(3) 矩陣乘法矩陣乘法不滿足不滿足消去律消去律，即，即 2117C,ACAB 不能推出不能推出.CB OA ,OA

17、B特別：OA 不能推出不能推出.OB 方陣的冪方陣的冪 AA1定義定義為正整數，為正整數，階方陣，階方陣，為為設設knAmkkmkmkmAAAAAkm )(, 為正整數，為正整數，設設AAAkk 1相相乘乘個個A1 k易證易證;)(kkkBAAB,時時當當BAAB ,時時當當BAAB .)(kkkBAAB .)( kkkBAABABABAB 注意注意kkkBAAB ）（一一般般，方陣的多項式方陣的多項式01)(axaxaxfkk 設設的多項式的多項式為為x設有多項式設有多項式 f (x), g(x), A, B 為為n階方陣，則階方陣，則 f(A) g(A) = g(A) f (A).但是但是

18、，一般一般 ).()()()(AfBfBfAf 階方陣，則階方陣，則是是nA.次次多多項項式式的的稱稱為為kA0111)(aAaAaAaAfkkkk IIAIAIAIAAIA 222)(2）（22222)(2BABABABABABA ）（一般，一般，但是但是定義定義（轉置轉置），設設 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211.212221212111的的轉轉置置為為稱稱AaaaaaaaaaAmnnnmm T T1.1.4 矩陣的轉置矩陣的轉置(transpose)矩矩陣陣，為為若若nmA .矩矩陣陣為為則則mnAT (把把A的的行行換成同序數的換成同序數的列列得到的新矩陣得到的

19、新矩陣)例例,854221 A;825241T TA ,618 B. 618T TB矩陣轉置的性質矩陣轉置的性質 ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB TkAAA21推論推論TTTkAAA12 例例 已知已知,102324171,231102 BA .TAB求求解解 102324171231102AB,1013173140 .1031314170 TAB法法1法法2 TTTABAB 213012131027241.1031314170 ,102324171,231102 BA對稱對稱矩陣與矩陣與反對稱反對稱矩陣矩陣定義定義設設A為為n階方陣階方陣，如果滿足如果滿足

20、 ，即即TAA njiaajiij, 2 , 1, .6010861612為為對對稱稱矩矩陣陣例例如如 A.,稱稱為為反反對對稱稱矩矩陣陣則則矩矩陣陣如如果果AAAT 對稱矩陣以對稱矩陣以主對角線主對角線為對稱軸為對稱軸 對應元素相等對應元素相等.001006160為為反反對對稱稱矩矩陣陣 A那末那末A稱為稱為對稱矩陣對稱矩陣.,0 iia即即jiaajiij ,. ,)2(都是對稱矩陣和證明設TTnmBBBBB陣陣？反反對對稱稱矩矩陣陣？下下列列矩矩陣陣是是否否是是對對稱稱矩矩)1(， 021203130， 501001112 013102322證證 (BBT)T = (BT)TBT = BBT .證證 T T)(BAABT TT TT TT TT TT TBAABBAAB )()(BAAB)()( . ）（BAAB .,)3(階反對稱矩陣是證明nBAABBBBAAATnnTnn）（ABBA問題問題 數乘對稱矩陣是否仍為對稱矩陣？數乘對稱矩陣是否仍為對稱矩陣？同型對稱矩陣之和是否仍為對稱矩陣？同型對稱矩陣之和是否仍為對稱矩陣？同型對