1、概率論與數理統計期末復習20題及解答【第一章】隨機事件與概率1、甲袋中有4個白球3個黑球，乙袋中有2個白球3個黑球，先從甲袋中任取一球放入乙袋，再從乙袋中任取一球返還甲袋.求經此換球過程后甲袋中黑球數增加的概率.2、某人忘記了電話號碼的最后一個數字，因而他隨意地撥號，求此人撥號不超過兩次而接通所需電話的概率.3、已知將0,1兩字符之一輸入信道時輸出的也是字符0或1,且輸出結果為原字符的概率為u(09<1).假設該信道傳輸各字符時是獨立工作的.現以等概率從“101”，“010”這兩個字符串中任取一個輸入信道.求輸出結果恰為“000”的概率.4、試卷中的一道選擇題有4個答案可供選擇，其中只有

2、1個答案是正確的.某考生如果會做這道題,則一定能選出正確答案；若該考生不會做這道題，則不妨隨機選取一個答案.設該考生會做這道題的概率為0.85.(1)求該考生選出此題正確答案的概率；(2)已知該考生做對了此題，求該考生確實會做這道題的概率.【第二章】隨機變量及其分布5、設連續隨機變量X的分布函數為F(x)=A+Barctanx,一°°<xm+r.(1)求系數A及B;(2)求X落在區間(-1,1)內的概率；(3)求X的概率密度.6、設隨機變量X的概率密度為f(x)='ax,0<x<1,0,其它，求：(1)常數a；(2)P(0.5<X<1.

3、5);(3)X的分布函數F(x).7、設二維隨機變量(X,Y)的聯合概率密度為f(x,y)A(1+xy),0,x<1,y<1;其它.求：(1)系數A；(2)X的邊緣概率密度fX(x);(3)概率P(YEX2).8、設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為1,0<x<1,0<y<2x;0,其它.1求：(1)(X,Y)的邊緣概率密度fX(x),fY(y);概率P(X工萬，YM1)；(3)判斷X,Y是否相互9、設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，XU0,0.2,Y的概率密度函數為fY(y)=</c7y5eQy0,y<0.(1)求X和丫的聯合概率密度f(x,y

4、)；(2)求概率P(Y<X).【第三章】數字特征10、設隨機變量X的概率密度為(a-b)xb,0三xW1,f(x)=<a(2x),1<x<2,0,其它，一，.1.已知E(X)=,求：(1)a,b的值；(2)E(2X+3).11、設隨機變量X的概率密度為求：(1)常數A；(2)E(X)和D(X).f(x)=(rA-2xAe0,(1)求X,Y的數學期望E(X),E(Y),方差D(X),D(Y).(2)求X,Y的協方差cov(X,Y)與相關系數R(X,Y).【第四章】正態分布13、假設某大學學生在一次概率論與數理統計統考中的考試成績X(百分制)近似服從正態分布，已知滿分為10

5、0分平均成績為75分，95分以上的人數占考生總數的2.3%.(1)試估計本次考試的不及格率(低于60分為不及格)；(2)試估計本次考試成績在65分至85分之間的考生人數占考生總數的比例.已知；乂1)：0.8413，中(1.5)：0.9332,中(2)=0.977214、兩臺機床分別加工生產軸與軸襯.設隨機變量X(單位：mm)表示軸的直徑，隨機變量Y(單位：mm)表示軸襯的內徑，已知XN(50,0.32),YN(52,0.42),顯然X與Y是獨立的.如果軸襯的內徑與軸的直徑之差在13mm之間，則軸與軸襯可以配套使用.求任取一軸與一軸襯可以配套使用的概率.已知6(2)%0.9772【第五章】數理統

6、計基本知識15、設總體XN(0,1),Xi,X2，X5是來自該總體的簡單隨機樣本，求常數k>0使tk(X12X2)T=t(3).X；X2X5216、設總體XN(40,52),從該總體中抽取容量為64的樣本，求概率P(|X-40|<1).【第六章】參數估計17、設總體X的概率密度為f（x；）=0,x,2,其它，其中參數Z>0.設Xi,X2，Xn是取自該總體的一組簡單隨機樣本,xi,X2，Xn為樣本觀測值(1)求參數九的矩估計量.(2)求參數九的最大似然估計量.18、設總體X的概率密度為1-xf（X；）=xe0,x0;x三0,其中參數Z>0.設X1,X2，Xn是取自該總體的

7、一組簡單隨機樣本，K,x2,，xn為樣本觀測值(1)求參數兒的最大似然估計量.(2)你得到的估計量是不是參數九的無偏估計，請說明理由【第七章】假設檢驗19、矩形的寬與長之比為0.618(黃金分割)時將給人們視覺上的和諧美感.某工藝品廠生產矩形裱畫專用框架.根據該廠制定的技術標準，一批合格產品的寬與長之比必須服從均值為N0=0.618的正態分布.現從該廠某日生產的一批產品中隨機抽取25個樣品，測得其寬與長之比的平均值為7=0.646,樣本標準差為s=0.093.試問在顯著性水平a=0.05水平上能否認為這批產品是合格品？20、已知某種口服藥存在使服用者收縮壓(高壓)增高的副作用.臨床統計表明，在

