1、練習1、微積分是 創立的，主要內容包括 。2、微積分研究 。3、高等數學包括 。4、函數是 。5、初等函數是 。6、7、8、)()(,)(,2)(2xfgxgfxxgxfx及求已知：)2(, 1)2(:2xfxxf求已知的有界性。判斷函數xxf1arctan)(第一章第一章 函數、極限與函數、極限與連續連續函數函數-函數概念函數概念確定的關系圓的面積 與半徑現象的關系不確定的關系人的身高 與體重函數函數-函數概念函數概念n現象間的關系相關關系不確定的關系函數關系確定的關系函數函數-函數概念函數概念定義定義 設設x和和y是兩個變量，是兩個變量，D是一個給定的非空是一個給定的非空數集，若對于數集，

2、若對于x D，變量，變量y按照確定的法則按照確定的法則f總有確定的數值和它對應，則稱總有確定的數值和它對應，則稱y是是x的函數的函數記作記作)(xfy 自變量自變量因變量因變量.)(,000處處的的函函數數值值為為函函數數在在點點稱稱時時當當xxfDx .),(稱為函數的值域函數值全體組成的數集DxxfyyZ思考題：下列那些是函數？3123451xyyxxste222、y=23、x、x +y函數函數-函數概念函數概念函數的兩要素函數的兩要素: : 定義域與對應法則定義域與對應法則.()D0 xx自變量自變量()W)(0 xfy對應法則對應法則f因變量因變量約定約定:如果不考慮函數的實際意義，函

3、數的定義域如果不考慮函數的實際意義，函數的定義域就是自變量所能取的使算式有意義的一切實數值就是自變量所能取的使算式有意義的一切實數值，稱為函數的自然定義域。，稱為函數的自然定義域。21xy 例例如如， 1 , 1 : D211xy 例例如如，)1 , 1(: D函數函數-函數概念函數概念如果自變量在定如果自變量在定義域內任取一個數值義域內任取一個數值時，對應的函數值總時，對應的函數值總是只有一個，這種函是只有一個，這種函數叫做單值函數，否數叫做單值函數，否則叫與多值函數則叫與多值函數oxyyx ),(yxDW例例如如，222ayx 定義定義: :.)(),(),(的的圖圖形形函函數數稱稱為為點

4、點集集xfyDxxfyyxC 函數函數-函數概念函數概念例子例子例例1：確定函數：確定函數y= 的定義域。的定義域。lg(3x-2)1lg(3x-2) 03x-203x-2 1x2/3x 1D=(2/3,1) (1,+)解：解：練習：求函數的定義域n1、n2、n3、211yx2ln(1)yx21xyx練習：求函數的定義域1、2、3、21-11+1yx的定義域是（，）、（， ）；2ln(1)-11yx的定義域是（ ， ）；2.1xyRx的定義域是函數函數-函數的性質函數的性質1函數的有界性函數的有界性:1. y=sinx2 . y=1/x1sin1,112(,0)0 +yxyyyx 、（ ， ）

5、函數函數-函數的性質函數的性質1函數的有界性函數的有界性:有界有界無界無界1. y=sinx2 . y=1/x函數函數-函數的性質函數的性質1函數的有界性函數的有界性:,)(, 0,成成立立有有若若MxfXxMDX .)(否則稱無界否則稱無界上有界上有界在在則稱函數則稱函數XxfM-Myxoy=f(x)X有界有界M-MyxoX0 x無界無界練習判斷函數的有界性判斷函數的有界性211yx練習21101yxy函數是有界的。函數函數-函數的性質函數的性質2函數的單調性函數的單調性:,)(DIDxf 區間區間的定義域為的定義域為設函數設函數,2121時時當當及及上上任任意意兩兩點點如如果果對對于于區區

6、間間xxxxI ),()()1(21xfxf 恒有恒有;)(上上是是單單調調增增加加的的在在區區間間則則稱稱函函數數Ixf)(xfy )(1xf)(2xfxyoI函數函數-函數的性質函數的性質,2121時時當當及及上上任任意意兩兩點點如如果果對對于于區區間間xxxxI ),()()2(21xfxf 恒恒有有;)(上上是是單單調調減減少少的的在在區區間間則則稱稱函函數數Ixf)(xfy )(1xf)(2xfxyoI,)(DIDxf 區間區間的定義域為的定義域為設函數設函數練習：討論函數的單調性22123xxyeyxyxe、函數函數-函數的性質函數的性質3函數的奇偶性函數的奇偶性:有有對對于于關關

