1、1上海工程技術大學基礎教學學院工程力學部上海工程技術大學基礎教學學院工程力學部231 31 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形32 32 桁架的節點位移桁架的節點位移拉壓變形小結拉壓變形小結33 33 拉壓與剪切應變能拉壓與剪切應變能34 34 簡單拉壓超靜定簡單拉壓超靜定第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形331 31 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形一、概念一、概念1 1、軸向變形：軸向尺寸的伸長或縮短。、軸向變形：軸向尺寸的伸長或縮短。2 2、橫向變形：橫向尺寸的縮小或擴大。、橫向變形：橫向尺寸的縮小或擴大。4（2 2）在彈性范圍內：）在彈性范圍內：LL1 1、軸向變形、軸向變形：（1

2、1）軸向線應變：）軸向線應變：EALFLN虎克定律虎克定律EE彈性模量，彈性模量，EA-EA-抗拉壓剛度抗拉壓剛度二、分析兩種變形二、分析兩種變形L1L2 2、橫向變形：、橫向變形：bbb1橫向線應變：橫向線應變：aa橫向變形系數（泊松比）橫向變形系數（泊松比）：,1aaabbLLl11aa1bbPPPNF5iiNiEALFLLLL321當軸力為當軸力為x x的函數時的函數時 N=N(x)N=N(x)當各段的當各段的軸力為常量軸力為常量時時LNEAdxxFLdLdLdL)(321（3 3）、使用條件：軸向拉壓桿，彈性范圍內工作）、使用條件：軸向拉壓桿，彈性范圍內工作。應力與應變的關系：應力與應

3、變的關系：（虎克定律的另一種表達方式）（虎克定律的另一種表達方式）EALFLNLLEAFN三、疊加原理三、疊加原理 幾個載荷同時作用所產生的變形，等于各載荷單獨作幾個載荷同時作用所產生的變形，等于各載荷單獨作用時產生的變形的總和用時產生的變形的總和 疊加原理疊加原理E6小結小結：變形變形構件在外力作用下或溫度影響下所引起的形狀尺構件在外力作用下或溫度影響下所引起的形狀尺 寸的變化。寸的變化。彈性變形彈性變形外力撤除后，能消失的變形。外力撤除后，能消失的變形。塑性變形塑性變形外力撤除后，不能消失的變形。外力撤除后，不能消失的變形。位移位移構件內的點或截面，在變形前后位置的改變量。構件內的點或截面

4、，在變形前后位置的改變量。線應變線應變微小線段單位長度的變形。微小線段單位長度的變形。7F2FaaABCFNxF3F例：已知桿件的例：已知桿件的 E E、A A、F F、a a 。求：求：L LACAC、DB B（B B 截面位移），截面位移）， AB AB （AB AB 段的線應變）。段的線應變）。解：解：1 1、畫、畫 F FN N 圖：圖：2 2、計算：、計算：EALFLN).1 (EAFaLBCB3ABABABLL)3(BCABACLLLEAFaEAFaEAFa43(2)EAFaEAFa8怎樣畫小變形放大圖？怎樣畫小變形放大圖？3 3、變形圖嚴格畫法，圖中弧線；、變形圖嚴格畫法，圖中弧

5、線；2 2、求各桿的變形量、求各桿的變形量LiLi；4 4、變形圖近似畫法、變形圖近似畫法: : 以切線代替圖中弧線。以切線代替圖中弧線。 三角桁架節點位移的幾何求法。三角桁架節點位移的幾何求法。1 1、研究節點、研究節點 C C 的受力，確定的受力，確定 各桿的內力各桿的內力 F FNiNi； L2ABL1CF F32 32 桁架節點位移桁架節點位移分析：分析：F2F1FC (1) (1) 以以A A為圓心，為圓心，ACAC1 1為半徑畫弧線；為半徑畫弧線； (2) (2) 以以B B為圓心，為圓心，BCBC2 2為半徑畫弧線；為半徑畫弧線；1C1L2C2LC C交點交點CC就是就是C C點

6、實際位移。點實際位移。 C就是就是C C點近似位移。點近似位移。9寫出圖寫出圖 2 2 中中 B B 點位移與兩桿變形間的關系點位移與兩桿變形間的關系分析：分析：3BBBy22ByBxBF1l1B2B2lB一、受力分析：一、受力分析：二、畫二、畫B B點的變形圖：點的變形圖：1 1）畫沿原桿伸長或縮短線）畫沿原桿伸長或縮短線；2 2）作伸長或縮短線端點垂線；）作伸長或縮短線端點垂線；BB交點就是節點交點就是節點B B的位移點。的位移點。2BBBy11)3LBBBxB B點水平位移：點水平位移：B B點垂直位移：點垂直位移：1N2NFBL2aBL1CA3Basin2L23BBactg1L10例例

