1、直線與雙曲線熱身練習1 .設口是第二象限角，方程 x2 sin a - y2 sin a = cosa表示的曲線是()A.焦點在x軸上的橢圓B.焦點在y軸上的橢圓C.焦點在y軸上的雙曲線D.焦點在x軸上的雙曲線 x ，一 2 .已知雙曲線的漸近線方程是y = 士一，焦點在坐標軸上且焦距是10,則此雙曲線的方程為23 .已知點M (-3,0) , N (3,0) , B(1,0),動圓C與直線MN切于點B,過M、N與圓C相切的兩直線相交于點P,則P點的軌跡方程為224.已知雙曲線與=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為 F1,F2,過點F2作與x軸垂直的直線與雙曲a b五線一個交點

2、為P ,且/PF1F2 =,則雙曲線的漸近線方程為6知識梳理1、直線與雙曲線位置關系，相交，相切，相離2、直線與雙曲線位置關系的判定：與橢圓相同，可通過方程根的個數進行判定22以直線y=kx+m和橢圓： 與烏=1(a >0,b >0 )為例：a bfy = kx + m(1)聯立直線與雙曲線方程： 消元代入后可得：b2 22 222x -ay = a bb2 -a2k2 x2 -2a2kxm T.a2m2 a2b2 =0(2)與橢圓不同，在橢圓中，因為a2k2+b2>0,所以消元后的方程一定是二次方程，但雙曲線中，消元后的方程二次項系數為 b2 -a2k2,有可能為零.所以要

3、分情況進行討論22 2b當b -a k =0= k=±且m/0時，方程變為一次方程，有一個根.此時直線與雙曲線相交，只有一 a個公共點22 2bb2 22 2當b a k A0= - <k<時，常數項為(am +a b )< 0 ,所以 a 0恒成立，此時直線與雙曲 a a線相交,22 2-bb當b -a k <0=k> 或k<時，直線與雙曲線的公共點個數需要用判斷：a a4AOn方程有兩個不同實根 二直線與雙曲線相交4=0=方程有兩個相同實根 二直線與雙曲線相切<0:方程沒有實根 二直線與雙曲線相離注：對于直線與雙曲線的位置關系，不能簡單的

4、憑公共點的個數來判定位置.尤其是直線與雙曲線有一個公共點時，如果是通過一次方程解出，則為相交；如果是通過二次方程解出相同的根，則為相切(3)直線與雙曲線交點的位置判定：因為雙曲線上的點橫坐標的范圍為(g,a|J a,"所以通過橫坐標的符號即可判斷交點位于哪一支上：當xa時，點位于雙曲線的右支；當 xwa時，點位于雙曲線的左支.對于方程：(b2 -a2k2 )x2 -2a2kxm -(a2m2 +a2b2 )=0 ,設兩個根為 x1，x2當 b2 -a2k2 0二_b <k<B 時，則 x1x2 = a a222. 2a m a b22 2b -a k<0 ,所以xx

5、2異號,即交點分別位于雙曲線的左，右支當 b2 -a2k2 <0=,b “ bk> 一或 k< 一一 ,且 Aa。時，x1x2 =222. 2a m a b22" > O，所以x1, x2同號，即交b2 -a2k2點位于同一支上(4)直線與雙曲線位置關系白幾何解釋：通過(2)可發現直線與雙曲線的位置關系與直線的斜率相關,.一 b其分界點土一剛好與雙曲線的漸近線斜率相同.所以可通過數形結合得到位置關系的判定abk=±2且m00時，此時直線與漸近線平行，可視為漸近線進行平移，則在平移過程中與雙曲線的一 a支相交的同時，也在遠離雙曲線的另一支，所以只有一個

6、交點bb一- <k <一時，直線的斜率介于兩條漸近線斜率之中，通過圖像可得無論如何平移直線，直線均與雙aa曲線有兩個交點，且兩個交點分別位于雙曲線的左，右支上.22. 2bbb -a k <0= k> 一或卜<-時，此時直線比漸近線 更陡”，通過平移觀察可得：直線不一定與a a雙曲線有公共點(與 的符號對應)，可能相離，相切，相交，如果相交則交點位于雙曲線同一支上.22x y3、中點弦：直線y=kx+b與雙曲線 =一' =1(a >0,b >0 )交于A(x1,yi)、B(x2,y2)兩點，且AB的 a b中點為P(xo,yo)，則有k =b2

7、x0a2y0例題解析-、直線與雙曲線的位置關系【例1】已知雙曲線x2 y2 =1及直線y = kx 1 .(1)若直線與雙曲線有交點，求 k的范圍；(2)什么情況下只有一個交點？什么情況下有兩個交點？什么情況兩個交點在右支？什么情況下兩個交點在兩支上?22【例2】過點P(",5) 與雙曲線 L-L=1有且只有一個公共點的直線有幾條，分別求出它們的方程.725【例3】直線y = kx+1與雙曲線3x2 -y2 =1相交于A B兩點,A、B在雙曲線的同一支上？當k為何值時，A、B分別在雙曲線的兩支上?【例4】已知不論b取何實數，直線y=kx+b與雙曲線x2 _2y2 =1總有公共點，試求

