1、2003 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試卷第一試（4 月 13 日上午 8:309:30）17 - 12 2一、選擇題（本題滿分 42 分，每小題 7 分）3 - 2 21. 2+等于（）A. 5 - 4 2B. 4 2 - 1C.5D.12.在凸 10 邊形的所有內(nèi)角中，銳角的個(gè)數(shù)最多是（）A.0B.1C.3D.5x3.若函數(shù) y = kx(k > 0) 與函數(shù) y = 1 的圖象相交于 A，C 兩點(diǎn)，AB 垂直 x 軸于 B，則ABC 的面積為（）A.1B.2C.kD. k 24.滿足等式 x y +xy -2003x -+= 2003 的正整數(shù)對(duì)( x，y ) 的個(gè)數(shù)（）2003y200

2、3xyA.1B.2C.3D.45.設(shè)ABC 的面積為 1，D 是邊 AB 上一點(diǎn)，且 AD = 1 若在邊 AC 上取一點(diǎn) E，AB3使四邊形 DECB 的面積為 3 ，則 CE 的值為（）A. 12B. 134C. 14EAE5D. 1DC6.如圖，在ABCD 中，過(guò) A，B，C 三點(diǎn)的圓交 AD 于 E，且與 CD 相切若 AB=4，BE=5，則 DE 的長(zhǎng)為（）ABA.3B.4C. 15 4D. 165二、填空題（本題滿分 28 分，每小題 7 分）1.拋物線 y = ax2 + bx + c 與 x 軸交于 A，B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) C若ABC 是直角三角形，則 ac= 2. 設(shè)

3、 m 是整數(shù)，且方程 3x2 + mx - 2 = 0 的兩根都大于 - 95而小于 3 ，則 7AC BDB 'm= E3.如圖， AA' ， BB ' 分別是EAB，DBC 的平分線若 AA' = BB ' = AB ，則BAC 的度數(shù)為 A'4.已知正整數(shù) a，b 之差為 120，它們的最小公倍數(shù)是其最大公約數(shù)的 105 倍，那么 a，b 中較大的數(shù)是 第二試（A）一、（本題滿分 20 分）試求出這樣的四位數(shù)，它的前兩位數(shù)字與后兩位數(shù)字分別組成的二位數(shù)之和的平方，恰好等于這個(gè)四位數(shù)二、（本題滿分 25 分）在ABC 中，D 為 AB 的中點(diǎn)

4、，分別延長(zhǎng) CA，CB 到點(diǎn) E， F，使 DE=DF；過(guò) E，F(xiàn) 分別作 CA，CB 的垂線，相交于 P設(shè)線段 PA，PB 的中點(diǎn)分別為 M，N求證：DEMDFN；PAE=PBF三、（本題滿分 25 分）已知實(shí)數(shù) a，b，c，d 互不相等，且a + 1 = b + 1 = c + 1 = d + 1 = x ，bcda試求 x 的值第二試（B）一、（本題滿分 20 分）試求出這樣的四位數(shù)，它的前兩位數(shù)字與后兩位數(shù)字分別組成的二位數(shù)之和的平方，恰好等于這個(gè)四位數(shù)二、（本題滿分 25 分）在ABC 中，D 為 AB 的中點(diǎn)，分別延長(zhǎng) CA，CB 到點(diǎn) E， F，使 DE=DF；過(guò) E，F(xiàn) 分別作

5、 CA，CB 的垂線，相交于 P求證：PAE=PBF 三、（本題滿分 25 分）已知四邊形 ABCD 的面積為 32，AB，CD，AC 的長(zhǎng)都是整數(shù)，且它們的和為 16這樣的四邊形有幾個(gè)？求這樣的四邊形邊長(zhǎng)的平方和的最小值第二試（C）一、（本題滿分 20 分）已知實(shí)數(shù) a，b，c，d 互不相等，且a + 1 = b + 1 = c + 1 = d + 1 = x ，bcda試求 x 的值二、（本題滿分 25 分）在ABC 中，D 為 AB 的中點(diǎn)，分別延長(zhǎng) AC，BC 到點(diǎn) E， F，使 DE=DF；過(guò) E，F(xiàn) 分別作 AC，BC 的垂線，相交于 P求證：PAE=PBF 三、（本題滿分 25

6、分）已知四邊形 ABCD 的面積為 32，AB，CD，AC 的長(zhǎng)都是整數(shù)，且它們的和為 16這樣的四邊形有幾個(gè)？求這樣的四邊形邊長(zhǎng)的平方和的最小值一、選擇題1、(D)；2、(C)；2003 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試卷答案第一試由于任何凸多邊形的外角之和都是 360º，故外角中鈍角的個(gè)數(shù)不超過(guò) 3 個(gè)，即內(nèi)角中銳角最多不超過(guò) 3 個(gè)。3、(A)；設(shè) A( x, y )，則 xy = 1，故S因此， SABC = 2 ´ SABO = 14、(B)；ABO= 1 xy = 1 。又因?yàn)锳BO 與CBO 同底等高，22xy由已知等式可得(-2003)(+2003) = 0xyxy20

