1、第一章第一章 二維線性系統分析二維線性系統分析Analysis of 2-Dimensional Linear System 1.4 抽樣定理抽樣定理 Sampling Theorem問題的提出問題的提出: 對于一個連續的信號對于一個連續的信號(模擬信號模擬信號), 是否是否必須連續地發送必須連續地發送,才能傳遞信號所包含的全部信息才能傳遞信號所包含的全部信息?答答:為了完全描述一個頻帶受限制的信號為了完全描述一個頻帶受限制的信號(帶限信號帶限信號), 可以對它在離散點可以對它在離散點(時間或空間點時間或空間點)進行抽樣進行抽樣.抽樣定理抽樣定理若函數若函數g (x, y) 不包括高于不包括高

2、于Bx 和和By 的頻率分量的頻率分量,則此函則此函數可以由一系列間隔數可以由一系列間隔(X, Y )等于或小于等于或小于1/(2Bx)和和1/(2By) 處的函數值完全決定處的函數值完全決定. X, Y: 時時/空域空域, 間隔間隔; Bx , By :頻域頻域, 帶寬帶寬1.4 抽樣定理抽樣定理 1、函數的抽樣、函數的抽樣上式表明上式表明,抽樣后的函數抽樣后的函數gs(x,y)由間距分別為由間距分別為X和和 Y的的d d 函數陣列構成函數陣列構成, 每個每個d d 函數下的體積正比于該函數下的體積正比于該點的函數值點的函數值.),( ),(yxgYyXxyxgscombcomb將連續函數將

3、連續函數g(x,y)在間隔為在間隔為X和和Y的分立的空間的分立的空間點上抽樣點上抽樣, 就是與梳函數相乘的過程就是與梳函數相乘的過程.抽樣后的抽樣后的函數系列用函數系列用gs(x,y)表達表達:g(x)0 x=x0 xcomb(x/X).0gs(x)#1.4 抽樣定理抽樣定理 1、函數的抽樣：二維情形、函數的抽樣：二維情形1.4 抽樣定理抽樣定理 抽樣函數抽樣函數gs(x,y)的頻譜的頻譜),(,yxnmyxffGYmfXnf d nmyxYmfXnfG,),(combcomb ),(yxyxsffGYyXxffG),(combcomb yxyxffGYfXfXY經過抽樣后函數的頻譜經過抽樣后

4、函數的頻譜,是原連續函數的是原連續函數的頻譜以間隔頻譜以間隔1/X, 1/Y重復平移并疊加重復平移并疊加.),(combcomb ),(yxgYyXxyxgs1.4 抽樣定理抽樣定理 二、函數的抽樣二、函數的抽樣抽樣后函數抽樣后函數gs(x,y)的頻譜的頻譜如果如果G (fx, fy)頻帶無限制頻帶無限制, 則這則這些頻譜函數必然會疊加些頻譜函數必然會疊加 nmyxYmfXnfG,Gs(fx, fy)即使即使G (fx, fy)是頻帶有限的函數是頻帶有限的函數, 若若X,Y取值不合適取值不合適, 這些重復的這些重復的頻譜函數之間也會互相重疊頻譜函數之間也會互相重疊.fxGs(fx)01/X1/

5、X只有使這些頻譜函數互不重疊只有使這些頻譜函數互不重疊, 才有可才有可能用濾波的方法能用濾波的方法,從中提取出原函數的從中提取出原函數的頻譜頻譜, 進而求出原函數進而求出原函數.fxGs(fx)01.4 抽樣定理抽樣定理 二、函數的抽樣二、函數的抽樣由抽樣值還原出原函數的條件由抽樣值還原出原函數的條件fxG(fx)-BxBx0 nmyxYmfXnfG,Gs(fx, fy)(2) 原函數抽樣時原函數抽樣時,在在x方向和方向和y方向抽樣點的間隔方向抽樣點的間隔 X 和和Y不得大于不得大于1/(2 Bx)和和1/(2 By), (1) g(x,y)是是限帶函數限帶函數, 其頻譜其頻譜G (fx, f

6、y)僅在僅在頻率平面上一個有限區域頻率平面上一個有限區域 上不為零上不為零.2 Bx, 2 By : 帶寬帶寬: 包圍包圍 的最小矩形在的最小矩形在 fx 和和 fy方向上的寬度方向上的寬度.yxBYBX21 ,21則則Gs中各個區域中各個區域(間隔為間隔為1/X,1/Y)的頻譜就不會重疊的頻譜就不會重疊fxGs(fx)-BxBx01/X有可能用濾波的方法有可能用濾波的方法,提取出原函數的頻譜提取出原函數的頻譜G, 進而求出原函數進而求出原函數.1.4 抽樣定理抽樣定理 二、函數的抽樣二、函數的抽樣由抽樣值還原出原函數的條件由抽樣值還原出原函數的條件fxGs(fx)-BxBx01/X則則Gs中

