1、等差數(shù)列和等比數(shù)列知識點(diǎn)梳理第1節(jié) ：等差數(shù)列的公式和相關(guān)性質(zhì)1、 等差數(shù)列的定義：對于一個數(shù)列，如果它的后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)的差為一個定值，則稱這個數(shù)列為等差數(shù)列，記：（d為公差）（，）2、等差數(shù)列通項(xiàng)公式： ，為首項(xiàng)，為公差推導(dǎo)過程：疊加法推廣公式：變形推廣：3、等差中項(xiàng)（1）如果，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)即：或（2） 等差中項(xiàng)：數(shù)列是等差數(shù)列4、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：前N相和的推導(dǎo):當(dāng)時,則有，特別地，當(dāng)時，則有。（注：，）當(dāng)然擴(kuò)充到3項(xiàng)、4項(xiàng)都是可以的，但要保證等號兩邊項(xiàng)數(shù)相同，下標(biāo)系數(shù)之和相等。5、等差數(shù)列的判定方法 （1） 定義法：若或(常數(shù))是等差數(shù)列 （2）等差中項(xiàng)：數(shù)列

2、是等差數(shù)列（3）數(shù)列是等差數(shù)列（其中是常數(shù)）。（4）數(shù)列是等差數(shù)列,（其中A、B是常數(shù)）。6、等差數(shù)列的證明方法 定義法或者等差中項(xiàng)發(fā)是等差數(shù)列7、等差數(shù)列相關(guān)技巧：（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中，涉及到5個元素：、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。（2）設(shè)項(xiàng)技巧：一般可設(shè)通項(xiàng)奇數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為，（公差為）；偶數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為，,（注意；公差為2）8、 等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）當(dāng)公差時，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0。（2）若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若

3、公差，則為常數(shù)列。（3）當(dāng)時,則有，特別地，當(dāng)時，則有。（注：，）當(dāng)然擴(kuò)充到3項(xiàng)、4項(xiàng)都是可以的，但要保證等號兩邊項(xiàng)數(shù)相同，下標(biāo)系數(shù)之和相等。（4）、為等差數(shù)列，則都為等差數(shù)列【新數(shù)列可以化為一次函數(shù)的形式】 (5) 若是等差數(shù)列，則 ，也成等差數(shù)列 推導(dǎo)過程： (6) 數(shù)列為等差數(shù)列,每隔k(k)項(xiàng)取出一項(xiàng)()仍為等差數(shù)列推導(dǎo)過程：（7）、的前和分別為、，則（8） 等差數(shù)列中， 若，則 （1） 若，則 （2）推導(dǎo)： 解出A和B 就可以推導(dǎo)出（1） （2）式直接用推廣公式即可 (9)求的最值法一：因等差數(shù)列前項(xiàng)和是關(guān)于的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性。法二：（1）“

4、首正”的遞減等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和即當(dāng)由可得達(dá)到最大值時的值（2） “首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。即 當(dāng)由可得達(dá)到最小值時的值或求中正負(fù)分界項(xiàng)法三：直接利用二次函數(shù)的對稱性：由于等差數(shù)列前n項(xiàng)和的圖像是過原點(diǎn)的二次函數(shù)，故n取離二次函數(shù)對稱軸最近的整數(shù)時，取最大值（或最小值）。若S p = S q則其對稱軸為等比數(shù)列的相關(guān)公式和性質(zhì)1、 等比數(shù)列的定義：，為公比2、 通項(xiàng)公式：，為首項(xiàng)，為公比推廣公式：3、等比中項(xiàng)（1）如果成等比數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)即：或注意：同號的兩個數(shù)才有等比中項(xiàng)，并且它們的等比中項(xiàng)有兩個（兩個等比中項(xiàng)互為相反數(shù)）（2

5、）數(shù)列是等比數(shù)列4、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：(1) 當(dāng)時，(2) 當(dāng)時，（為常數(shù)）推導(dǎo)過程：5、等比數(shù)列的判定方法（1）用定義：對任意的n,都有為等比數(shù)列 （2） 等比中項(xiàng)：（0）為等比數(shù)列（3） 通項(xiàng)公式：為等比數(shù)列（4） 前n項(xiàng)和公式：為等比數(shù)列6、 等比數(shù)列的證明方法依據(jù)定義：若或?yàn)榈缺葦?shù)列7、等比數(shù)列相關(guān)技巧：（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中，涉及到5個元素：、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)項(xiàng)的技巧，一般可設(shè)為通項(xiàng)：如奇數(shù)個數(shù)成等比，可設(shè)為，（公比為，中間項(xiàng)用表示）；注意隱含條件公比的正負(fù)8、等比

6、數(shù)列的性質(zhì)：(1) 當(dāng)時等比數(shù)列通項(xiàng)公式是關(guān)于的帶有系數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比前項(xiàng)和，系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)是互為相反數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比(2) 對任何m,n,在等比數(shù)列中,有,特別的,當(dāng)m=1時,便得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。因此,此公式比等比數(shù)列的通項(xiàng)公式更具有一般性。(3) 若(),則。特別的,當(dāng)時,得(4) 列,為等比數(shù)列,則數(shù)列, (k為非零常數(shù)) 均為等比數(shù)列。【可以化為為等比數(shù)列】(5) 數(shù)列為等比數(shù)列,每隔k(k)項(xiàng)取出一項(xiàng)()仍為等比數(shù)列(6) 如果是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,則數(shù)列是等差數(shù)列(7) 若為等比數(shù)列,則數(shù)列，成等比數(shù)列(8) 若為等比數(shù)列,則數(shù)列, 成等比數(shù)列備注：和（7）本質(zhì)上是一樣的。(9)當(dāng)時，當(dāng)