1、2021/3/91平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì)2021/3/92一一. .平面的概念：平面的概念：光滑的桌面、平靜的湖面等都是我們熟悉的光滑的桌面、平靜的湖面等都是我們熟悉的平面形象，數(shù)學(xué)中的平面概念是現(xiàn)實平面加以抽平面形象，數(shù)學(xué)中的平面概念是現(xiàn)實平面加以抽象的結(jié)果。象的結(jié)果。二二. .平面的特征：平面的特征：平面沒有大小、厚薄和寬窄，平面在空間是平面沒有大小、厚薄和寬窄，平面在空間是無限延伸的。無限延伸的。觀察思考觀察思考2021/3/93三三. .平面的表示方法：平面的表示方法：ABCD平面可以用小寫的希臘字母或大寫的英文字平面可以用小寫的希臘字母或大寫的英文字母表示，也可以用三個或三個以

2、上字母表示。母表示，也可以用三個或三個以上字母表示。如：平面如：平面，平面，平面，平面，平面ABCD等。等。2021/3/94四四. .平面的畫法：平面的畫法：（1）水平放置的平面：）水平放置的平面：（2）垂直放置的平面：）垂直放置的平面：通常把表示平面的平行四邊形的銳角畫成通常把表示平面的平行四邊形的銳角畫成4502021/3/95（3）在畫圖時，如果圖形的一部分被另一部分遮住，）在畫圖時，如果圖形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分畫成虛線，也可以不畫。可以把遮住部分畫成虛線，也可以不畫。2021/3/96五五. .用數(shù)學(xué)符號來表示點、線、面之間的位置關(guān)系：用數(shù)學(xué)符號來表示點、線、面之間

3、的位置關(guān)系：A AB Ba a 點點A A在直線在直線a a上：上： 記為：記為：AaAa點點B B不在直線不在直線a a上：上：記為：記為：BaBa點點A A在平面在平面上：上：記為：記為：AA點點B B不在平面不在平面上：上： 記為：記為：B B A AB B(1)(1)點與直線的位置關(guān)系：點與直線的位置關(guān)系：(2)(2)點與平面的位置關(guān)系：點與平面的位置關(guān)系：2021/3/97(3)(3)直線與平面的位置關(guān)系：直線與平面的位置關(guān)系： 直線直線a a上的所有點都在平面上的所有點都在平面上，稱直線上，稱直線a a在平面在平面內(nèi)，或稱平面內(nèi)，或稱平面通過直線通過直線a.a.記為：記為：a a

4、直線直線a a與平面與平面只有一個公共點只有一個公共點A A時，稱直時，稱直線線a a與平面與平面相交。記為：相交。記為：aaA Aa aA Aa a2021/3/98例例1.1.把下列語句用集合符號表示，并畫出直觀圖。把下列語句用集合符號表示，并畫出直觀圖。（1 1）點）點A A在平面在平面內(nèi)，點內(nèi)，點B B不在平面不在平面內(nèi)，點內(nèi)，點A A，B B 都在直線都在直線 a a上；上；（2 2）平面）平面與平面與平面相交于直線相交于直線 m m，直線，直線 a a 在平在平 面面內(nèi)且平行于直線內(nèi)且平行于直線 m.m.maA AB Ba2021/3/99六六. .平面性質(zhì)研究平面性質(zhì)研究問題問題

5、1 泥匠如何檢查墻面是否平整？泥匠如何檢查墻面是否平整？木匠如何檢查桌面是否平整？木匠如何檢查桌面是否平整？問題問題2 如圖，兩個平面只有一個公共點，是嗎？如圖，兩個平面只有一個公共點，是嗎？問題問題3 照相機架為什么只有三只腳？自行車只用照相機架為什么只有三只腳？自行車只用一只撐腳？一只撐腳？觀觀察察思思考考?2021/3/910公理一公理一：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi)那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi)ABl應(yīng)用：應(yīng)用：1 1. .判斷點或直線在平面內(nèi)的依據(jù)判斷點或直線在平面內(nèi)的依據(jù); ;2 2. .判斷點或直

