1、1水箱水流量問(wèn)題班級(jí)：計(jì)算 122姓名：李克文 學(xué)號(hào)：120901055水箱的水流量問(wèn)題（一）問(wèn)題的提出：許多供水單位由于沒(méi)有測(cè)量流入或流出水箱流量的設(shè)備， 而只能測(cè)量水箱中 的水位。試著通過(guò)測(cè)得的某時(shí)刻水箱中水位的數(shù)據(jù)，估計(jì)在任意時(shí)刻（包括水泵 灌水時(shí)間）t 流出水箱的流量 f（t）。假設(shè)：（1）影響水箱流量的唯一因素是該區(qū)域公眾對(duì)水的普通需要。（2）水泵的灌水速度為常數(shù)。（3）從水箱中流出水的最大流速小于水泵的灌水速度。（4）每天的用水量分布都是相似的。（5）水箱的流水速度可用光滑曲線來(lái)近似。（6）當(dāng)水箱的水容量達(dá)到 514.8g 時(shí)， 開(kāi)始泵水； 達(dá)到 677.6 時(shí)， 便停止泵水。給出

2、下面原始數(shù)據(jù)表，其中長(zhǎng)度單位為 E（ 1E=30.24cm）。水箱為圓柱體，其2直徑為 57E。L 時(shí)間/s2水位10E時(shí)間/s _J2水位10E03175466363350331631104995332606635305453936316710619299457254308713937294760574301217921289264554292721240285068535284225223279571854276728543275275021269732284269779254泵水35932泵水82649泵水39332泵水8596834753943535508995333974331834

3、45932703340（二）關(guān)鍵字水箱，水流量，水箱容積，時(shí)間。（三）問(wèn)題分析與建立模型 引入如下記號(hào)：V水的容積；Vi時(shí)刻 ti（ h）水的容積（單位 G，1G=3.785L （升）；f（ t）時(shí)刻 ti流出水箱的水的流速，它是時(shí)間的函數(shù)（G/h）； p水泵的灌水速度（G/h ）。根據(jù)要求先將上表中的數(shù)據(jù)做變換，時(shí)間單位用小時(shí)（h），水位高轉(zhuǎn)換成水的體積（V=nR2h），得下表。時(shí)間（h）水量（103G）時(shí)間（h）水量（103G）30606.112.954639.50.921593.713.876622.41.843583.014.982604.62.950571.615.904589.33

4、.871562.616.826575.04.978552.117.932558.85.900544.119.038542.67.001533.649.959528.27.929525.4一 20.839514.88.968514.822.015/9.981/22.958/10.926/23.880663.410.954677.624.987648.512.033657.725.908637.6注：第一段泵水的始停時(shí)間及水量為t始=8.968 (h), v始=514.8% 103( G)t末=10.926(h),v末=677.6x103(G)第二段泵水的始停時(shí)間及水量為t始=20.839(h),

5、v始=514.8x103(G)t末=22.958(h),v末=677.6x103(G)2 由于要求的是水箱流量與時(shí)間的關(guān)系，因此須由上表的數(shù)據(jù)計(jì)算出相鄰時(shí)間區(qū) 間的中點(diǎn)及在時(shí)間區(qū)間內(nèi)水箱中流出的水的平均速度：平均流速=(區(qū)間左端點(diǎn)的水量一區(qū)間右端點(diǎn)的水量)/區(qū)間中點(diǎn)值得下表:時(shí)間區(qū)間的中點(diǎn)值(h)1平均流量(x103G/h)I0.4606H14.01.38212.02.39610.03.411nJ9.64.425|9.65.4398.9一6.459.67.468(8.98.44810.09.474/10.45/10.941/11.49J18.612.49”0.0 113.4219.014.43

6、16.015.4416.0 116.37(16.017.3814.0418.4914.019.5016.020.4015.021.43/22.49/23.42/24.4314.025.4512.0做出散點(diǎn)圖如圖 15-1:圖 15-1 散點(diǎn)圖從圖中可以看出數(shù)據(jù)分布不均勻，局部緊密，因此不能采用插值多項(xiàng)式處理 數(shù)據(jù)，而用曲線擬合的最小二乘法。(四)計(jì)算過(guò)程1.算法：第 1 步:輸入數(shù)據(jù)Xi, yi；第 2 步:進(jìn)行擬合；第 3 步:作出散點(diǎn)圖；第 4 步:作出擬合函數(shù)圖；第 5 步:進(jìn)行誤差估算。2.實(shí)現(xiàn)：在算法步 2 中使用 Fit函數(shù)，步 3、步 4 使用 Plot，步 5 選用 Integ

