1、中考直通車數學廣州分冊第八章專題拓展模塊分值20172016201520142013因動點產生的線段和差、周長最值問題和面積問題77與四邊形有關的壓軸問題1414因動點產生的等腰三角形問 題和直角三角形314因動點產生的相似問題17141714與圓有關的壓軸題141417動態幾何之定值最值問題141414常見幾何模型173第24講常見幾何模型年份題 量分值考點題型201431全等的性質和判定（手拉手模型）選擇題2016172全等的判定及其性質、旋轉模型填空題、解答題【考點解讀】常見幾何模型是廣州市中考的壓軸題?？碱}型，主要以考察選擇、填空最后一題和幾 何壓軸題為主。幾何模型類型較多，綜合性強，

2、屬于中考中重點但同樣是難點的一個考點。 【考點分析】2011年 考查三角形全等和三角形中位線性質，標準的手拉手模型。2014年 考查三角形全等的判斷和性質，根據手拉手模型找出全等三角形，再應用其性質2016年 本年度模型思想明顯，分值占比大，主要考查三角形全等的判定及其性質、圖像的 旋轉，利用模型思想作為解題突破口順利完成輔助線?！灸Ｐ徒榻B】手拉手模型:1、【條件】 如圖兩個等邊三角形 AABD與ABCE,連結AE與CD , 【結論】(1) ABEE=DBCC(2) AE = DC'(3) AE與DC之間的夾角為60 口(4) AE與DC的交點設為H,BH平分 AHC2、【條件】如圖兩

3、個等腰直角三角形ADC與EDG，連結 日AG,CE,二者相交于點H o I【結論】(1)AADG主ACDE是否成立？<(2) AG=CE(3) AG與CE之間的夾角為90：(4) HD是否平分/AHE ?旋轉模型： I / 1一、鄰角相等對角互補模型.44F【條件】如圖，四邊形 ABCD中，AB=AD,.BAD =. BCD =90【結論】/ACB=/ACD =45。BC+CD = &AC ABBC角含CG B eCD角含半角模型：全等筆角要旅轉：構造兩次全A【條件】：如圖，點 E、F分別是正方形 連接EF ;AABCD 的邊 BC、CD 上的點，/EAF=45口，【結論】（1）

4、 aage三匕afe(2) EF = BE +FD ;一線三等角模型：【條件】 一條直線同一側三個相等的角（如圖）；【結論】/XABCs/XCDE1、銳角形一線三等角2、直角形一線三等角3、鈍角形一線三等角【真題拾遺】1. （2014?廣州）如圖，四邊形 ABCD CEFGTB是正方形，點 G在線段CD上，連接BG DEL, DE和FG相交于點 Q 設AB=a CG=b（a>b）.下列結論：4 BC8 DCEBGL DE nrn=;（a-b） 2?SAEF0=b2?SA DGQ其中結論正確的個數是（）GC CEA. 4個B. 3個C. 2個D. 1個2. (2016?廣州)如圖，正方形

5、ABCD勺邊長為1, AC BD是對角線.將 DCB繞著點D順時針旋轉45°得到 DGH HG AB于點E,連接DE交AC于點F,連接FG.則下列結論：四邊形 AEGF菱形 AE陰 GED/ DFG=112.5° BC+FG=1.5三、解答題3. (2011廣州中考)如圖 1,。中AB是直徑，C是。上一點，/ ABC=45 ,等腰直角三角形DCE中/ DC比直角，點 D在線段AC上.(1)證明：B、C、E三點共線；(2)若M是線段BE的中點，N是線段AD的中點，證明：MN=5OM(3)將4 DC璘點C逆時針旋轉a (0° V a <90° )后，記

