1、精品教案【創新設計】2016-2017學年高中數學第二章推理與證明2.3數學歸納法課時作業新人教版選修2-2【明目標、知重點11 .了解數學歸納法的原理.2 .能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題.填要點記疑點1 .數學歸納法證明一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行：(歸納奠基)證明當n取第一個值n0(n0CN*)時命題成立；(歸納遞推)假設當n=k(k>n0,kCN*)時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立.2 .應用數學歸納法時特別注意：(1)用數學歸納法證明的對象是與正整數n有關的命題.(2)在用數學歸納法證明中，兩個基本步驟缺一不可.步驟的證明必須以“假設當n=k(k&g

2、t;n0,keN*)時命題成立”為條件.探要點究所然情境導學多米諾骨牌游戲是一種用木制、骨制或塑料制成的長方形骨牌，玩時將骨牌按一定間距排列成行，保證任意兩相鄰的兩塊骨牌，若前一塊骨牌倒下，則一定導致后一塊骨牌倒下.只要推倒第一塊骨牌，就必然導致第二塊骨牌倒下；而第二塊骨牌倒下，就必然導致第三塊骨牌倒下，最后不論有多少塊骨牌都能全部倒下.請同學們思考所有的骨牌都一一倒下蘊涵怎樣的原理？探究點一數學歸納法的原理思考1多米諾骨牌游戲給你什么啟示？你認為一個骨牌鏈能夠被成功推倒，靠的是什么？可編輯答（1）第一張牌被推倒；（2）任意相鄰兩塊骨牌，前一塊倒下一定導致后一塊倒下.結論：多米諾骨牌會全部倒下

3、.所有的骨牌都倒下，條件（2）給出了一個遞推關系，條件（1）給出了骨牌倒下的基礎.思考2對于數列an,已知ai=1,an+1=an；，試寫出a1，a2,a3,a4,并由此作出猜想.請1+an問這個結論正確嗎？怎樣證明?111答a1=1,a2=,a3=,a4=2341猜想an=n（nCN*）.以下為證明過程：1當n=1時，a=1=1，所以結論成立.（2）假設當n=k（keN*）時，結論成立，即1ak=k,ak則當n=k+1時ak+1=+a（已知）k（代入假設）11+k1k=二（變形）k1k1='7（目標）k+1即當n=k+1時，結論也成立.1由（1）（2）可得，對任意的正整數n都有an=

4、一成立.n思考3你能否總結出上述證明方法的一般模式？答一般地，證明一個與正整數n有關的命題P(n),可按下列步驟進行：(1)(歸納奠基)證明當n取第一個值no(noCN*)時命題成立；(2)(歸納遞推)假設當n=k(k>n°,kCN*)時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立.只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立.上述證明方法叫做數學歸納法.思考4用數學歸納法證明1+3+5+(2n1)=n2,如采用下面的證法，對嗎？若不對請改正.證明：(1)n=1時，左邊=1,右邊=12=1,等式成立.(2)假設n=k時等式成立，即1+3+5+(2k1)=k2,k

5、+1x1+2k+1則當n=k+1時，1+3+5+(2k+1)=(k+1)2等式也成立.2由(1)和(2)可知對任何nCN*等式都成立.答證明方法不是數學歸納法，因為第二步證明時，未用到歸納假設.從形式上看這種證法，用的是數學歸納法，實質上不是，因為證明n=k+1正確時，未用到歸納假設，而用的是等差數列求和公式.探究點二用數學歸納法證明等式例1用數學歸納法證明.ccnn+12n+1*12+22+n2=(nGN*).6證明(1)當n=1時，左邊=12=1,1 x1+1x2X1中右邊=1,6等式成立.(2)假設當n=k(kCN*)時等式成立，即kk+12k+112+22+k2=,6那么，12+22+

6、k右邊=2所以等式成立.假設 n = k(kC N*)時，111111 + + 3 42k- 1 2k+(k+1)2kk+12k+1=6+(k+l)2kk+12k+1+6k+12=6k+12k2+7k+6=6k+ 1k+ 22k+ 3k+1k+1+12k+1+16，即當n=k+1時等式也成立.根據（1）和（2）,可知等式對任何nCN*都成立.反思與感悟（1）用數學歸納法證明與正整數有關的一些等式命題，關鍵在于“先看項”，弄清等式兩邊的構成規律，等式的兩邊各有多少項，項的多少與n的取值是否有關.由n=k到n=k+1時，等式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項.跟蹤訓練1求證:11111一十一一一+十