7、各個區域中各個區域(間隔為間隔為1/X,1/Y)的頻譜就不會重疊的頻譜就不會重疊, 有可能用濾有可能用濾波的方法波的方法,提取出原函數的頻譜提取出原函數的頻譜G, 進而求出原函數進而求出原函數.yxBYBX21 ,21yxBYBX21 ,21稱為奈奎斯特稱為奈奎斯特(Niquest)間隔間隔只要以小于或等于只要以小于或等于奈奎斯特間隔奈奎斯特間隔對對g(x,y)抽樣抽樣,則則gs(x,y)的頻的頻譜就是譜就是G (fx, fy)的周期性復現的周期性復現,包含了包含了g(x,y)的全部信息的全部信息.1.4 抽樣定理抽樣定理 2、原函數的復原、原函數的復原理想低通濾波理想低通濾波為了從為了從gs

8、(x,y)中還原出中還原出g(x,y), 將將gs(x,y)通通過一個理想低通濾波器過一個理想低通濾波器,只允許所有頻率只允許所有頻率|fx|Bx, |fy|By 的頻率分量無畸變地通過的頻率分量無畸變地通過,而將此區域以外的頻率分量完全阻塞而將此區域以外的頻率分量完全阻塞.fxGs(fx)-BxBx01/X此理想低通濾波器的頻率此理想低通濾波器的頻率特性為頻域中的門函數特性為頻域中的門函數1.4 抽樣定理抽樣定理 2、原函數的復原、原函數的復原理想低通濾波理想低通濾波用頻域中寬度用頻域中寬度2 2Bx和和2 2By的位于原的位于原點的矩形函數作為濾波函數點的矩形函數作為濾波函數: : yyx

9、xyxBfBf,ffH2rect2rect濾波過程濾波過程 :yxyyxxyxs,ffGBfBf,ffG2rect2rect根據卷積定理，在空間域得到根據卷積定理，在空間域得到: : yxgyxhyxgs, mYnX,yxnX,mYgXYx,ygYyXxx,ygnms combcombyBxBsBBBfBfFx,yhyxyxyyxx2sinc2inc4 2rect2rect1.4 抽樣定理抽樣定理 2、原函數的復原、原函數的復原理想低通濾波理想低通濾波mYyBx-nX BnX,mYgXYBBx,ygyxnmyx 2sinc2sinc 4若取最大允許的抽樣間隔，即若取最大允許的抽樣間隔，即X =

10、1/(2 Bx)，Y=1/(2 By) ，則，則用函用函數的抽樣值計算出原函數：數的抽樣值計算出原函數： yyxxnmyxBmyB Bnx-BBmBngyx22sinc22sinc2,2,g原函數在分立點上的抽樣值原函數在分立點上的抽樣值插值函數插值函數插值插值: :由抽樣點函數值計算非抽樣點函數值由抽樣點函數值計算非抽樣點函數值空域中等效于：空域中等效于：1.4 抽樣定理抽樣定理 抽樣和還原的圖示抽樣和還原的圖示g(x)0 xcomb(x/X)x.0=x0gs(x)*Xcomb(Xfx)01/Xfx-1/X.fxG(fx)-BxBx0=fxGs(fx)0Bx-Bx3Bx-3Bx1/X-1/X

11、X1/(2Bx)F.T.F.T.F.T.抽樣抽樣fxrect(fx/2Bx)-BxBx0.fxG(fx)-BxBx0=?F.T.F.T.還原還原1.4 抽樣定理抽樣定理 抽樣和還原的圖示抽樣和還原的圖示x0gs(x)2Bxsinc(2Bx)fx012Bx12Bxx0gs(x)-XX2X-2X*=Sinc函數稱為函數稱為內插函數內插函數頻域濾波相當于頻域濾波相當于空域的插值運算空域的插值運算連續函數具有的信息內容等效于一系列的信息抽樣連續函數具有的信息內容等效于一系列的信息抽樣.重新恢重新恢復連續函數所必需的離散值的最小數目由抽樣定理決定復連續函數所必需的離散值的最小數目由抽樣定理決定.1.4