6、為 D1CE1 (圖2),若 M1是 線段BE1的中點，N1是線段AD1的中點，M1N1=OM健否成立？若是，請證明；若不是， 說明理由.圖1圖24. (2016廣州中考)如圖，點 C為4ABD的外接圓上的一動點(點 C不在位上，且不與點 B, D 重合),/ ACB4 ABD=45(1)求證：BD是該外接圓的直徑；(2)連結CD求證： 亞 AC=BC+CD(3)若 ABC關于直線AB的對稱圖形為 ABM連接DM試探究DM, AM, bM三者之間滿參考答案一、選擇題1、C考點：相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；正方形的性質.分析：由四邊形ABC加四邊形CEF兆正方形，根據正方形的

7、性質，即可得 BC=DC CG=CE / BCDW ECG=90 ,則可根據 SAS證得BC0 DCE然后根據全等三角形的對應 角相等，求得/ CDE+Z DGH=90 ,則可得BHL DE,由 DGF與 DCE相似即可判定 錯誤，由 GOLD! FOE相似即可求得.解答：證明：二,四邊形 ABCDf口四邊形CEFG正方形，BC=DC CG=CE / BCDh ECG=90 , / BCGW DCE在 BCG DCE 中， rBC=DCtCG=CE.BC摩 DCE(SAS ,. BC8 DCtE .CBGh CDE 又/ CBG廿 BGC=90 , ./ CDE+ DGH=90 , . . /

8、 DHG=90 ,. BH! DE;四邊形 GCE陛正方形，GF/ CE,的 誤錯, 是GOCEGOCE一一 一一DGDCDGGC DC/ EF, / GDO=OEF. 2=坐2=(22hEF 審/ GOD= FOE 1 OGDo OFEb ) 2=, ( a b) ?SAEF(=b ?SaDGO 故應選BJyeg空 口點評：此題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定和性質，直 角三角形的判定和性質.二、填空題2、考點：三角形全等、三角形內角和、菱形分析：首先證明 AD段4GDE再求出/ AER/AFE/GEF/GFE勺度數，推出AE=EG=FG=AF 由此可以一一判斷.

9、解答：證明：四邊形 ABC比正方形，AD=DC=BC=ABZ DAB4 ADC= DCB= ABC=90 , / ADB玄 BDCh CAD= CAB=45 ,. DHG 由 DBCI 轉得到，DG=DC=ADZ DGE=/ DCBW DAE=90 ,在 RTAADE和 RTA GDE中，f限DE ,DA=DG .AEN"ED 故正確,，/ ADEh EDG=22.5° , AE=EG /AEDh AFE=67.5° , . . AE=AF 同理 EG=GF AE=EG=GF=FA 四邊形AEGF是菱形，故正確， / DFGh GFC廿 DFC=/ BAC+Z D

10、AC廿 ADF=112.5° ,故正確. AE=FG=EG=B GBE小, AE, . BE> AE,AE<, . CB+FR 1.5,故錯誤點評：本題考查正方形的性質、全等三角形的判定和性質、菱形的判定和性質、等腰直角三 角形的性質等知識，解題的關鍵是通過計算發現角相等，學會這種證明角相等的方法，屬于中考?？碱}型.三、解答題3、考點：（1）三點共線 （2）中位線、全等三角形（手拉手性質）（3）同（2）分析：（1）根據直徑所對的圓周角為直角得到/BCA=90 , /DCE是直角，即可得到/ BCA+/ DCE=90 +90° =180° ;（2）連接B

11、D, AE, ON 延長BD交AE于F,先證明 RtBC里RtAACE得到BD=AE/ EBDhCAE則/ CAE+Z ADF=Z CBD廿BDC=90 ,即 BD± AE,再利用三角形的中位1 工線的性質得到 ON=BD OM=：AE, ON/ BD, AE/ OM 于是有 ON=OM ONL OM 即 ONM 為等腰直角三角形，即可得到結論；（3）證明的方法和（2） 一樣.解答：（1）證明：.AB是直徑， ./ BCA=90 ,而等腰直角三角形 DCE中/ DCN直角， ./ BCA吆 DCE=90 +90° =180° ,B、C、E三點共線；（2）連接BD,