7、于于原原點點對對稱稱設設,DxD )()(xfxf ;)(為為偶偶函函數數稱稱xfyx)( xf )(xfy ox-x)(xf偶函數偶函數函數函數-函數的性質函數的性質有有對于對于關于原點對稱關于原點對稱設設,DxD )()(xfxf ;)(為為奇奇函函數數稱稱xf)( xf yx)(xfox-x)(xfy 奇函數奇函數練習：判斷函數奇偶性n1、n2、n3、21xyx1 cosyx xxyee24sinyxx、 練習：判斷函數奇偶性221xyx、奇函數11 cosyx 、偶函數3xxyee、偶函數24sinyxx、非奇非偶函數函數函數-函數的性質函數的性質 D為函數f(x)的定義域，如果存在一

8、個不為零的數l ，xD值，xl D，且f(x+l )=f(x) 恒成立，則f(x)叫做周期函數，l 叫做f(x)的周期。 通常，我們說周期函數的周期是指最小正周期。例例1: 1:函數函數y=sinx, y=cosx, y=sinx, y=cosx, 是周期函數，周期為是周期函數，周期為2 2 。4函數的周期性函數的周期性:函數函數-反函數反函數設函數設函數y=f(x)y=f(x)的定義域為的定義域為D D，值域為，值域為WW。 假如假如y yWW都有一個確定且滿足都有一個確定且滿足y=f(x)y=f(x)的的x x D D與之與之對應，其對應規則為對應，其對應規則為f -1,f -1,定義在定

9、義在WW上的函數上的函數x= f -x= f -1(y)1(y)稱為稱為y=f(x)y=f(x)的反函數。的反函數。函數函數y=f(x)y=f(x)的定義域為的定義域為D D，值域為，值域為WW，x x為自變量，為自變量，y y為因變量。為因變量。函數函數x= f -1(y)x= f -1(y)的定義域為的定義域為WW，值域為，值域為D D，y y為自為自變量，變量，x x為因變量。為因變量。 若改若改x x為自變量，為自變量，y y為因變量，為因變量， x= f -1(y) x= f -1(y) 寫成寫成y= f -1(x) y= f -1(x) 。函數函數-反函數反函數y= f (x) y

10、= f (x) 與與y= f -1(x)y= f -1(x)的關系是的關系是x x、y y互換，它們的互換，它們的圖形關于圖形關于y=xy=x對稱。對稱。y= f -1(x)y= f -1(x)。不一定是單值函數。不一定是單值函數。y= f (x)y= f (x)單調單值，則單調單值，則y= f -1(x)y= f -1(x)單調單值。單調單值。)(xfy 直直接接函函數數xyo),(abQ),(baP)(xy 反反函函數數函數函數-反函數反函數例例1:求求y=3x-1的反函數。的反函數。解：解： y=3x-1 x、y互換得y= f -1(x) = (x+1)/3為反函數。 x=(y+1)/3

11、= f -1(y)y=(x+1)/3y=3x-1練習：求反函數1xye練習：求反函數11+lnxyeyx的反函數是函數函數-基本初等函數基本初等函數1.冪函冪函數數)( 是常數是常數 xy2xy xy xy 11)1 , 1(xy1 冪函數冪函數,指數函數指數函數,對數函數對數函數,三角函數和反三角函數和反三角函數統稱為基本初等函數三角函數統稱為基本初等函數.函數函數-基本初等函數基本初等函數2.指數函數指數函數)1, 0( aaayxxey xay xay)1( )1( a)1 , 0(函數函數-基本初等函數基本初等函數3.對數函數對數函數)1, 0(log aaxyaxyln xyalog

12、 xya1log )1( a)0 , 1(函數函數-基本初等函數基本初等函數4.三角函數三角函數正弦函數正弦函數xysin xysin 余弦函數余弦函數xycos xycos 函數函數-基本初等函數基本初等函數正切函數正切函數xytan xytan 余切函數余切函數xycot xycot 函數函數-基本初等函數基本初等函數正割函數正割函數xysec xysec 余割函數余割函數xycsc xycsc 函數函數-基本初等函數基本初等函數5.反三角函數反三角函數xyarcsin 反反正正弦弦函函數數xyarcsin xyarccos 反反余余弦弦函函數數xyarccos 函數函數-基本初等函數基本