7、：桿桿1 1為鋼管，為鋼管，A A1 1= 100 mm= 100 mm，E E1 1 = 200 GPa,L= 200 GPa,L1 1= 1 m ;= 1 m ;桿桿2 2為鋁為鋁管，管，A A2 2= 250 mm= 250 mm，E E2 2 = 70 GPa,P = 10 kN= 70 GPa,P = 10 kN。試求：節點。試求：節點A A 點點的垂直位移。的垂直位移。1l45ABC解：解：1)1)求各桿內力求各桿內力PA1N2NP,14.1421kNPNkNPN1022)2)求各桿的伸長求各桿的伸長il11111AElNl mmAElNl404. 0222223)3)畫畫A A點

8、的位移圖點的位移圖1A2A3A1l45cos/14lAA2l45254ctglAA455445AAAAAA5A4A4545cos21ctgll,707. 05AAmmAA404. 15404. 09999. 011ABC0)30sin(221lNPlPC)(40kNNC例例 ：設橫梁設橫梁 ABCABC為剛梁，斜桿為剛梁，斜桿A=440mmA=440mm，E = 70GPaE = 70GPa，P P1 1= 5kN, = 5kN, P P2 2=10kN,L=1m;=10kN,L=1m;試求：試求：A A 點的垂直位移。點的垂直位移。 ( (不計橫梁變形不計橫梁變形) )解：解：1)1)、CD

9、CD桿內力：研究對象桿內力：研究對象 ABAB 2) CD2) CD桿的變形：桿的變形：60)(5 . 1cosmmEAlNEAlNLCCDC:0BmABCl1P2PDBXBYBAC1P2PCN30llCC21C2Csinsin21lCCCCCY3)3)桿桿A.CA.C點的變形圖：點的變形圖：1ABACYAY21C1AAY)(6sin2mmlCYCYAYCCAA22111233 33 拉壓應變能拉壓應變能一、應變能概念一、應變能概念2 2、應變能、應變能： 固體在外力作用下，固體在外力作用下，因變形而儲存的能量。因變形而儲存的能量。1 1、外力功、外力功：3 3、能量守恒：、能量守恒：4 4、

10、應變能密度：、應變能密度：固體受外力作用而變形，在變形過程中外力所做的功。固體受外力作用而變形，在變形過程中外力所做的功。PlllPW21VWlNV21EANlN 21EAlN22VW VVv/單位體積內儲存的能量。單位體積內儲存的能量。PliPilo)( ld 13G G：剪切彈性模量：剪切彈性模量5 5、剪切應變能密度、剪切應變能密度：應變能密度：應變能密度：lAV,2EAlNV VVv應變能：應變能：體積：體積：AlEAlN122EAN12222122EEv2212VVv/Gv22單元體：單元體：dxdydzdV dxdydzdydzdx14P二、求結構節點位移的能量法二、求結構節點位移

11、的能量法：例例：桿桿1 1為鋼管，為鋼管，A A1 1= 100 mm= 100 mm，E E1 1 = 200 GPa,L= 200 GPa,L1 1= 1 m ;= 1 m ;桿桿2 2為硬為硬鋁管，鋁管，A A2 2= 250 mm= 250 mm，E E2 2 = 70 GPa,P = 10 kN= 70 GPa,P = 10 kN。試求：節點。試求：節點A A 點的垂直位移。點的垂直位移。1l45ABC解：解：1)1)求各桿內力求各桿內力PA1N2NP,14.1421kNPNkNPN1022)2)求外力功及各桿的變形能求外力功及各桿的變形能iV,2,111211AElNV222222

12、2AElNV3)3)能量守恒能量守恒PVVAY)(21121VVWmm404. 1AYPW212A1AAY3A15例例：各桿截面各桿截面A A，材料，材料E E相同。試求：節點相同。試求：節點 A A 點的垂直位移。點的垂直位移。l45ABC解：解：1)1)求各桿內力求各桿內力P,21PN PNN322)2)求外力功及各桿的變形能求外力功及各桿的變形能iV,2,111211AElNV22222322AElNVV3)3)能量守恒能量守恒EAPlAY) 12(2321VVVWAYPW21AY32222221112122221AElNAElNPAYEAlPEAlPPAY2)(222)2(2122AP