12、 AE, ON延長BD交AE于F,如圖1, CB=CA CD=CE Rt BCtD RtAACEBD=AE / EBD=Z CAE ./CAE吆 ADF=/ CBD吆 BDC=90 ,即 BF± AE, 又二 M是線段BE的中點，N是線段AD的中點，而 O為AB的中點，一11 一ON = - BD , OM = - AE , ON/ BD, AE/ OM 22 .ON=OMONL OM即 ONM等腰直角三角形，MN= OM（3）成立.理由如下：如圖 2,連接 BD1, AE1, ON1, /ACB- / ACD14 D1CE1- / ACD1 / BCD1至 ACE1 又 CB=CA

13、 CD1=CE1 .BCDH ACE1,與（2）同理可證 BD1XAE1, ON1M偽等腰直角三角形，從而有 M1N1= -：OM1國2圖1點評：本題考查主要三角形全等的判定和中位線的性質，熟練掌握手拉手模型，作為本題切 入點，可以非常順利的解決本題。4、考點：圓的相關概念、等腰三角形、截長補短（旋轉模型性質）、勾股定理分析：（1）要證明BD是該外接圓的直徑，只需要證明/BAD是直角即可，又因為/ABD=45 ,所以需要證明/ ADB=45 ;（2）在CD延長線上截取DE=BC連接EA只需要證明 EAF是等腰直角三角形 即可得出結論；（3）過點M作MN M葉點M,過點A作AF± MA

14、于點A, MF與AF交于點F,證明 AMF等腰三角形后，可得出AM=AF MF=巧AM然后再證明 ABFADMP得出BF=DM最后根據勾股定理即可得出DM2 AM2 BM2三者之間的數量關系.解答：解：（1） AE=AE,，/ACB4 ADB=45 , ,/ABD=45 ,Z BAD=90 ,BD是 ABD7卜接圓的直徑（2）在CD的延長線上截取 DE=BC 連接 EA,/ ABDh ADBAB=AD . /ADE+/ ADC=180 ,Z ABC-+Z ADC=180 , . . / ABC4 ADE在ABC與 ADE中，fAB=AD, ZABC=ZADEBC=DE ,.ABe ADE （S

15、AS, ./BACWDAE / BAC-+Z CADh DAE+Z CAD，/ BAD= CAE=90 ,， T=AE，/ACDhABD=45 ,. CAE是等腰直角三角形，比 AC=CE比AC=CD+DE=CD+BC（3）過點M作MFL MB于點M,過點A作AF± M-點A, MF與AF交于點F,連接 BF, 由對稱性可知：/ AMB=ACB=45,/ FMA=45 , AMF是等腰直角三角形，AM=AF MF= ' AM/ MAF吆 MAB= BAD吆 MAB./ FAB=Z MAD在AABFA ADM43,'AE 二 AM, ZFAB=ZlIADAB = AD,

16、.ABF ADM (SAS),BF=DM 在 Rt BMF中，BM2+MF2=BF2 BM2+2AM2=DM2點評：本題考查圓的綜合問題，涉及圓周角定理，等腰三角形的性質，全等三角形的性質與 判定，勾股定理等知識，熟練掌握旋轉模型的特征和性質，作為本題切入點，構造出 等腰直角三角形，方向明確，減小了本題的難度。【模擬演練】一、選擇題1、 （2014番禺華附一模）如圖 2,在矩形ABC由，E為AD的中點，EFL EC交邊AB 于F,連FC,下列結論不正確 的是（D ）.A. AB>AE,AAEF DCEC. AEfF ECFD.AAEF與BFCT可能相似2、（2017十六中一模）如圖，邊長

