1、數(shù)列通項(xiàng)公式的求法一、定義法直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目例1等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：設(shè)數(shù)列公差為成等比數(shù)列，即， 由得：， 】點(diǎn)評(píng)：利用定義法求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)要注意不用錯(cuò)定義，設(shè)法求出首項(xiàng)與公差（公比）后再寫出通項(xiàng)。二、公式法若已知數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式求解。例2已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由當(dāng)時(shí)，有，經(jīng)驗(yàn)證也滿足上式，所以點(diǎn)評(píng)：利用公式求解時(shí)，要注意對(duì)n分類討論，但若能合寫時(shí)一定要合并三、由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)法對(duì)于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通常可以通過(guò)遞推公式的變

2、換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題，有時(shí)也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列。類型1 遞推公式為解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。例3. 已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個(gè)等式累加之，即所以 ， 類型2 （1）遞推公式為解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例4. 已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個(gè)等式累乘之，即又， 注：由和確定的遞推數(shù)列的通項(xiàng)還可以如下求得：所以， ，依次向前代入，得，類型3遞推式：解法：只需構(gòu)造數(shù)列，消去帶來(lái)的差異其中有多種不同形式為常數(shù)，即遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。解法：轉(zhuǎn)化為：，其中，再

3、利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例5. 已知數(shù)列中，求.解：設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則, 所以.為一次多項(xiàng)式，即遞推公式為例6設(shè)數(shù)列：，求.解：設(shè)，將代入遞推式，得（）則,又，故代入（）得備注：本題也可由 ,（）兩式相減得轉(zhuǎn)化為求之. 為的二次式，則可設(shè);類型4 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。 （或,其中p，q, r均為常數(shù)）解法：該類型較類型3要復(fù)雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用類型3的方法解決。例7. 已知數(shù)列中，,，求。解：在兩邊乘以得：令，則,應(yīng)用例7解法得：所以類型5 遞

4、推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解法：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足，再應(yīng)用前面類型3的方法求解。例8. 已知數(shù)列中，,，求。解：由可轉(zhuǎn)化為即或這里不妨選用（當(dāng)然也可選用，大家可以試一試），則是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列,所以,應(yīng)用類型1的方法，分別令，代入上式得個(gè)等式累加之，即又，所以。1在數(shù)列中，求. ，當(dāng)時(shí)， ，將上面?zhèn)€式子相加得到：（），當(dāng)時(shí)，符合上式故.2設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，求它的通項(xiàng)公式. 由題意， ，又，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，符合上式【變式2】已知數(shù)列中，求通項(xiàng)公式. 由得， ， ， 當(dāng)時(shí)，  當(dāng)時(shí)，符合上式3數(shù)列中，,，求. 對(duì)兩邊同除

5、以得即可.，兩邊同除以得，成等差數(shù)列，公差為d=5，首項(xiàng)，.4已知數(shù)列中，求.法一：設(shè)，解得即原式化為設(shè)，則數(shù)列為等比數(shù)列，且法二： 由得：設(shè)，則數(shù)列為等比數(shù)列法三：，【變式1】已知數(shù)列中，求【答案】令，則，即，為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比，故.【變式2】已知數(shù)列滿足,而且，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】，設(shè)，則，即，數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，. .5已知數(shù)列中，是它的前n項(xiàng)和，并且, .(1)設(shè),求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(3)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和.解析：（1）因?yàn)椋?以上兩式等號(hào)兩邊分別相減，得 即，變形得 因?yàn)?#160;，所以&#

6、160; 由此可知，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列. 由,  所以, 所以, 所以.（2） ，所以 將 代入得  由此可知，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，它的首項(xiàng)， 故.（3），所以  當(dāng)n2時(shí)， 由于也適合此公式， 故所求的前n項(xiàng)和公式是.【變式1】設(shè)數(shù)列首項(xiàng)為1，前n項(xiàng)和滿足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的公比為，作數(shù)列，使，求的通項(xiàng)公式.【答案】（1）， ，  又 ， 是一個(gè)首項(xiàng)為1公比為的等比數(shù)列； （2） 是一個(gè)首項(xiàng)為1公比為的等差比數(shù)列  【變式2】若, ()，求.【答案】當(dāng)n2時(shí)，將代入,

7、, 整理得 兩邊同除以得 （常數(shù)） 是以為首項(xiàng)，公差d=2的等差數(shù)列，  ，  .【變式3】等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和，若.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】為等差數(shù)列，公差設(shè)為, , , , 若，則, . ，  , , ,   -得 1（2008四川）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.（）求；（）證明：是等比數(shù)列；（）求的通項(xiàng)公式.解析：（）因?yàn)椋芍?所以，（）由題設(shè)和式知所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.（）2（2008全國(guó)II）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為已知，（）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若，求的取值范圍解析：（）依題意，即，由此得因此，所求通項(xiàng)公式為，（）由

8、知，于是，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，又綜上，所求的的取值范圍是3（2008天津）已知數(shù)列中，且（）設(shè)，證明是等比數(shù)列；（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若是與的等差中項(xiàng)，求的值，并證明：對(duì)任意的，是與的等差中項(xiàng)解析：（）由題設(shè)，得，即又，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列（）由（），將以上各式相加，得所以當(dāng)時(shí)，上式對(duì)顯然成立（）由（），當(dāng)時(shí)，顯然不是與的等差中項(xiàng)，故由可得，由得 整理得，解得或（舍去），于是另一方面，由可得所以對(duì)任意的，是與的等差中項(xiàng)4（2008陜西）已知數(shù)列的首項(xiàng)，（）求的通項(xiàng)公式；（）證明：對(duì)任意的，；（）證明：解析：（），又，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，（）由（）知，原不等式成立另解：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最大值原不等式成立（）由（）知，對(duì)任意的，有 令，則，原不等式成立5已知數(shù)列中，, ()，求通項(xiàng)公式.解析：將遞推關(guān)系整理為  兩邊同除以得 當(dāng)時(shí)， ， 將上面?zhèn)€式子相加得到：  ，即，  （）. 當(dāng)時(shí)，符合上式 故.7已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且，求的通項(xiàng)公