13、2N1N1BBX3N1N160)30sin(221lNPlPC)(40kNNC例例 ：設橫梁設橫梁 ABCD ABCD 為剛梁，斜桿為剛梁，斜桿A=440mmA=440mm，E = 70GPE = 70GP，P P1 1= 5kN, = 5kN, P P2 2=10kN,L=1m;=10kN,L=1m;試求：試求：A A 點的垂直位移。點的垂直位移。 ( (不計橫梁變形不計橫梁變形) )解：解：1)1)、CDCD桿內力：研究對象桿內力：研究對象 ABAB 2) 2) 求外力功與桿的變形能：求外力功與桿的變形能：60,21WWW:0BmABCl1P2PDBXBYBAC1P2PCN30lCyAy2

14、VW EAlNPPCDCDAY2)2(222211C1AAY)(6mm,2111AyPW,2122CyPW1A1CAYCYABC,V),2(221PPWAy,22EAlNVCD3) 3) 能量守恒：能量守恒：173 - 4 3 - 4 拉壓超靜定拉壓超靜定一、概念一、概念1 1、靜定、靜定：結構或桿件的未知力個數等于有效靜力方程的個數，結構或桿件的未知力個數等于有效靜力方程的個數， 只利用有效靜力方程就可以求出所有的未知力。只利用有效靜力方程就可以求出所有的未知力。2 2、超靜定超靜定：結構或桿件的未知力個數大于有效靜力方程的個結構或桿件的未知力個數大于有效靜力方程的個 數，只利用靜力方程不能

15、求出所有的未知力。數，只利用靜力方程不能求出所有的未知力。3 3、多余約束、多余約束：在超靜定系統中多余維在超靜定系統中多余維 持結構幾何不變性的桿件或支座。持結構幾何不變性的桿件或支座。4 4、多余約束力、多余約束力：多余約束對應的力。多余約束對應的力。a aABC12PD3A1N2NP. 0, 0YXA1N2NP3N18ABDC12aaP35 5、超靜定的次數、超靜定的次數（按超靜定次數劃分)：超靜定次數超靜定次數 = = 多余約束個數多余約束個數 = = 未知力個數未知力個數- -有效靜力方程個數。有效靜力方程個數。二、求解超靜定二、求解超靜定（關鍵（關鍵變形幾何關系的確定）變形幾何關系

16、的確定）2 2、根據變形協調條件列出變形幾何方程、根據變形協調條件列出變形幾何方程。3 3、根據力與變形的物理條件，列出力的補充方程。、根據力與變形的物理條件，列出力的補充方程。EALFLN4 4、聯立靜力方程與力的補充方程求出所有的未知力。、聯立靜力方程與力的補充方程求出所有的未知力。三、注意的問題三、注意的問題拉力拉力伸長伸長變形相對應變形相對應；壓力壓力縮短縮短變形相對應。變形相對應。步驟：步驟：1 1、根據平衡條件列出平衡方程、根據平衡條件列出平衡方程（確定超靜定的次數）。19、幾何方程幾何方程變形協調方程：變形協調方程：、物理物理方程變形與受力關系方程變形與受力關系解解：、平衡方程平

17、衡方程: :、聯立求解聯立求解:, 0X , 0Yacos321Lll; cos2cos3331121121AEAEFAEFFNNaa,11111AElFlNacos33331111AELFAELFNNABDC132aa例例：33221121,AEAEAEll，求：各桿的內力。求：各桿的內力。F FN1N1Aa aF FN2N2F FN3N3yxPP3A1A1l2A2l3l33333AElFlN0cos)(321FFFFNNNa0sinsin21aaNNFF33311333cos2AEAEFAEFNa20例例 木制短柱的四角用四個木制短柱的四角用四個 4040* *4040* *4 4 的等邊

18、角鋼加固，角鋼和的等邊角鋼加固，角鋼和木材的許用應力分別為木材的許用應力分別為 1 1 =160 MPa =160 MPa 和和 2 2 =12 MPa =12 MPa，彈彈性模量分別為性模量分別為 E E1 1=200 G=200 GPaPa 和和 E E2 2 =10 G =10 GPaPa；求許可載荷求許可載荷 F.F.04021FFFYNN21LL 、幾何方程：、幾何方程：、物理、物理方程方程：解：解：、平衡方程平衡方程: :EALFLN22221111AELFAELFNNF1m250250FFFFNN72.0 ; 07.021F14NF2NF21 、求結構的許可載荷：求結構的許可載荷