17、為1的正方形ABCM對角線AC BD相交于點O.有直角/ MPN使直角頂點P與點O重合，直角邊 PM PN分另1J與OA OB重合，然后逆時針旋轉 /MPN旋轉角為0 （0° < 0 <90° ） , PM PN分別交AR BC于E、F兩點，連接 EF交OB 于點G,則下列結論中正確的是 （C ）.(1) EF= OE（2） S四邊形oebE S正方形abc=1： 4;(3)BE+BF= OA;在旋轉過程中，當BEF與 COF勺面積之和最大時,AE=(5)OGBD=AE+cF2.A. (1) (3)(4) (5)B.(2) (3) (4)(5)C. (1) (2

18、) (3) (5)D.(1) (2) (3)(4)二、填空題3、（2016黃埔區一模）如圖6,已知AABC和AAED均為等邊三角形，點 D在BC邊上,DE與AB相交于點F ,如果AC =12 , CD =4 ,那么BF的長度為 .刃圖6 U三、解答題4、（2016荔灣區一模）如圖，正三角形 ABCft接于。O, P是弧BC上的一點（P不與點 已C重合），且PB<PC, PA交BC于E,點F是PC延長線上的點，CF =PB , AB = JT3,PA =4.(1)求證 MBP 色 MCF ;(2)求證 AC2 = PA AE ；(3)求PB和PC的長.5、(2016海珠區一模)已知正方形

19、ABCDF口正方形 CEFG連接AF交BC于。點，點P是AF的中點，過點 P作PHL DG于H , CD=2 CG=1(1)如圖1,點D、C G在同一直線上，點 E在BC邊上，求PH得長；(2)把正方形 CEF凝著點C逆時針旋轉。(0° va<180° )如圖2,當點E落在AF上時，求CO勺長；如圖3,當DG*7時，求PH的長。36、(2017 一中一模)已知拋物線 G: y = ax + bx -3(a # 0)經過點 A (1, 0)和 B (-3, 0(1)求拋物線C1的解析式，并寫出其頂點C的坐標；(2)如圖1,把拋物線Ci沿著直線AC方向平移到某處時得到拋物

20、線 G,此時點A C分別 平移到點D, E處.設點F在拋物線C1上且在x軸的上方，若 DEF是以EF為底的等腰直角 三角形，求點F的坐標；(3)如圖2,在(2)的條件下，設點 M是線段BC上一動點，ENI± Eg直線BF于點N,點 P為線段MN中點，當點M從點B向點C運動時：tan /ENM勺值如何變化？請說明理由； 點M到達點C時，直接寫出點 P經過的路線長.參考答案1、D考點：相似三角形、三角形內角和(一線三直角)分析：利用等角的余角相等得到/ AFE=Z DEC則根據有兩組角對應相等的兩個三角形相似得至ij RtAAEF RtA DCtE 由相似的性質得 CD AE=DE AF

21、,而 CD=AB DE=AE 貝U AB: AE=AE AF,即 AE2=ABAF,利用 AF< AB,得到 AB> AE;再利用 RtAAEF RtDCE得 至ij EF: EC=AF DE把 DE=AER；入彳導至U EF: EC=AF AE,根據比例性質得 EF: AF=ECAE,加上/ A=Z FEC=90 ,則根據兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似得到 AEF AECF;由/EFCw 90°可判斷 AED BFC相似不成立，而當/ AFE二 / BFC時，可判斷 AED BCF解答：，/AEF吆 DEC=90 , / AEF+/ AFE=90

22、76;, . . / AFE=Z DEC RtAAEF Rt DCE; . CD:AE=DE:AF -E 為矩形 ABCM 邊 AD 的中點，CD=AB DE=AEAB:AE=AE:AF,即 AE2=AB>AF,而 AF?AB, . .AEPAE; RtAAEF RtDCE，EF:EC=AF:DE 而 DE=AE . EF:EC=AF:AE 即 EF:AF=EC:AE : / A=/ FEC=90 , . .AEM ECF;EFO 90°AEF BFC相似不成立，但當/ AFE=Z BFC 日f, AED BCF.故選 D.點評：此題為非常明顯的考查相似三角形知識點，根據一線三