7、rate 函數(shù)。3.誤差估計(jì)：誤差估算時(shí)，由于水泵的灌水速度為一常數(shù)，水箱中水的體積的平均變化速 度上應(yīng)近似等于水泵的灌水速度 P 減去此段時(shí)間從水箱中流出的平均速度。即tf(t)dtP V/ t -t此處 f (t)在4t 區(qū)間的兩端點(diǎn)間進(jìn)行積分。如果此模型確實(shí)準(zhǔn)確地模擬了這些數(shù)據(jù)，那么在不同的灌水周期中，按此模 型計(jì)算出的水泵灌水速度應(yīng)近似為常數(shù)。下面通過(guò)水泵開(kāi)始和停止工作的兩段區(qū) 間，即 t8.968，10.926及 t 20.839, 22.958來(lái)進(jìn)行檢驗(yàn)。5第一段:對(duì)應(yīng)于 t始=8.968 ( h), t末=10.926 (h)水量分別為v始=514800 ( G), v末=677

8、600 (G)故Vi=677600-514800=162800 (G)ti=10.926-8.986=1.958 (h)丄=83150 (G/h)t1第二段：對(duì)應(yīng)于t始=20.839 ( h),t末=22.958 (h)水量分別為v始=514800 (G), v末=677600 (G)所以V2=677600-514800=162800 (G)t2=22.958-20.839=2.119( h)V21 2 3=76830 (G/h)通過(guò)水泵開(kāi)始和停止工作的兩段時(shí)間檢驗(yàn)水泵灌水速度應(yīng)近似為常數(shù)；其中 由1 ,x, x2, x3 *,，x8擬合的函數(shù) f (t)所產(chǎn)生的誤差為 8.217%，由1 ,

9、 x3, x5 *, sin(0.1x) ,cos(0.1x)擬合達(dá)到 8.224%。由此可見(jiàn)如選擇不同的基函數(shù),將得 不同的誤差。但是只要基函數(shù)選擇恰當(dāng)，所產(chǎn)生的誤差也可以保持為相對(duì)穩(wěn)定最 小常數(shù)來(lái)支持該模型。同時(shí)，一旦確定了最佳 f (t),我們便可通過(guò) Integrate函數(shù)估算出一天的用 水總量，從而根據(jù)常規(guī)每 1000 人用水量來(lái)推測(cè)出該地區(qū)的人口數(shù)，另外，還可求 得水箱的平均流速。評(píng)價(jià)1、優(yōu)點(diǎn)：2任意時(shí)刻從水箱中流出的水速都可通過(guò)該模型計(jì)算出來(lái)；3可推測(cè)幾天的流速；P1=83150+1t110.9268.968Wdt671P2=76830+120.839l2P卩2F2(五)結(jié)果分析

10、22.958f (t )dt8fx=FitL , 1 , xA3 , xA5 ,graph1=ListPlotL , Display Function Iden titygraph2=ListPlotfx , x , 0.46 , 25.45 , DisplayFunction Identity;Showgraph1 , graph2 , Display Fun cti on $Display Function ,PlotRa ngev 仁 677600-514800;t2=10.926-8.968;m 仁 v1/t1 ；v2=677600-514800;t 仁 22.958-20.839;m

11、2=v2/t2 ;p1=m1+lntegratefx , x , 8.968 , 10.926/t1p2=m2+lntegratefx , x , 20.839 , 22.958/t2%= （p1-p2） p2運(yùn)行結(jié)果為：112.541-0.0198509x+0.0000156083f-97.968Cos0.1x-33.1108Si n0.1x 83159.976840.80.0822362（六）模型評(píng)價(jià)該模型數(shù)學(xué)概念簡(jiǎn)單，并且容易實(shí)現(xiàn)，任意時(shí)刻從水箱中流出水的速 度都可通過(guò)該模型計(jì)算出來(lái)，可以推測(cè)速度.但數(shù)據(jù)太少，只能參照一天的 數(shù)據(jù).另外，如果(2)通過(guò)考慮體積測(cè)量的差異建模，該作法包含著

12、某種不準(zhǔn)確性。源程序：L=0.460 ,4.425,8.448,14.43,18.49,25.45,14.0, 1.382, 12.0, 2.396, 10.0, 3.411, 9.6,9.6, 5.439, 8.9, 6.45, 9.6, 7.468, 8.9,10.0,16.0,14.0,12.011.49,15.44,19.50,18.6, 12.49, 20.0,16.0, 16.37, 16.0,16.0, 20.40, 15.0,13.42,17.38,24.43,19.0,14.0,14.0,Sin0.1x , Cos0.1x,x圖 15-2 水箱水流量擬合圖9知道水泵的灌水速度，就能更準(zhǔn)確地估算水泵灌水期間水 的流速.（七）模型的分析與改進(jìn)1）模型評(píng)價(jià)1、模型的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：1.模型可以用于有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)水箱的小鎮(zhèn)使用，容易推廣；2.模型用到的知識(shí)簡(jiǎn)單易懂，模型容易完成；3.模型不僅提供了水流量及一天用水量的較為準(zhǔn)確的估計(jì)，還可以估計(jì)任何時(shí)刻的水流量，包括水泵工作時(shí)的水流量缺點(diǎn)：無(wú)法準(zhǔn)確估計(jì)結(jié)果的誤差（八）參考文獻(xiàn)1 飛思科技