19、： )(104272. 0/22max2kNAF角鋼面積由型鋼表查得角鋼面積由型鋼表查得: :A A 1 1=3.086 =3.086 c c )(4 .70507. 0/11max1kNAF AFN maxmax AFNmax,11max1AFNF Fmaxmax=705.4 kN=705.4 kN,22max2AFN)(4 .4910161 .33max1kNFN)(750122502max2kNFN22例例: : 圖示結構圖示結構, ,已知：已知： L L、A A、E E、a a、F F 。求：各桿軸力。求：各桿軸力。123FLaaAB解解：1 1、平衡方程、平衡方程: :2 2、幾何方

20、程：、幾何方程：3 3、物理、物理方程方程：4 4、聯立平衡方程和補充方程得、聯立平衡方程和補充方程得: :0, 0321FFFFYNNN3122lll,332211EAlFlEAlFlEAlFlNNN.65;31;61321FFFFFFNNNF3NF2NF1NFABC1B1l1C2l1A3l3122NNNFFF02, 012aFaFMNNA232A3lEAlNliii2 2、幾何方程、幾何方程變形協調方程：變形協調方程：解解：1 1、平衡方程、平衡方程: :aatglll132cos3 3、物理方程、物理方程：045sin, 013NNXaatgEAlNEAlNEAlN113322cos)2

21、1 (23,)21 (2)221 (,)21 (2321FNFNFN例：各桿例：各桿EAEA相等，。求：各桿的軸力。相等，。求：各桿的軸力。lll211l2l3l45AF3N2N1NFA454A5A3A1A1l2l045cos, 032FNNY24三、溫度應力、裝配應力三、溫度應力、裝配應力1 1）溫度應力溫度應力：由溫度引起桿變形而產生的應力（熱應力）。由溫度引起桿變形而產生的應力（熱應力）。溫度引起的變形量溫度引起的變形量LtLa1 1、靜定問題無溫度應力。、靜定問題無溫度應力。2 2、超靜定問題存在溫度應力。、超靜定問題存在溫度應力。例例：階梯鋼桿的上下兩端在階梯鋼桿的上下兩端在T T1

22、 1=5=5時被固定時被固定, ,桿的上桿的上下兩段的面積分別為下兩段的面積分別為 = = c c、 = =c c，當溫度升，當溫度升至至 T T2 2 =25 =25時時, ,求各段的溫度應力。求各段的溫度應力。E=200GPaE=200GPaC1105.126aaay25、幾何方程：幾何方程：解：解：、平衡方程平衡方程: :0, 012NNY0NTlll 、物理物理方程：方程：、聯立求解：聯立求解：; 2aTalT22112EAaNEAaNTa )(3 .3321kNNN分析：分析：、解除約束；解除約束；桿隨溫度升高自由伸長桿隨溫度升高自由伸長aay、兩端加約束力：兩端加約束力：將桿壓回到

23、原長。將桿壓回到原長。1N2NNlTl1NNlTl、溫度應力溫度應力：),(7 .66111MPaAN)(3 .33222MPaAN2211NEAaNEAaNl26例例 已知兩桿面積、長度、彈性模量相同，已知兩桿面積、長度、彈性模量相同，A A、L L、E E，求：當，求：當1 1桿桿溫度升高溫度升高 時，兩桿的內力及時，兩桿的內力及C C點的約束力。桿溫度膨脹系數點的約束力。桿溫度膨脹系數BC12a解解：、平衡方程平衡方程: :03, 021aNaNMc、幾何方程幾何方程：Taa3 AAT分析分析：1 1桿解除約束，使其自由伸長桿解除約束，使其自由伸長；AB AB 橫梁的約束，橫梁的約束，2

24、 2桿伸長受限桿伸長受限； AB2l2N1NABCCR1laBBaAA31lAAT,22EAlNlBB、物理、物理方程：方程：,1091TlEANa,1032TlEANa,56TlEARCa272 2）裝配應力裝配應力預應力、初應力：預應力、初應力：2 2、超靜定問題存在裝配應力。、超靜定問題存在裝配應力。1 1、靜定問題無裝配應力、靜定問題無裝配應力由于構件制造尺寸產生的制造誤差，在裝配時產生變由于構件制造尺寸產生的制造誤差，在裝配時產生變形而引起的應力。形而引起的應力。ABC12ABDC132aa A28解：解：、平衡方程平衡方程: :0sinsin021aaNNX0coscos0213aaNNNY例：例：已知：各桿長為：已知：各桿長為： 、 ； A A1 1=A=A2 2=A=A、A A3 3 ；E E1 1=E=E2 2=E=E、E E3 3。3 3桿的尺寸桿的尺寸誤差為誤差為 ，求，求: :各桿的裝配內力。各桿的裝配內力。lll213l3N2N1N AA3A A2A2l1A1lABDC132aa A3l、幾何方程：幾何方程：13cos)(lla、物理方程物理方程：333331