23、等角模型特征快速得出答案。2、C考點：正方形的性質，全等三角形的判定與性質，旋轉的性質，相似三角形的判定與性質分析：由四邊形 ABC虛正方形，直角/ MPN易證得 BO瞌 COF(ASA ,則可證得結 論；1-由(1 )勿證信 S四邊形OEBF = SA BOC = - SH邊形ABCD ,4則可證得結論；首先設 AE=x,則BE=CF=1-x, BF=x,繼而表示出 BEF與 COF勺面積之和，然后 利用二次函數的最值問題，求得答案；易證得 OEaAOBE然后由相似三角形的對應邊成比例，證得 OGOB=OE2再禾1J 用OB與BD的關系，OE與EF的關系，即可證得結論.解答：二.四邊形 AB

24、C虛正方形，OB=OC/ OBE= OCF=45, / BOC=90,. / BOF-+Z COF=90 ,. / EOF=90 , .BOF叱 COE=90, . . / BOE= COF在 BO臣口 COF中，/ BOEW COF OB=OC/ OBEW OCFBO®COF(ASA),. OE=OF BE=CFEF=2 .2 OE;故正確；. G二G 4.Q 二 G u-Q 二 G 二1 G 一°S四邊邊 OEBF SZBOE +SABOESABOE + SACOFSABOCS正萬形 ABCD4SI邊邊OEBF ： S正方形ABCD = 1： 4 ；故正確;過點 O作

25、OHL BC,BC=1,OH=12BC=12設 AE=x,貝U BE=CF=-x, BF=x,111111 o 9-1 SABEF + SACOF =_ BE*BF + -CF*OH = - x(1-x) +-(1 -x)X- = (x-14)+,22222 232a二-12<0,當 x=14 時，SABEF + S/xcof 最大；即在旋轉過程中,當4 3£5與 COF勺面積之和最大時，AE=14;故錯誤； / EOGW BOE,/ OEG=OBE=45, . OED OBEOE:OB=OG:O EOG OB = OE2, .- OB=1 BD,OE=2 2 EF,2OG B

26、D = EF2, .在 BEF中，EF2 = BE2 + BF2,2_ 22 EF =AE +CF , OG BD = AE 2 + CF2.故正確。故選C.點評：從圖形上看是一個比較復雜的題，但是實際題目難度并不是很大，利用對角互補旋轉 模型結論再結合個夠定理就能解決此題。3、83考點：相似三角形的判定與性質，等邊三角形的性質分析：先利用等邊三角形的性質得到/C=Z ADEM B=60° , AB=BC=AC=12再利用三角形外角性質證明/ BDF=/ CAD則可判斷 DBD AACED然后利用相似比計算 BF的長.解答：，/C=/ ADE4 B=60 , AB=BC=AC=12

27、/ ADBh DAC廿 C,而/ ADB= ADE+ BDF / BDF4 CAD . DBS ACDBF:CD=BD:AC即 BF:4=8:12,解得 BF=8.3故答案為8 .3點評：此題利用對角互補旋轉模型推導過程得到應結論，再利用相似解決第(2) (3)問4、考點：圓周角定理，等邊三角形的性質，等邊三角形的判定，圓內接四邊形的任何一個外角都等于它的內對角對于（1）,先根據等邊三角形的性質得到AB=AC再利用圓的內接四邊形的性質得/ACF=/ABP,根據“ SAS'即可得證；對于（2）,先根據等邊三角形的性質得到/ ABCWACB=60 ,再根據圓周角定理得 /APChABB=6