7、 2 3 42n - 112n111+ (n £n + 1n+ 22nN*).k+1 k+21+成立2 k11證明當n=1時，左邊=12=2,那么當n=k+1時,11111111111_+-=+2342k12k2k+1-12k+1k+1k+22k2k+12k+1k+2+k+3+2k+2k+1+k+12k+11111=;r+-;r+;r+z;?k+1+1k+1+2k+1+k2k+1所以n=k+1時，等式也成立.綜上所述，對于任何nCN*,等式都成立.探究點三用數學歸納法證明數列問題例2 已知數列，又1 X4 4 X7 7 X 10,，計算S1,S2,S3,S4,3n23n+1根據計算結

8、果，猜想Sn的表達式，并用數學歸納法進行證明.11解S1=.;1X44'112S2=-+=一44X77213+=77X1010S4 = 一十1010 X 13- 13可以看出，上面表示四個結果的分數中，分子與項數n 一致，分母可用項數 n表示為3n+ 1.n于是可以猜想Sn=3n+1卜面我們用數學歸納法證明這個猜想.1當n=1時，左邊=S=一,4n11右邊=一,3n+13X1由4猜想成立.(2)假設當n=k(keN*)時猜想成立，即1111k+-=,1X44X77X103k23k+13k+1那么，11111+-+_1X44X77X103k23k+13k+123k+1+1k1="

9、;7+-3k+13k+13k+43k2+4k+1=：73k+13k+43k+1k+1=-7'73k+13k+4k+1= , k+1+1所以，當n=k+1時猜想也成立.根據(1)和(2),可知猜想對任何 n C N *都成立.反思與感悟歸納法分為不完全歸納法和完全歸納法，數學歸納法是“完全歸納”的一種科學方法，對于無窮盡的事例，常用不完全歸納法去發現規律，得出結論，并設法給予證明，這就是“歸納一一猜想一一證明”的基本思想.跟蹤訓練2數列an滿足Sn=2n an(Sn為數列an的前n項和)，先計算數列的前 4項，再猜想an,并證明.解 由 a1 = 2 a1，得 a1 = 1;由 a1 +

10、 a2= 2x 2-a2,3得a2=一；2由ai+a2+a3=2x3-a3,7得a3=7；4由ai+a2+a3+a4=2x4a4,15得a4=一.82n1猜想前=丁丁.卜面證明猜想正確:(1)當n=1時，由上面的計算可知猜想成立.(2)假設當n=k時猜想成立,2k1貝U有ak=2k1，當門=卜+1時，Sk+ak+1=2(k+1)-ak+1,1-ak+1=212(k+1)Sk1 2k1=k+ .若命題 A(n)(n £ N )在n = k(k £ N )時命題成立，則有 n = k+ 1時命題成立.現知命題對 n= no(no C N *)時命題成立，則有()-2(2k-2T

11、-r)2k+1-1=.一2k+11)所以，當n=k+1時，等式也成立.2n一1由(1)和(2)可知，an="2n"T對任意正整數n都成立.當堂測查疑缺A.命題對所有正整數都成立B.命題對小于no的正整數不成立，對大于或等于no的正整數都成立C.命題對小于no的正整數成立與否不能確定，對大于或等于no的正整數都成立D.以上說法都不正確答案C解析由已知得n=no(noCN*)時命題成立，則有n=no+1時命題成立；在n=no+1時命題成立的前提下，又可推得n=(no+1)+1時命題也成立，依此類推，可知選C.2.用數學歸納法證明"aa2+-+a2n+1=1-a(aw1

12、)”.在驗證n=1時，左端計1a算所得項為()A.1+aB.1+a+a2C.1+a+a2+a3D.1+a+a2+a3+a4答案C解析將n=1代入a2n+1得a3,故選C.3.用數學歸納法證明1+2+22+2nT=2n1(nCN*)的過程如下：(1)當n=1時，左邊=1,右邊=211=1,等式成立.(2)假設當n=k(kCN*)時等式成立，即1+2+22+2kT=2k1,則當n=k+1時，1+1-2k+12+22+2kT+2k=2k+11.所以當n=k+1時等式也成立.由此可知對于任1-2何nCN*,等式都成立.上述證明的錯誤是答案未用歸納假設解析本題在由n=k成立，證n=k+1成立時，應用了等

13、比數列的求和公式，而未用上假設條件，這與數學歸納法的要求不符.4.用數學歸納法證明1十1w1+-+<-+n(neN*)2232n21證明當n=1時，左式=1+2,1右式=2+1,所以1命題成立.222k即1 十一2(2)假設當n=k(kCN)時，命題成立,11.+工b+k,2k2則當n=k+1時,11111+ + + , + ,+232k 2k+1+ +>12k+22k+2k十 12心=1+"22 k 12又1+"+V1+k+2kA=1+(k+1),232k2k+12k+22k+2k22k2即當n=k+1時，命題成立.由(1)和(2)可知，命題對所有的nCN*都