13、初等函數xyarctan 反反正正切切函函數數xyarctan xycot 反反余余切切函函數數arcxycot arc思考題：n下列函數是否是基本初等函數？121345sinln6sinlnyxxyx3、y=x x、y=x、y=sin2x2、y=x、函數函數-復合函數復合函數2.312xey：復合函數例,2cot:4xy 例,uy ,cotvu .2xv 三個函數復合而成。可以看成由1,2xvvueyu練習：復合函數分解n1、n2、n3、21,yx2cos.yxsin3.xye函數函數-初等函數初等函數下面五類函數基本初等函數： 冪函數冪函數 y=x （ 是常數是常數, 0 ） 指數函數指數

14、函數 y=ax (a是常數是常數,a0,a1)對數函數對數函數 y=logax (a是常數是常數,a0,a1)三角函數三角函數 y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx,y=secx, y=cscx;反三角函數反三角函數 y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx . 0,過(0,0),(1,1),在(0, +)遞增 1遞增,0a1遞增,0a1遞減由常數及基本初等函數經過有限次四則運算及有限由常數及基本初等函數經過有限次四則運算及有限次的復合所構成并可以用一個式子表示的函數，叫次的復合所構成并可以用一個式子表示的函數，叫初等函數。初等函

15、數。例:1sinlncosln .yxx、22ln(1).yxx、21,03( ).-1,0 xxf xxx、函數函數-初等函數初等函數三角函數三角函數 y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx,y=secx, y=cscx;函數定義域值域周期奇偶單調y=sinx(-, +)-1,12奇(-/2+2k, /2+2k)遞增(/2+2k, 3 /2+2k)遞減y=cosx(-, +)-1,12偶(+2k, 2 +2k)遞增(2k, +2k)遞減y=tgxx/2+k(-, +)奇(-/2+k, /2+k)遞增y=ctgxxk(-, +)奇(k, +k)遞減y=secxx /2+k

16、(-, -1U1, +)2偶(2k, /2+2k),(/2+2k, +2k) 遞增(-/2+2k,2k),(+2k,3/2+2k)遞減y=cscxxk(-, -1U1, +)2奇(-/2+2k,2k),(2k, /2+2k)遞增(/2+2k,+2k),(+2k, 3/2+2k)遞減函數函數-初等函數初等函數y=cscxy=secxy=ctgxy=tgxy=cosxy=sinx函數函數-初等函數初等函數y=arcsinxy=arccosxy=arcctgxy=arctgx1 1、2 2 函數的極限函數的極限n函數極限函數極限n無窮大與無窮小無窮大與無窮小n極限的運算法則極限的運算法則n兩個重要的

17、極限兩個重要的極限“割之彌細，所失割之彌細，所失彌少，割之又割，彌少，割之又割，以至于不可割，則以至于不可割，則與圓周合體而無所與圓周合體而無所失矣失矣”1 1、割圓術：、割圓術：播放播放劉徽劉徽1、2、1 概念的引入R正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126 nnA,321nAAAAS2 2、截丈問題：、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭一尺之棰，日截其半，萬世不竭”;211 X第一天截下的杖長為第一天截下的杖長為;212122 X為為第二天截下的杖長總和第二天截下的杖長總和;2121212nnXn 天截下的杖長總和為天截下的杖長

18、總和為第第nnX211 11 1、2 2、2 2 極限概念極限概念.1時的變化趨勢當觀察函數xxy1. 自變量趨向無窮大時函數的極限xxx 問問題題: :函函數數)(xfy 在在 x的的過過程程中中, 對對應應函函數數值值)(xf無無限限趨趨近近于于確確定定值值 A.所以：無限接近于無限增大時當. 01,xyx通過上面演示實驗的觀察通過上面演示實驗的觀察:01limxx1、定義：、定義：練習：求極限n1、n2、21limxxlimsinxx:.10情情形形 x:.20情形情形xAxfx )(limAxfx )(lim2、另兩種情形、另兩種情形: Axfx)(lim:定理定理.)(lim)(li

19、mAxfAxfxx 且且練習：求極限1limxx練習:求極限limarctanxx2、1limxxe、1limxxe3、練習:求極限limarctanxx2、不存在1limxxe、不存在1lim1xxe3、2.自變量趨向有限值時函數的極限000 xxxxxx 2.自變量趨向有限值時函數的極限練習n1、n2、01limxx21lim(1)xx練習n1、n2、01limxx 21lim(1)2xx3.單側極限單側極限:例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx證明證明設設兩種情況分別討論兩種情況分別討論和和分分00 xx,0 xx從左側無限趨近從左側無限趨近;0 xx記作