6、線共面的依據(jù)判斷點或直線共面的依據(jù)如果直線如果直線l 上所有點都在平面上所有點都在平面內(nèi)就說直線內(nèi)就說直線l在平在平面面內(nèi)，或者說平面內(nèi)，或者說平面經(jīng)過直線經(jīng)過直線l,否則，就說直否則，就說直線線l在平面在平面外外AABB2021/3/911六六. .平面性質(zhì)研究平面性質(zhì)研究問題問題1 泥匠如何檢查墻面是否平整？泥匠如何檢查墻面是否平整？木匠如何檢查桌面是否平整？木匠如何檢查桌面是否平整？問題問題2 如圖，兩個平面只有一個公共點，是嗎？如圖，兩個平面只有一個公共點，是嗎？問題問題3 照相機架為什么只有三只腳？自行車只用照相機架為什么只有三只腳？自行車只用一只撐腳？一只撐腳？觀觀察察思思考考?2

7、021/3/912公理二公理二：如果兩個平面有一個公共點，那么它：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其它公共點，這些公共點的集合是一條們還有其它公共點，這些公共點的集合是一條經(jīng)過這個公共點的直線。經(jīng)過這個公共點的直線。如果兩個平面有一條公共如果兩個平面有一條公共直線，則稱這兩個平面相直線，則稱這兩個平面相交，這條公共直線叫做這交，這條公共直線叫做這兩個平面的兩個平面的交線交線。AlA2021/3/913應(yīng)用應(yīng)用：判定兩個平面有交線及交線位置的依據(jù)：判定兩個平面有交線及交線位置的依據(jù)1 1. .判定兩個平面相交判定兩個平面相交: :如果兩個平面有一個公如果兩個平面有一個公共點共點, ,那么它

8、們相交那么它們相交; ;2 2. .判定點在直線上判定點在直線上: :點若是某兩個平面的公共點若是某兩個平面的公共點點, ,那么這點就在這兩個平面的交線上那么這點就在這兩個平面的交線上; ;3 3. .兩平面兩個公共點兩平面兩個公共點的連線就是它們的交的連線就是它們的交線線2021/3/914ABCDA1B1C1D1O例例2 2在長方體在長方體ABCDA1B1C1D1中，畫出平面中，畫出平面A1C1D與平面與平面B1D1D的交線的交線. . 2021/3/915DABCE例例3：如圖畫出平面：如圖畫出平面 與平面與平面ADE的交線的交線 畫出畫出DE與平面與平面 的交點的交點P2021/3/9

9、16A變式：如圖，已知變式：如圖，已知ABC三邊所在的三邊所在的直線分別交平面直線分別交平面 于點于點P、Q、R，求，求證：證：P、Q、R三點在同一直線上。三點在同一直線上。BCQPR2021/3/917例例4：已知：空間四邊形：已知：空間四邊形ABCD，平面四，平面四 邊形邊形EFGH的頂點分別在空間四邊的頂點分別在空間四邊 形的各邊形的各邊AD,AB,BC,CD上上,若若EF與與 GH不平行，求證：三條直線不平行，求證：三條直線 EF,GH,BD共點。共點。方法小結(jié)方法小結(jié)2021/3/918六六. .平面性質(zhì)研究平面性質(zhì)研究問題問題1 泥匠如何檢查墻面是否平整？泥匠如何檢查墻面是否平整？

10、木匠如何檢查桌面是否平整？木匠如何檢查桌面是否平整？問題問題2 如圖，兩個平面只有一個公共點，是嗎？如圖，兩個平面只有一個公共點，是嗎？問題問題3 照相機架為什么只有三只腳？自行車只用照相機架為什么只有三只腳？自行車只用一只撐腳？一只撐腳？觀觀察察思思考考?2021/3/919公理公理3.3.經(jīng)過不在同一直線上經(jīng)過不在同一直線上的三點的三點有且只有有且只有一個平面一個平面. .ACB觀察下列問題，你能得到什么結(jié)論？觀察下列問題，你能得到什么結(jié)論？BCA應(yīng)用：確定平面的依據(jù)應(yīng)用：確定平面的依據(jù)判定點或線的共面判定點或線的共面; ;2021/3/920推論推論1.1.一條直線和直線外一點唯一確定一

