1、精品教案2.2復數的乘法與除法目標、知重點1.掌握復數代數形式的乘法和除法運算.2.理解復數乘法的交換律、結合律和乘法對加法的分配律.3.理解共軛復數的概念可編輯1 .復數的乘法法則設zi=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,dCR),貝Uziz2=(a+bi)(c+di)=(acbd)+(ad+bc)i.2 .復數乘法的運算律對任意復數Z1、Z2、Z3CC,有交換律ziz2=z2zi結合律(ziz2)z-3=zi22z3)乘法對加法的分配律zi(z2+z3)=ziz2+ziz33 .共軻復數z的共軻復數如果兩個復數滿足實部相等，虛部互為相反數時，稱這兩個復數為共斬復數,用z表示.即z=a+

2、bi,則z=a-bi.4 .復數的除法法則zia+bi則一=z2 c+di設zi=a+bi,Z2=c+di(c+di豐0),ac+bdbcadc2+d2+c2+d2i.情境導學我們學習過實數的乘法運算及運算律，那么復數的乘法如何進行運算，復數的乘法滿足運算律嗎？探究點一復數乘除法的運算思考1怎樣進行復數的乘法？答兩個復數相乘，類似于兩個多項式相乘，只要把已得結果中的i2換成1，并且把實部與虛部分別合并即可思考2復數的乘法與多項式的乘法有何不同？答復數的乘法與多項式乘法是類似的，有一點不同即必須在所得結果中把i2換成1.例1計算：(1)(12i)(34i)(2i)；(2)(34i)(34i)；(

3、3)(1i)2.解(1)(12i)(3+4i)(2+i)=(112i)(2+i)=20+15i;(2)(3+4i)(3-4i)=32-(4i)2=9-(-16)=25;(3)(1+i)2=1+2i+i2=2i.反思與感悟復數的乘法可以按多項式的乘法法則進行，注意選用恰當的乘法公式進行簡便運算，例如平方差公式、完全平方公式等跟蹤訓練1計算：(1)(2i)(2i)；(2)(12i)2.解(1)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(-1)=5;精品教案可編輯(2)(1+2i)2=1+4i+(2i)2=1+4i+4i2=3+4i.思考3如何理解復數的除法運算法則？答復數的除法先寫成分式的形式，再把分母

4、實數化（方法是分母與分子同時乘以分母的共軻復數，若分母是純虛數，則只需同時乘以i）.4-3i4+3i例2計算：(1)+;4+3i4-3i解4-3i2原式=+4+3i4-3i4+3i24-3i4+3i16924i169+24i42+32+42+32724i7+24i14+=一2525251+i2(2)方法一原式=26+-/6+2i+3i-/6=i6+4=-1+i.5方法二（技巧解法）1+i2/+必i/+立ii八工2+5ii+V2+V3i1+i.反思與感悟復數的除法是分子、分母同乘以分母的共軻復數.跟蹤訓練2計算：（1）J三；（2）1+i.2+i.3+4i-i7+i7+i34i2525i解（1）3

5、+4i3+4i3-4i251一i.1+i2+i(2)：3+i3+i-i=一13i.ii-i探究點二共軻復數及其應用思考1像3+4i和3-4i這樣的兩個復數我們稱為互為共軻復數，那么如何定義共軻復數呢？答一般地，當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫作互為共軻復數.通常記復數z的共軻復數為z.虛部不等于0的兩個共軻復數也叫作共軻虛數.思考2復數a+bi的共軻復數如何表示？這兩個復數之積是實數還是虛數?答復數a+bi的共軻復數可表示為a-bi,由于(a+bi)aYbi)=a2+b2,所以兩個共軻復數之積為實數.思考3共軻復數有哪些性質，這些性質有什么作用？答(1)在復平面上，兩個共軻

6、復數對應的點關于實軸對稱.(2)實數的共軻復數是它本身，即z=z?zCR,利用這個性質可證明一個復數為實數.(3)若zwo且z+z=0,則z為純虛數，利用這個性質，可證明一個復數為純虛數.思考4zz與憶|2和|z|2有什么關系？答z-z=|z|2=|z|2.例3已知復數z滿足|z|=1,且(3+4i)z是純虛數，求z的共軻復數z.解設z=a+bi(a,bR),則z=abi且|z|=a2+b2=1,即a2+b2=1.因為(3+4i)z=(3+4i)(a+bi)=(3a-4b)+(3b+4a)i,而(3+4i)z是純虛數,所以3a4b=0,JeL3b+4aw0.4a=5，由聯立，解得或35，所以z