20、,0 xx從右側無限趨近從右側無限趨近;0 xx記作yox1xy 112 xyyox1xy 112 xy解解兩個單側極限為兩個單側極限為是函數的分段點是函數的分段點,0 x00lim( )lim(1)1xxf xx左極限200lim( )lim(1)=1xxf xx右極限左右極限存在且相等左右極限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故定理000lim( )lim( )lim( ).xxxxxxf xAf xf xA練習).(lim0, 1-0,1)(02xfxxxxxfx求設練習-+-+20002000001,0( )lim( )-1,0lim( )=lim(1)1lim( )= lim(

21、1)1lim( )lim( )lim( )xxxxxxxxxxf xf xxxf xxf xxf xf xf x 設求解： 左極限右極限不存在.lim0不不存存在在驗驗證證xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例6證證1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x1.3 1.3 極限的運算法則極限的運算法則練習:求極限211lim1nn、213lim(2)xx、4.lim2xx212lim1xxx、練習:求極限211 lim0(1nn、用定義）213 lim(2)4(xx、用定義及計算）4

22、.lim2xx不存在（用定理）212 lim(1xxx、用計算）練習2011 limxx、213 lim(1)xxx、4.limxxe1002 limxx、練習2011 lim(xx 、定義）213 lim(1)3(xxx、計算）4.limxxe不存在（定理）1002 lim0(xx、定義）定理0001 lim( )lim( )lim( ).xxxxxxf xAf xf xA、lim( )lim( ).xxf xf xA2 lim( )xf xA、練習：求極限n1、n2、n3、211lim(3)xxx11lim(2)(4)xxx215lim32xxx練習：求極限2211111lim(3)=li

23、m3limlim3xxxxxxxx、11112lim(2)(4)=lim(2)lim(4)8xxxxxxx、22115lim 553lim=3322lim(2)xxxxxxx（）、一、極限運算法則定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中則則設設二、求極限方法舉例例例1 1.531lim232 xxxx求求解解531lim232 xxxx.37 00lim( )()xxf xf x即練習n1、n2、n3、22limxx21lim1xxx0limcosxx練習n1、n2、n3

24、、22lim4xx21lim31xxx 0limcos1xx解解例例2 2.321lim221 xxxx求求.,1分母的極限都是零分母的極限都是零分子分子時時x.1后再求極限后再求極限因子因子先約去不為零的無窮小先約去不為零的無窮小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)解解.,1分母的極限都是零分母的極限都是零分子分子時時x)00(型型(根式有理化法根式有理化法)312lim.3xxx 例：求極限333312(12)(12)limlim3(3)(12)3lim(3)(12)11lim.412

25、xxxxxxxxxxxxxx 練習：求極限2311lim.1xxxx01 12lim.xxx 練習：求極限2321121(1)1lim=lim1(1)(1)1lim.13xxxxxx xxxxxxxx解0001 1(1 1)(1 1)2limlim(1 1)11lim.21 1xxxxxxxxxx 解例例3 3.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的極限都是無窮大分母的極限都是無窮大分子分子時時 x)(型型 .,3再再求求極極限限分分出出無無窮窮小小去去除除分分子子分分母母先先用用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 小結小結: :為

26、為非非負負整整數數時時有有和和當當nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx當當當當當當練習n1、n2、n3、1lim1xxx2lim1xxx321lim24xxxx三、小結求極限方法：求極限方法：a.代入法代入法;b.用定義；用定義；c.消去零因子法消去零因子法;d.根式有理化法根式有理化法;e.利用左右極限求極限；利用左右極限求極限；f、極限的運算法則。、極限的運算法則。練練 習習 題題22115lim.32xxxx、21lim.1xx3、221lim.1xxx4、01 1lim.xxx 6、2111lim(1)(2).xxx

27、x2、0limsin .xx1、解0limsin .0 xx1、2111lim(1)(2)2.xxxx2、21lim0.1xx3、解2222111limlim1.111xxxxxx4、解2211115limlim2.322xxxxxxx 、解001 111limlim.21 1xxxxx 6、練習01,0( )1,0lim( ).xxxf xxxf x7、設求解000001,0( )1,0lim( )lim(1)1.lim( )lim(1)1lim( )1.xxxxxxxf xxxf xxf xxf x7、設1.4 1.4 無窮大量與無窮小量無窮大量與無窮小量1lim0.xx1、01lim.x