11、個平面。一條直線和直線外一點唯一確定一個平面。aABC.AaAa直線有且只有一個平面 ，使得，數(shù)學(xué)語言表示數(shù)學(xué)語言表示:2021/3/921已知：點已知：點Aa 求證：過點求證：過點A和直線和直線a有且只有一個平面有且只有一個平面.aA 過不共線的三點過不共線的三點A,B,C有一個平面有一個平面 （公理（公理3） B ，C a（公理（公理1） 過點過點A和直線和直線a有一個平面有一個平面證明證明: （存在性）（存在性）（唯一性）（唯一性）, 在在a上任取兩點上任取兩點B、C，又由公理又由公理3,經(jīng)過不共線的三點經(jīng)過不共線的三點A、B、C的平面的平面只有一個只有一個經(jīng)過經(jīng)過a和點和點A的平面只有

12、一個的平面只有一個.a ABC2021/3/922推論2.兩條相交直線唯一確定一個平面。Cab數(shù)學(xué)語言表示數(shù)學(xué)語言表示:.abCab直線有且只有一個平面 ，使得，2021/3/923推論推論3.3.兩條平行直線唯一確定一個平面。兩條平行直線唯一確定一個平面。ACBab數(shù)學(xué)語言表示數(shù)學(xué)語言表示:/.abab直線有且只有一個平面 ，使得，思考1：不共面的四點可以確定多少個平面？思考2：四條相交于同一點的直線a,b,c,d并且任意三條都不在同一平面內(nèi)，有它們中的兩條來確定平面，可以確定多少個平面。2021/3/924例例1：如圖，直線：如圖，直線AB、BC、CA兩兩相交，交點兩兩相交，交點分別為分別

13、為A、B、C，判斷這三條直線是否共面，判斷這三條直線是否共面，并說明理由并說明理由. ABC共面共面2021/3/925證明：證明：ABAC=A直線直線AB、AC確定一個平面確定一個平面 BAB ,CAC ,C BBC (推論推論2)(公理公理1)直線直線AB、BC、CA都在平面都在平面 內(nèi)內(nèi)即它們共面即它們共面 ABC2021/3/926證法證法2：A 直線直線BC過點過點A和直線和直線BC確定平面確定平面 A , BBC B ,AB 同理同理AC AB、AC、BC共面共面 ABC2021/3/927 A、B、C三點不在一條直線上三點不在一條直線上證法證法3：過過A、B、C三點可以確定平面三

14、點可以確定平面 (公理公理3) A , B AB (公理公理1)同理同理BC , AC AB、AC、BC共面共面 ABC2021/3/928練練1.1.直線直線l l 與過點與過點P P的三條直線的三條直線a a1 1 , a, a2 2 , a, a3 3 分別分別交于交于 A A，B B，C C三點（三點（A A，B B，C C異于點異于點P P），求證：），求證：這四條直線共面。這四條直線共面。a3ACPa1a2B例例2圖圖2021/3/929條直線共面。條直線共面。四四，E E，F(xiàn) F三點，求證這三點，求證這a a，b b，c c分別交于分別交于D D與直線與直線，c c互相平行，直線

15、互相平行，直線l l練練2.2.已知直線已知直線a a，b blDabcEF例例3圖圖2021/3/9301.如圖找平面如圖找平面BA 1C 1與平面與平面B 1AC的交線的交線 練習(xí)：練習(xí)：ABCDA1B1C1D12021/3/9312.P、Q分別是正方體分別是正方體ABCDA 1B 1C 1D 1的的棱棱AA1、CC1上的點，畫出過上的點，畫出過B、P、Q三點三點的截面的截面C1D1QABCDA1B1P2021/3/932小結(jié)小結(jié)1、平面的概念、平面的畫法及其表示方法平面的概念、平面的畫法及其表示方法 2、空間圖形的點、線、面的基本位置關(guān)系空間圖形的點、線、面的基本位置關(guān)系及表示及表示 3、平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì) 公理公理1公理公理2公理公理3（3個個推論）推論）4、應(yīng)用