14、成立.呈重點、現規律在應用數學歸納法證題時應注意以下幾點：(1)驗證是基礎：找準起點，奠基要穩，有些問題中驗證的初始值不一定為1;(2)遞推是關鍵：正確分析由n=k到n=k+1時式子項數的變化是應用數學歸納法成功證明問題的保障；(3)利用假設是核心：在第二步證明中一定要利用歸納假設，這是數學歸納法證明的核心環節,否則這樣的證明就不是數學歸納法證明.40分鐘課時作業一、基礎過關1.某個命題與正整數有關，如果當n=k（kCN*）時，該命題成立，那么可推得n=k+1時，該命題也成立.現在已知當n=5時，該命題成立，那么可推導出（）A.當n=6時命題不成立B.當n=6時命題成立C.當n=4時命題不成立

15、D.當n=4時命題成立答案B2.一個與正整數n有關的命題，當n=2時命題成立，且由n=k時命題成立可以推得n=k+2時命題也成立，則（）A.該命題對于n>2的自然數n都成立B.該命題對于所有的正偶數都成立C.該命題何時成立與k取值無關D.以上答案都不對答案B解析由n=k時命題成立可以推出n=k+2時命題也成立.且n=2,故對所有的正偶數都成立.3.在應用數學歸納法證明凸n邊形的對角線為1n（n3）條時，第一步驗證n等于（）A.1B.2C.3D.0答案C解析因為是證凸n邊形，所以應先驗證三角形，故選C.1114.若f（n）=1+£+T+2n+1（nCN*）,則n=1時的）是（）A

16、.11B.311D.以上答案均不正確C.1+一十一23答案C5.已知f(n)=-+-；,則(nn+1n+2n211A. f(n)中共有n項，當n=2時，f(2)=_+_23111B. f(n)中共有n+1項，當n=2時，f(2)=_+_+_23411C. f(n)中共有n2n項，當n=2時，f(2)=_+_23111D.f(n)中共有n2n+1項，當n=2時，f(2)=_+_+_234答案D解析觀察分母的首項為n,最后一項為n2,公差為1,，項數為n2n+1.6.在數列an中,a1 = 2 ,an士an+1=(n e N*),依次計算3an+1a2, a3, a4,歸納推測出an的通項表達式為

17、（）2A.4n32C.4n+3答案B2J_解析a1=2,a2="a3=,7132B.6n52D.2n-122a4=,，可推測an=故選B.196n-57.用數學歸納法證明(11113)(i -/-5)012-=-)=(nN*).n+2n+21222證明(1)當n=1時，左邊=1=一，右邊=一，等式成立.331+23(2)假設當n=k(k>1,kCN*)時等式成立，即11112(1-3)(1-m(1二?尸石r,當n=k+1時,11111(1-3)(1-T5)(1掂).(E)212k+222k+2(1k+3)k+2k+3-k+3k+1+2所以當n=k+1時等式也成立.由(1)(2)

18、可知，對于任意nCN*等式都成立.二、能力提升8.用數學歸納法證明等式(n+1)(n+2)-n+n)=2n-13n一)(n(2N*),從k到k+1左端需要增乘的代數式為()A.2k+1B.2(2k+1)2k+12k+3C.k+1D.k+1答案B解析n=k+1時，左端為(k+2)(k+3)1(+1)+(k1)k<(1)+kk22)=(k+1)(k+2)*+k)k(21)2,，應增乘2(2k+1).1119 .已知f(n)=+-+(nN*),則f(k+1)=.1111答案f(k)+'3k3k+13k+2k+110 .證明：假設當n=k(kCN*)時等式成立，即2+4+2k=k2+k,

19、那么2+4+2k+2(k+1)=k2+k+2(k+1)=(k+1)2+(k+1),即當n=k+1時等式也成立.因此對于任何neN*等式都成立.以上用數學歸納法證明"4+2什2n=n2+n(nCN*)”的過程中的錯誤為答案缺少步驟歸納奠基11 .用數學歸納法證明1222+3242+(1)nTn2=(1)nT2.證明(1)當n=1時，左邊=1,右邊=(-1)11x-2-=1,結論成立.(2)假設當n=k時，結論成立.kk+1即12-22+32-42+(-1)k1k2=(-1)k1,那么當n=k+1時，12 22+3242+(-1)k1k2+(-1)k(k+1)2kk+1=(-1)k1-"+(-1)k(k+1)2k+2k+2=(-1)kk(+1)2k+ 1=(1)k-k+22即n=k+1時結論也成立.由(1)(2)可知，對一切正整數n都有此結論成立.12.已知數列an的第一項a=5且Sn1=an(n>2,nN*),