7、=4-3i,或z=-4+3i.5555反思與感悟本題使用了復數問題實數化思想，運用待定系數法，化解了問題的難點.跟蹤訓練3已知復數z滿足：zz+2iz=8+6i,求復數z的實部與虛部的和.解設z=a+bi(a,beR),則z-z=a2+b2,-a-|-b-|-2i(a+bi)=8+6i,即a2+b22b+2ai=8+6i,a2+b22b=8a=3,解得2a=6b=1a+b=4,.復數z的實部與虛部的和是4.1 .設復數z滿足iz=1,其中i為虛數單位，則z等于（）A.iB.iC.1D.1答案A解析z=-=i.i2.已知集合M=1,2,zi,i為虛數單位，N=3,4,MAN=4,則復數z等于（A

8、.2iB.2iC.-4iD.4i答案C解析由MAN=4得zi=4,z=4i.ii-23.復數1 +2i(A.iB.-iC.iD.-4-+35555答案A4.復數z=2Yj（i為虛數單位）在復平面內對應的點所在象限為（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案D解析因為z=2i=2一=3-i,故復數z對應的點在第四象限，選D.2+i55呈重點、現規律1 .復數代數形式的乘除運算(1)復數代數形式的乘法類似于多項式乘以多項式，復數的乘法滿足交換律、結合律以及乘法對加法的分配律.(2)在進行復數代數形式的除法運算時，通常先將除法寫成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共軻復數，化簡后可

9、得，類似于以前學習的分母有理化.2 .共軻復數的性質可以用來解決一些復數問題.3 .復數問題實數化思想.復數問題實數化是解決復數問題的基本思想方法，其橋梁是設復數z=a+bi(a,beR),利用復數相等的充要條件轉化.、基礎過關1 .復數i+等于（）i1A.2iBi2C.0D.2i答案A解析i+1=i'=-2i,選A.ii11112. i為虛數單位，等于(A.0B2iC.2iD.4i答案A解析一=-i,T=i,T=-i,=i,ii解析-2 = t+ i, ，z2=t i.Z1 Z2 = (3+4i)(t-i) = 3t + 4 + (4t-3)i ,又,Z1 z2 e r - 4t3=

10、0, t-t=.i5i71111.-+T+T+-=0.i3i5i73.若a,bCR,i為虛數單位，且（a+i）i=b+i,則（A.a=1,b=1B.a=1,b=1C.a=1,b=1D.a=1,b=1答案Db=1解析a+i)i=-1+ai=b+i,a=14.在復平面內，復數=+（1+、/3i）2對應的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案B解析7T+（1+V3i）2=£+£i+（2+231）=-+（2f3+2）i,對應點（3,23+1）在第二象限.5.設復數z的共軻復數是z,若復數Z1=3+4i,Z2=t+i,且Z1Z2是實數，則實數t=6.若1+2i

11、z=,則復數i答案解析zT=2i,iz=2+i. ,；2 也 )2 010 ；2 + 2i2解不LG)2 0102+2i2i2+(_)1 005，2i，7計算：(1)2+：12+(1i(2)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i).1=i(1+i)+(-)1005=-1+i+(i)1005i=1+ii=-1.(2)原式=(4i)(62i)+(7i)(43i)=22-14i+2525i=4739i.二、能力提升8.設復數z滿足(1i)z=2i,則z等于()A.1+iB.1iC.1+iD.1i答案A2i2i1+i解析由已知得z=1i=1i1+.-=1+i.9.復數z滿足(z3)(2-

12、i)=5(i為虛數單位)，則z的共軻復數z為()A.2+iB.2-iC.5+iD.5-i答案D5解析由(z3)(2i)=5得，z-3=2i=2+i,，z=5+i,z=5i.10 .設復數i滿足i(z+1)=3+2i(i為虛數單位)，則z的實部是答案1解析由i(z+1)=-3+2i得到z=3+1=2+3i1=1+3i.i11 .已知復數z滿足（1+2i）z=4+3i,求z及=.z解因為(1+2i)z=4+3i,所以z=4=4+3i1-2i=2-i,故T=2+i.1+2i52-i23-4i34所以=z=i.5555一一1012 .已知復數z的共軻復數為z,且z2-3iz=",求z.解z=a+bi(a,bR),貝Uz=abi.10又zz3iz=,1-3i101+3i，a2+b2-3i(a+bi)=10，a2+b2+3b3ai=1+3i,a2+b2+3b=1,a=-1,-3a=3.b=0,，z=1,或z=13i.三、探究與拓展13.已