7、03xy2003而+> 0 ，所以，-= 0 。故 xy = 2003x = 1x = 2003又因?yàn)?2003 為質(zhì)數(shù)，必有 y = 2003 或 y = 15、(B)；如圖，連結(jié) BE ， SADE= 1- 3 = 144A，設(shè) CE = x ，則 EDACCBS= 1- x 。S= 1- x = 1 , x = 1 。故 CE = 1ABE6、(D)；ADE344EA3CD如圖，連結(jié) AC、CE。E由 AEBC，知四邊形 ABCE 是等腰梯形。故 ACBE5。又因?yàn)?DCAB，DC 與圓相切，所以，BACACDBAABC。 則 ACBCAD5，DCAB4因?yàn)?DC22=DC16AD

8、 × DE ，故 DE =AD5二、填空題1、1；設(shè) A (x , 0), B(x , 0) 。由ABC 是直角三角形可知 x , x 必異號(hào)。則 x x = c < 012121 2 a由射影定理知 OC 2 =AO × BO ，即c2 = x × x= c ；故 ac = 1, ac = -12、4；9 29 12a3´ - 5 + m ´ - 5 - 2 >0 813由題設(shè)可知， , 解得3< m < 4。故m = 4 3 2 3 21453´+ m ´ - 2 > 03、12º

9、； 7 7 設(shè)BAC 的度數(shù)為 x ,因 AB = BB '，故 B ' BD = 2x, ÐCBD = 4x 又 AB = AA '，則 AA ' B = ÐABA ' CBD 4 x 。因?yàn)?A ' AB = 1 (180°- x)2故 1 (180°- x) + 4x + 4x = 180° ，解得 x = 12 º24、225；設(shè)( a, b ) d ，且a = md ，b = nd ，其中m > n ， m 與n 互質(zhì)。于是a, b 的最md - nd = 120小公倍數(shù)

10、為mnd 。依題意有 mnd，即= 105(m - n)d = 23 ´ 3´ 5(1)mn = 3´ 5´ 7(2) d又m > n ，據(jù)式(2)可得m = 105 m = 35 m = 21 m = 15n = 1n = 3n = 5n = 7m = 15根據(jù)式(1)，只能取n = 7 ，可求得d = 15故兩個(gè)數(shù)中較大的數(shù)是md = 225 。第二試(A 卷)一、解：設(shè)前后兩個(gè)二位數(shù)分別為 x, y ，10 £ x, y £ 99有(x + y)2 = 100x + y ；即 x2 + 2( y - 50)x + ( y2

11、 - y) = 0當(dāng) 4( y - 50)2 - 4( y2 - y) = 4(2500 - 99 y) ³ 02500 - 99 y即2500 - 99 y ³ 0 ，則 y £ 25 時(shí)，方程有實(shí)數(shù)解 x = 50 - y ±由于2500y 必為完全平方數(shù)，而完全平方數(shù)的未位數(shù)字僅可能為 0，1，4，5，6，9，故 y 僅可取 25；此時(shí)， x = 30 或= 20故所求四位數(shù)為 2025 或 3025C二、(1)如圖，據(jù)題設(shè)可知，DMBN，DMBN，DNAM，BDDNAM, 故AMDBNDFNMAE因?yàn)?M、N 分別是 RtAEP 和 RtBFP

12、斜邊的中點(diǎn)， 所以，EMAMDN，F(xiàn)NBNDMP又已知 DEDF，故DEMFDN(2)由上述三角形全等可知EMDFND，則AMEBNF, 而AME、BNF 均為等腰三角形，所以，PAEPBF.三、解：由已知有a + 1 = x； b + 1 = x； c + 1 = x； d + 1 = xbcda由式解出b =1x - a式代入式得c =x - ax2 - ax -1將式代入得x - ax2 - ax -1+ 1 = x d即dx3 - (ad +1)x2 - (2d - a)x + ad +1 = 0由式得ad + 1 = ax ，代入式得(d - a)(x3 - 2x) = 0由已知d

13、- a ¹ 0 ，故 x3 - 2x = 02若 x = 0 ，則由式可得a = c ，矛盾。故有 x2 = 2, x = ±第二試(B 卷)一、同(A 卷)第一題的解答。二、如圖，分別取 AP、BP 的中點(diǎn) M、N。連結(jié) EM、DM、FN、DN。由 D 是CAB 的中點(diǎn)，則BDDMBN，DMBN，DNAM，DNAM。故AMDFABND。NPME又因?yàn)?M、N 分別是 RtAEP、RtBFP 斜邊的中點(diǎn)，所以，EMAMDN，F(xiàn)NBNDM。因?yàn)?DEDF，則DEMFDN故EMDFND，從而，AMEBNF而AME、BNF 均為等腰三角形，故PAEPBFh2lh1BaA三、(1)

14、如圖，記 ABa，CDb，AC l ，并設(shè)ABC 的邊 AB 上的高為h1 ，ADC 的邊 DC 上的高為h2 。CbD則S= S+ S 1 (h a + h b) £ 1 l(a + b)四邊形ABCDABCADC 2122僅當(dāng)h1 = h2 = l 時(shí)等號(hào)成立。即在四邊形 ABCD 中，當(dāng) ACAB，ACCD時(shí)等號(hào)成立。由已知可得64 £ l(a + b)又由題設(shè)a + b = 16 - l ，可得64 £ l(16 - l) = 64 - (l - 8)2 £ 64于是， l = 8, a + b = 8 ，且這時(shí) ACAB，ACCD因此，這樣的四邊形有如下 4 個(gè)：a = 1, b = 7 ， l = 8; a = 2,b = 6, l = 8a = 3, b = 5, l = 8; a = b = 4, l = 8它們都是以 AC