1、高中數學奧林匹克比賽講座： 25 絕對值與二次根式比賽講座 25絕對值與二次根式1 絕對值例 1 ( 1986 年揚州初一比賽題)設T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，此中 0v p v 15.對于知足p < x < 15的x的來說，T的最小值是多少？解由已知條件可得T=(x-p) +( 15-x)+(p+15-x) =30-x.當p< x<時15，上式中在x取最大值時T最小；當x=15時，T=30-15=15，故T的 最小值是 15.例 2 若兩數絕對值之和等于絕對值之積， 且這兩數都不等于 0. 試證這兩個數都不在 -1 與 -之間 .證設兩數為 a、b

2、，則 |a|+|b|=|a|b|. |b|=|a|b|-|a|=|a|(|b|-1 )./ ab工0,二 |a| > 0,|b| >0. |b|-1= >0 , |b| > 1.同理可證 |a| >1. a、b都不在-1與1之間.例 3 設 a 、 b 是實數，證明|a|- |b| < |a+b| < |a|+|b|.證明 當 |a|- |b| W0 時，|a|- |b| < |a+b| 建立.當 |a|-|b| >0 時，因為( |a|-|b| )2-|a+b|2=(a2+b2-2|ab| )-( a2+b2+2ab )=-2 (|ab|

3、-ab ) < 0, |a|- |b| < |a+b|.同理可證 |a+b| < |a|+|b|.2 根式 在根式進行化簡、求值和證明的過程中，常采納配方法、乘方法、比較系數法、設參 法、公式法等等，現舉比以下：( 1 ) 配方法：將二次根號內的式子配成完整平方式，將三次根號下的式子配成完整 立方式 .例4(1981年寧波初中比賽題)設的整數部分為 x,小數部分為y,試求的值.解=4-=2+(2-),故 x=2,y=2-,x+y+=4-+2+=6.例 5 化簡解原式 =|x+3|+|x-1|-|x-2|.令x+3=0 , x-1=0 ,x-2=0.得x=-3 , x=1 ,

4、x=2，這些點把數軸區分紅四個部分：當 xv -3 時原式 =-（ x+3 ）-（ x-1 ） +（x-2） =-x-4 ；當-3 < xv 1 時，原式 =（ x+3 ）-（x-1 ）+（x-2）=x+2 ；當1 < x<2時，原式 =（ x+3 ）+（ x-1 ） +（x-2） =3x；當x > 2時，原式 =（ x+3 ）+（ x-1 ） -（x-2）=x+4.是解這種問題的一般技巧說明：將根號下含字母的式子化為帶絕對值的式子來議論， 例 6 化簡（ a>> 0） .解 原式 = a >> 0. a2 > 2b2 ,原式=例 7求證：

5、證明：原式=4.（2） 乘方法 :因為乘方與開方互為逆運算,理所應當地能夠用乘方的方法去根號例 8 已知求證 :（x+y+z）3=27xyz.證明:兩邊立方x+y+即再邊再立方得（ x+y+z ） 3=27xyz.例 9 已知求證 證明 設則即 同理可設則A+B=由 A+B=a ，得（ 2 ）比較系數法例10求知足條件的自然數a、x、y.解將等式兩邊平方得 x、y、a都是自然數.只好是無理數，不然與等式左側是無理數相矛盾x+y=a， xy=6.由條件可知x>y且x、y是自然數.當 x=6 時， y=1 ，得 a=7.當 x=3 時， y=2 ，得 a=5.故 x=6,y=1,a=7.或

6、x=3,y=2,a=5.例 11 化簡剖析 被開方式睜開后得 13+2,含有三個不一樣的根式 ,且系數都是 2,可當作是將平方得來 的 .解設兩邊平方得13+2=x+y+z+2比較系數 ,得由有，代入，得代入，得y2=52 , . y=5 （x、y、z非負），. =1 ，.原式 =1+（ 4 ）設參法例 12（ 1986 年數理化接力賽題）設（ a1 ， a2， an， b1 ， b2， bn 都是正數） .求證 :證明 設且 a1=b1k,a2=b2k,， an=bnk.左側 =右側 =.左側 =右側（ 5 ）公式法、代數變換及其余例13 已知x=求x3+12x的值.解由公式（a-b） 3=

7、a3-b3-3ab（a-b）可得=8-3=8-12x./. x3+12x=8.例 14 設 求 x4+y4+ （x+y ）4.解 由條件知x+y=5 , xy=1.原式=（x2+y2）2-2x2y2+（x+y）4=（x+y）2-2xy2-2x2y2+（x+y）4=（25-2）2-2+54=1152.例15（1978年羅馬尼亞比賽題 ）關于a R，確立的全部可能的值.解 記 y=. 先假設a>0,這時y>0,把兩邊平方得即再平方,整理后得進而 > 0.由知 y2 v 2a2+2-2=2.再由知y2 < 1,. 0< yv 1.反過來,關于0,1中的每一個y值,由能夠

8、定出a，而且這時2a2+2-y2 > 0，故可由逆 推出和，因此在a0時，的值域為（0, 1）.相同在 av 0 時,的值域為（ -1, 0）,綜上的值域是（ -1 , 1） .練習十七1 選擇題（ 1）若實數 x 知足方程 |1-x|=1+|x| ,那么等于（ ） .（ A） x-1 （B） 1-x（C）±（ x-1）（ D） 1（E） -1（ 2）方程 x|x|-5|x|+6=0 的最大根和最小根的積為（ ） .（ A） -6 （B） 3 （C） -3 （D） 6 （E） -18（ 3）已知最簡根式與是同類根式,則知足條件的a、 b 的值（ ）.（A）不存在 （B）有一組

9、（C）有二組 （D ）多于二組2 空題（ 1 ）已知 |x-8y|+ （4y-1 ） 2+ 則 x+y+z=.（ 2）若 a>b>c> 0, l1= 乘積中最小的一個是 .（ 3）已知 0vxv1 ,化簡( 4 ) 已知則( 5 )( 北 京 市 1989 年 高 一 數 學 競 賽 題 ) 設 x 是 實 數 , 且 f ( x )=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|.貝卩 f (x)的最小值等于 .3. 化簡 (a> 0).4. 已知 abv 0, a2+b2=a2b2 ,化簡5假如 x> 0, y > 0,且試求的值6（第 8

10、屆美國教課邀請賽試題） 求的值 .7求合適以下各式的x、 y；（ 1）若 x 、 y 為有理數，且（ 2）若 x 、 y 為整數， 8已知求證 a2+b2=1.9已知 A= 求證11 v A3-B3 v 12 v A3+B3 v 13.10（ 1985 年武漢初二數學比賽題）已知此中a、b 都是正數 .（ 1 ） 當 b 取什么樣的值時，的值恰巧為b？（ 2 ）當 b 取什么樣的值時，的值恰巧為？練習十七1.略2（1 ） 3 （2）l （ 3）2x （4） a2-2 （ 5） 6.3 .當時,y = a,當x>2a2 時，y =4.VabV0,|ab|=ab,若a>O>b,原式=ab ;若 aVOVb,原式=ab.5 .原式=2.6 .原式= 8 2 8.7.（1） （2）x=22，y=2;x=22，y=2.8 . 由 條 件 知 兩 邊 平 方 后 整 理 得 再 平 方 得 1-2b2