28、x 2、1.4 1.4 無窮大量與無窮小量無窮大量與無窮小量lim( )0,.f x 即如果則稱 f(x)為無窮小一一. . 定義定義定義：以定義：以0 0為極限的變量為極限的變量, ,稱為無窮小量無窮小）。稱為無窮小量無窮小）。定義：絕對值無限增大的變量稱為無窮大量定義：絕對值無限增大的變量稱為無窮大量. .lim( ),.f x 即如果則稱 f(x)為無窮大無窮大量與無窮小量無窮大量與無窮小量例如例如10112xxxxxx 當時是（ ）；當時是（ ）；當時是（ ）。無窮小量無窮小量例如：例如：.0sintan,cos1,tan,sin,2時時的的無無窮窮小小量量都都是是 xxxxxxx.a

29、rctan2,12時時的的無無窮窮小小量量都都是是 xxexx 定理定理3 有界函數與無窮小的乘有界函數與無窮小的乘積是無窮小積是無窮小.201limsin_.xxx練習sinlim.xxx練習題練習題221lim.1xxxxx4、2222lim.4xxx5、2481lim(5)(3).xxxx2、01lim sin.xxx1、203,0( )lim( ).2,0 xxxf xf xxx6、求 1.6 1.6 兩個重要極限兩個重要極限AC一、兩個重要極限(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圓圓心心角角設設單單位位圓圓,tan,sinACxABxBDx弧于是有xoBD.ACO

30、 ，得，得作單位圓的切線作單位圓的切線,xOAB的圓心角為的圓心角為扇形扇形,BDOAB的高為的高為 AoCAoBAoBSSS扇形易知：, 1sincos xxx即即.02也也成成立立上上式式對對于于 x,20時時當當 xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx111222sintanxxx例例3 3.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim2

31、1xxx 2121 .21 一般地：0sinlim1.例2sin(2)lim1.2xxx練習：求極限 1、0tanlim.xxx0sin22lim.sin3xxx、解 1、00tansin1limlim1.cosxxxxxxx00sin22sin2222limlim.sin3sin3333xxxxxxxxxx、- 定義（看）代入（算）法則（分別）求極限方法定理兩個重要極限（公式）0未定式（ 、 、 ）01、定義：、定義：定理0001 lim( )lim( )lim( ).xxxxxxf xAf xf xA、.)(lim)(limAxfAxfxx 且且2 lim( )xf xA、一般地：第一重要

32、極限0sinlim1.練習題練習題2100lim.2xx3、1lim.1xxx4、221 1lim.4xxx 5、241810lim(1)xxxx2、0limln(1).xx1、20sinlim.xxx6、01,0( )lim( ).1,0 xxxf xf xxx6、設,求(2)exxx )11 (lim定義定義ennn )11(limnnnx)11( 設設 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( ).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnn

33、nnnnnnnnxn,1nnxx 顯然顯然 ;是是單單調調遞遞增增的的nx類似地類似地,!1! 2111nxn ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim記為記為)71828. 2( e1111 11 22 3(1)nn 111111 1 (1)()()2231nn 133n例例4 4.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 一般地：1lim(1). e練習：求極限n1、n2、32lim(1) .xxx1lim() .1xxxx解：n1、n2、366221lim(1)lim(1).2xxxxexx12111lim

34、()lim().111xxxxxexexex練習題練習題41lim.2xx2、2211lim.xxxx3、20sin3lim.xxxx5、01lim.1xxx1、03,0( )lim( ).2,0 xxxf xf xxx6、設,求34 lim()xxxx、解1：01lim1.(1xxx計算）解2：41lim0.(2xx定義）解3：2211110limlim2.(0 xxxxxxx型）解4：33333lim()1lim(1)(xxxxxxxe重要）解5200sin3limsin33lim313.(xxxxxxxx重要、法則、計算）解：0000003,0( )lim( ).2,0lim( )lim

35、(3)3lim( )lim(2)2lim( )xxxxxxxxf xf xxxf xxf xxf x6、設,求不存在。(定理）1.7 1.7 函數的連續性函數的連續性函數連續性的定義函數連續性的定義 函數的連續性描述函數的漸變性態函數的連續性描述函數的漸變性態, ,在通常意義下，對函數連續性有三種在通常意義下，對函數連續性有三種描繪：描繪： 當自變量有微小變化時，因變量的當自變量有微小變化時，因變量的 變化也是微小的；變化也是微小的； 自變量的微小變化不會引起因變量的自變量的微小變化不會引起因變量的 跳變；跳變； 連續函數的圖形可以一筆畫成連續函數的圖形可以一筆畫成, ,不斷開不斷開. .例：下面例題連續性如何？122、y=x1、y=x一、函數的連續性2定義 ：00lim( )()xxf xf x0( )f xx在 處連續。例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(連連續續性性