8、實數 k的取值范 圍.【鞏固訓練】1 .過雙曲線的漸進線上的一點(不是中心)能作幾條直線與雙曲線只有一個公共點()A. 一條 B.二條C.三條 D.四條2 22.已知直線y=kx1與雙曲線x -y =4.(1)若直線與雙曲線沒有公共點，求k的取值范圍；(2)若直線與雙曲線有兩個公共點，求k的取值范圍；(3)若直線與雙曲線只有一個公共點，求 k的取值范圍.223.已知雙曲線 人-L=1的右焦點為F ,若過點F的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此直 124線斜率的取值范圍是()A.叵B.(一出,3C.J1D.|-V33I 33 JJ 33 -L-224 .如果直線y=k(x1)與雙曲線x -

9、y =4沒有交點，則k的取值范圍是 .225 .若不論k為何值時，直線 y = k(x -2) +b與曲線x2 - y2 =1總有公共點，則b的取值范圍是6 .知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0),右頂點為(J3,0 ).(1)求雙曲線C的方程，(2)若直線l : y = kx + 42與雙曲線恒有兩個不同的交點A和B且OA OB>2 (其中O為原點)， 求k的取值范圍.二、交點、弦中點、弦長問題22【例5】已知雙曲線的方程為 -y-=1.42(1)過點M (1,1)的直線交雙曲線于 A,B兩點，若M為AB的中點，求直線 AB的方程；(2)是否存在直線1,使點N'1, 1)

10、為直線l被雙曲線截得的弦的中點， 若存在求出直線l的方程，若不I 2/存在說明理由.22【例6】已知直線1和雙曲線x- 22 =1(a > 0,b > 0)及其漸近線的交點從左到右依次為A、B、C、D.求a b證：AB = CD .【例7】已知曲線C的方程為x2 +ay2 =1 ( aw R).(1)討論曲線C所表示的軌跡形狀；(2)若a # -1時，直線y = x 1與曲線C相交于兩點M , N ,且| MN |= J2 ,求曲線C的方程.【例8】已知雙曲線x2 - y2 = a2 (其中a a 0).(1)若定點A(4, 0)到雙曲線上的點的最近距離為J5 ,求a的值；3二.(

11、2)若過雙曲線的左焦點 Fi,作傾斜角為a的直線l交雙曲線于M、N兩點，其中a三(一，)，F2是 4 4雙曲線的右焦點.求 FaMN的面積S.【例9】已知兩定點 Fi(-J2,0), F2(v,2,0),滿足條件|PF2 - PFi =2的點P的軌跡是曲線 E ,直線f-"I 44y =kx1與曲線E交于A,B兩點.如果AB =653,且曲線E上存在點C,使OA OB mOC '，求m的值和MBC的面積S .22x y【例9】已知一條直線l與雙曲線一2"-2 =1(b >a >0 )的兩支分力1J相父于 P、Q兩點，O為原點，當 a bOP _LOQ時，

12、求雙曲線的中心到直線 l的距離d .【鞏固訓練】1 .雙曲線x2 - y2 =1的一弦中點為(2,1),則此弦所在的直線方程為()A. y=2x-1 B. y=2x-2 C. y=2x-3 D. y = 2x+32 .已知雙曲線 E的中心為原點，F (3,0)是E的焦點，過F的直線l與E相交于A,B兩點，且AB的中 點為N(-12,-15),則E的方程式為()22222222xvxvx幺/xy,A. - =1 B.一匚=1C. - =1 D. - = 136456354x2y23.已知雙曲線/一b2=1（a>0, b>0）的焦點分別為 51（g0）產2（g0）（0 0）,過52的直

13、線l交雙曲線于 A,D兩點，交漸近線于 B, C兩點.設FB +FC =m , F1A+F1D =n ,則下列各式成立的是 （A. m > nB. m < nC.m -nD. m -n >0 、. . T T T T T2, 一，2 y,.,. r 、 ， 廠， .4.在雙曲線x2=1±,是否存在被點 M （1,1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直線方程；如不存2在，請說明理由.22 y,兀一一、一_ _5 .過雙曲線x <=1的左焦點F1,作傾斜角為 一的弦AB,求AB ；AF2AB的周長（F2為雙 36曲線的右焦點）.226 .直線y=kx<與雙曲線

14、x -y =1的左支相交于 a , B兩點，設過點（-2, 0）和AB中點的直線l在y軸 上的截距為b,求b的取值范圍.三、直線與雙曲線的綜合2【例10】已知雙曲線x2-2-=1 ,曲線上存在關于直線l:y = kx + 4對稱的兩點，求k的范圍.3【例11】直線l:y=kx+1與雙曲線C:2x2-y2=1的右支交于不同的兩點A、B.(1)求實數k的取值范圍；T -4-2PA，PB=2PQ .(2)是否存在實數k,使得以線段 AB為直徑的圓經過雙曲線 C的右焦點F?若存在，求出k的值；若不存 在，說明理由.【例12】已知兩點A(點,0) , B(應,0),動點P在y軸上的射影為Q,(1)求動點