12、抽樣定理抽樣定理 抽樣和還原的圖示抽樣和還原的圖示抽樣抽樣空域空域 g(x,y)頻域頻域 G(fx,fy)comb(x/X)comb(y/Y)gs(x,y)Gs(fx,fy)還原還原低通濾波器低通濾波器h(x,y)H(fx,fy)g(x,y)= gs(x,y)* h(x,y)G(fx,fy)= Gs(fx,fy)H(fx,fy)抽樣定理表明抽樣定理表明: : 在一定條件下可以由插值準確恢復原函數。在一定條件下可以由插值準確恢復原函數。一個連續的限帶函數可以由其離散的抽樣序列代替，而不丟一個連續的限帶函數可以由其離散的抽樣序列代替，而不丟失任何信息。失任何信息。 1.4 抽樣定理抽樣定理抽樣定理

13、的適用性抽樣定理的適用性在數學上在數學上, 限帶函數在空域上一定是無限擴展的函數限帶函數在空域上一定是無限擴展的函數函數不可能在空域和頻域都被限制在某一范圍內函數不可能在空域和頻域都被限制在某一范圍內.只要只要信號存在于有限的時空范圍信號存在于有限的時空范圍,就會有所有的頻率分量就會有所有的頻率分量.嚴格的限帶函數在物理上是不存在的嚴格的限帶函數在物理上是不存在的.但是但是,實際信號的大部分能量被一定范圍的頻率分量所攜帶實際信號的大部分能量被一定范圍的頻率分量所攜帶.高頻分量攜帶的能量甚少高頻分量攜帶的能量甚少.由于忽略高頻分量由于忽略高頻分量, 所引入的誤差所引入的誤差可以忽略可以忽略, 故

14、可近似看作限帶函數故可近似看作限帶函數. 因而抽樣理論在信息的傳輸和處理中有重要的意義因而抽樣理論在信息的傳輸和處理中有重要的意義.yxyxyxBBBBBBXY164XY421Y221X21.4 抽樣定理抽樣定理 3、空間帶寬積、空間帶寬積若若 限帶函數限帶函數g(x,y)在頻域中在頻域中|fx|Bx, |fy|By 以外恒等于零以外恒等于零, 即函數的帶寬為即函數的帶寬為Bx 和和By, 則函數在空域中則函數在空域中|x| X 和和|y| Y的范圍內最少的抽樣點數為的范圍內最少的抽樣點數為:空域中的面積空域中的面積頻域中的面積頻域中的面積在該區域中函數可以用在該區域中函數可以用16XYBxB

15、y個值個值近似近似表示表示.定義定義: 空間帶寬積空間帶寬積SW (SBP)= 16XYBxBy1.4 抽樣定理抽樣定理 3、空間帶寬積、空間帶寬積空間帶寬積的物理意義空間帶寬積的物理意義 空間信號空間信號(圖像、場分布圖像、場分布)的信息容量的信息容量 成像系統、信息存儲、處理系統，存儲和處理信息的能力成像系統、信息存儲、處理系統，存儲和處理信息的能力 空間物體的自由度數或自由參數數空間物體的自由度數或自由參數數N若若g(x,y)為實函數，為實函數， 每個抽樣值為一個實數，每個抽樣值為一個實數， N=SW若若g(x,y)為復函數，為復函數， 每個抽樣值為一個復數，每個抽樣值為一個復數， N=

16、2SW 不變性，不變性， 不隨空間位移或頻移變化不隨空間位移或頻移變化 (空間尺度變化引起頻譜尺寸相反變化空間尺度變化引起頻譜尺寸相反變化.)1.4 抽樣定理抽樣定理 3、空間帶寬積、空間帶寬積 空間信號空間信號(圖像、場分布圖像、場分布)的信息容量的信息容量 成像系統、信息存儲、處理系統，存儲和處理信息的能力成像系統、信息存儲、處理系統，存儲和處理信息的能力例例液晶顯示屏尺寸為液晶顯示屏尺寸為250250(mm2), 每個像元的每個像元的尺寸為尺寸為0.25 0.25 (mm2), 計算計算:1.像元總數像元總數2.最高空間頻率最高空間頻率3. 空間帶寬積空間帶寬積第一章復習第一章復習一、基本概念一、基本概念 頻譜頻譜, 振幅譜振幅譜, 位相譜位相譜 線性系統線性系統, 脈沖響應，線性空不變系統，傳遞函數脈沖響應，線性空不變系統，傳遞函數 濾波（高通濾波濾波（高通濾波, 低通濾波）低通濾波） 抽樣定理抽樣定理, 奈奎斯特間隔奈奎斯特間隔第一章復習第一章復習二、基本技能二、基本技能簡單和復合孔徑的數學描述：矩孔、圓孔、單縫、多縫、線光柵、簡單和復合孔徑的數學描述：矩孔、圓孔、單縫、多縫、線光柵、 位相板等；位相板等；脈沖函數的運算，卷積和