28、0 ,加上/ CAE=Z PAC于是可判斷 AC匕 APG然后利用相似比 即可得到結論；1332,對于（3）,先利用AC = PA AE計算出AE= 4 ,則PE=AP-AE=4 ,再證 APF為等邊三角形，得至IJ PF=PA=4貝U有PC+PB=4接著證明 ABW4CEP得至U2PB- PC=PE- AP=3,然后根據根與系數的關系，可把PB和PC看作方程x -4x +3 = 0的兩實數解，再解此方程即可得到PB和PC的長.解答：（1）證明：二.正三角形 ABC內接于。0, AB=AC.2 .四邊形ABPE圓的內接四邊形， ./ ACF= / ABP.在 ABP和 ACF中，AB = AC

29、ABP = / ACFBP = CF.AB國 ACF.（2）證明：二.正三角形 ABC內接于。0,/ ABC= / ACE=60 ,/ APC= / ABC=60 ,3 / ACE= APC/ CAE= PAC . AC曰 APCAE:AC=AC:APAC2 = PA *AE .(3) ac2=pa，ae , ab=ac13AE = AB ,AP = 一，4133PE = AP-AE =4- - =,44AB國 ACF / APB4 F=60° .而/ APC=60 , . APF為等邊三角形，PF=PA=4PC+CF=PC+PB=4. / BAP4 PCE / APB=Z APC

30、. ABS CEPPB:PE=AP:PCPB- PC=PE- AP=3 X 4=3.4 PB+PC=4 . PB和PC可看作方程x24x+3=0的兩實數解，解此方程得 x1=1,x2=3. PB< PC,PB=1, PC=3點評：此題為標準手拉手模型，所以除了相似三角形得出答案，還能利用手拉手模型性質解 決。5考點：梯形中位線、相似三角形、勾股定理、全等三角形(一線三直角)分析：先判斷出四邊形 APGF梯形，再判斷出 PH是梯形的中位線，1PH = 1 (FG +AD)得到 2；(2)先判斷出 CO9 AOtB得到AO是CO的2倍，設出CQ表示出BQ AO再 用勾股定理計算，先找出輔助線

31、，再判斷出AR里 DSC CS(GGTF，求出AR+FT最后用梯形中位線即可.解答口 (1)PH ±CD, AD±CDPH/ AD/ FG 點P是AF的中點,，PH是梯形APGF勺中位線，1 -3PH = (FG +AD)=-, 22(2). / CEO= B=90° , / COEW AOB . COP AOBCOAO=CEA BCOAO=12設 CO=xAO=2x BO=2x,在 ABO43,根據勾股定理得，4+ (2 - x)2 = (2x) 2 ,2,7 -2-2 7 -2（舍），x =或 x = " CO=x=x =2<7 -23如圖3,

32、分別過點A, C, F作直線DG的垂線，垂足分別為 / ADR它 CDS=90, / CDS廿 DCS=90 , / ADRh DCS / ADRh CSD=90 , AD=CD .ARN DSCAR=DS同理： CS8AGTF,SG=FTAR+FT=DS+SG=DG7同（1）的方法得，PH是梯形ARTF的中位線, PH = 1(AR + FT)= 722點評:此題利用梯形中位線性質解決第(1)問，第(2)利用相似結合勾股定理這中常用方 法求長度，第(3)問構造一線三直角模型解決問題。6、考點：分析：二次函數、等要直接三角形、相似三角形(一線三直接)、三角函數、中位線 (1)根據解析式求出坐標；(2)根據等腰三角形的性質，EF=J2DF求出EF的長度，再根據拋物線與直線縱坐標差值求出答案。(3)根據答案需要求的正切值轉換為相似比，再根據已知的兩個直角構造出一線 三直接模型，相似比為定值，初中能解決的路徑不是線段就是弧長，有關鍵位置分 析可知軌跡為三角形中位線。23解：(1) .拋物線 G: y =ax2 +bx-(a #0)經過點 A (1, 0)和 B (-3 , 0),3,a b - 二 01a =一2 解得2 ,39a -3b - - =0 b=12