15、P的軌跡E的方程;(2)設直線m過點A,斜率為k,當0 <k <1時，曲線E的上支上有且僅有一點 C到直線m的距離為72 ,試求k的值及此時點 C的坐標.【例13】已知曲線M : x2 - y2 =m , x >0 , m為正常數.直線l與曲線M的實軸不垂直，且依次交直線 y=x、曲線M、直線y = x于A、B、C、D四個點，O為坐標原點.若 AB = BC = CD ,求證： AOD的 面積為定值.【例14如圖，點F為雙曲線C的左焦點，左準線l交x軸于點Q，點P是l上的一點，已知| PQ |=| FQ |=1 ,且線段PF的中點M在雙曲線C的左支上.(1)求雙曲線C的標準方

16、程；II(2)若過點F的直線m與雙曲線C的左右兩支分別交于 A、B兩點，設fB = 73FA,當九6,收)時，求直線 m的斜率k的取值范圍.【鞏固訓練】1 .直線y=kx+1與雙曲線3x2-y2 =1相交于兩點 A、B,當k為何值時，以 AB為直徑的圓經過坐標原點.22 .雙曲線x2 %=18 >0)的左、右焦點分別為 F1、F2，直線l過52且與雙曲線交于 A B兩點. b2(1)若l的傾斜角為AF1AB是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程;(2)設b = J3,若l的斜率存在，且(F1A+ F1B) ,AB =0,求l的斜率.2 y23 .已知點N(1,2),過點N的直線交雙曲線 x2

17、-1 =1 于 A,B 兩點，且 ON = (OA + OB) 2(1)求直線AB的方程；(2)若過N的直線l交雙曲線于C,D兩點，且CD ,品=0,那么A, B,C,D四點是否共圓？為什么?4. P(x0, y01*±a謖雙曲線E ：22、冬=1(a >0,b >0)±一點，M、N分別是雙曲線 E的左、右 a b頂點，直線PM、PN的斜率之積為 c(1)求雙曲線中一的值;a(2)過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于 A、B兩點，O為坐標原點，C為雙曲線上一點,滿足OC-OA+OB，求九的值.5.已知雙曲線C的中心是原點，右焦點為 F(mQ), 一條漸近

18、線m： x +J2y = 0,設過點A(3行,0)的直線l的方向向量e =(1,k (1) 求雙曲線C的方程；(2) 若過原點的直線 a/八,且a與l的距離為 展,求k的值；2(3) 證明：當k > J 時，在雙曲線 C的右支上不存在點 Q ,使之到直線l的距離為甚.2反思總結1.焦點三角形：APFE中結合定義|PFi - PF2b2a與余弦定理cos/F1PF2,將有關線段|PFi|、|PF2F1F2和角結合起來，S,PF1F2: b2cot&22.漸近線:22若漸近線方程為y =±bx= 0=雙曲線可設為a a ba b與雙曲線22x 1 =1共漸近線的雙曲線系方程

19、是a b2222x y_x y-2 2 =九伍¥0);與雙曲線 一2 -2=1共焦點的雙曲 a ba b線系方程是-2一 2a k b -k特別地當a = b時u兩漸近線互相垂直，分別為y = 土x,此時雙曲線為等軸雙曲線， 可設為x2 - y2 =兒.3.交點： A>0=直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有>0,當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有一個交點，故>0是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；當直線與雙曲線的漸近線不平行時， =0= 直線與拋物線相切；如說直線和雙曲線有一個公共點，則要考慮兩種情況：公共點為切點和交點；當直線

20、與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交，但只有一個交點.I課后練習21 .已知雙曲線方程為 X2 -? =1,過P(1,0)的直線L與雙曲線只有一個公共點， 則L的條數共有()A. 4條B. 3條C. 2條D. 1條2 .已知 x, yw R,集合 A=4x,y)x2 y2 =" B = (x, y) y =t(x + 2)+2，若 A，B 是單元素集合，則 t 值的個數是()A. 0B. 1C. 2D. 32222x 2x 23 .給出下列曲線： 4x+2y1=0 ;x +y =3；一+ y =1y =1 ,其中與直線 22y = -2x -3有交點的所有曲線是()A.B.C.D

21、.4 .若直線y=kx+2與雙曲線x2 - y2 =6的右支交于不同兩點，則k的取值范圍是()(A)fT，W(B)h 乎(C)LW，0、(d/W，；I 3 3 J l3J l3J I3 J5 .已知點P(x, y)(x <0,y <0)在以F為左焦點的雙曲線 x2 y2 =1上，則直線PF的斜率的取值范圍 是.6 .雙曲線x2 -y2 =1右支上的一點P(a,b同直線x-y =0的距離為J2 ,則a+b=7.設P是雙曲線=1上一點，雙曲線的一條漸進線方程為3x-2y = 0, Fi,F2分別是雙曲線的左、右焦點，若 PFi =3,則PF2 =. 28 .已知Fi,F2是雙曲線 y -y2 =1的左、右焦點，P、Q為右支上的兩點，直線PQ過F2,且傾斜角為1a , 則PF1 +|QF1 PQ的值為29 .設