8、服用此藥的人群中收縮壓的增高值服從均值為為=22(單位：mmHg，毫米汞柱)的正態分布.現在研制了一種新的替代藥品，并對一批志愿者進行了臨床試驗.現從該批志愿者中隨機抽取16人測量收縮壓增高值，計算得到樣本均值x=19.5(mmHg),樣本標準差s=5.2(mmHg).試問這組臨床試驗的樣本數據能否支持“新的替代藥品比原藥品副作用小”這一結論(取顯著性水平a=0.05).解答部分【第一章】隨機事件與概率1、甲袋中有4個白球3個黑球，乙袋中有2個白球3個黑球，先從甲袋中任取一球放入乙袋，再從乙袋中任取一球返還甲袋.求經此換球過程后甲袋中黑球數增加的概率【解】設A表示“從甲袋移往乙袋的是白球”，B

9、表示“從乙袋返還甲袋的是黑球”，C表示“經此換球過程后甲袋中黑球數增加”，則C=AB,一431又P(A)=一,P(BA)=一,于是由概率乘法定理得所求概率為762一八、412P(C);P(AB);P(A)P(BA)=：；二;2、某人忘記了電話號碼的最后一個數字，因而他隨意地撥號，求此人撥號不超過兩次而接通所需電話的概率.【解】設A表示“此人第i次撥號能撥通所需電話”(i=1,2),A表示“此人撥號不超過兩次而接通所需電話”，則A=A+A1A2,由概率加法定理與乘法定理得所求概率為P(A)=P(A+AA2)=P(A)+P(AiA2)=P(A)P(X)P(A2A)=1010-0.2.3、已知將0,

10、1兩字符之一輸入信道時輸出的也是字符0或1,且輸出結果為原字符的概率為«(0<«<1).假設該信道傳輸各字符時是獨立工作的.現以等概率從“101”，“010”這兩個字符串中任取一個輸入信道.求輸出結果恰為“000”的概率.【解】設人：輸入的是“101”，A2:輸入的是“010”，B：輸出的是“000”，則P(A)=1/2,P(Az)=1/2,P(B|A)=(1s)%,P(BA2)=o(2(1口)，從而由全概率公式得P(B)=P(AJP(BA1)P(A2)P(BA2)1“、212、1-、(1-：)?,?(1-：)=：(1-：).2224、試卷中的一道選擇題有4個答

11、案可供選擇，其中只有1個答案是正確的.某考生如果會做這道題,則一定能選出正確答案；若該考生不會做這道題，則不妨隨機選取一個答案.設該考生會做這道題的概率為0.85.(1)求該考生選出此題正確答案的概率；(2)已知該考生做對了此題，求該考生確實會做這道題的概率.【解】設A表示“該考生會解這道題”，B表示“該考生選出正確答案”，則P(A)=0.85,P(A)=0.2,P(BA)=1,P(B|A)=0.25.(1)由全概率公式得P(B)=P(A)P(BA)P(A)P(B|A)=0.85x1+0.2x0.25=0.9.(2)由貝葉斯公式得P(AB)=PM=3J.0.944.P(B)0.918【第二章】

12、隨機變量及其分布5、設連續隨機變量X的分布函數為F(x)=A+Barctanx,-00<x<.(1)求系數A及B;(2)求X落在區間(1,1)內的概率；(3)求X的概率密度.【解】(1)由分布函數的性質可知F(-°°)=四/(x)=A+B(-)=0,FD=JimcF(x)=A+B.；=1,一11由此斛得A=，B=.2二(2) X的分布函數為11,、F(x)=十arctanx(g<x<),2二于是所求概率為11111P(-1<X<1)=F(1)-F(-1)=(+arctan1)-(-+-arctan(-1)=.2二2二2(3) X的概率密度

13、為f(x)=F(x)12""二(1x)6、設隨機變量X的概率密度為ax,0,0<x<1,其它(3)當x<0時，有當0Wx<1時，有當x21時，有所以，X的分布函數為f(x,y)=<A(1+xy),0,x<1,'y,<1;其它.求：(1)常數2；(2)P(0.5<X<1.5);(3)X的分布函數F(x).【解】(1)由概率密度的性質可知1,a,J"(x)dx=|oaxdx=1,由此得a=2.13/291(2)P(0.5<X<1.5)=(2xdx+(0dx=x2+0=0.75.J1/211/2x

14、F(x)=J0dx=0；0X2F(x)=00dx+J。2xdx=x;01xF(x)=Odx-i2xdx，I0dx=1.0,x:二0,F(x)42,0<x：二1,1,x-1.7、設二維隨機變量(X,Y)的聯合概率密度為求：(1)系數慶；(2)X的邊緣概率密度fX(x);(3)概率P(YEX2).【解】(1)由聯合概率密度的性質可知二二11L匚f(x,y)dxdy=dxJA(1+xy)dy=4A=1,-41由此得a=L4(2)當1<x<1時，有11xy1fX(x)=Lf(x,y)dy=f-dy=-；142當xE1或x21時，顯然有所以X的邊緣概率密度fx(X)=(3)fx(x)=

15、0.1/2,0,-1：x:：1;其它.1.x1xv.11.1aox.2P(YEX2)=jjf(x,y)dxdy=LdxL-dy=f(x5+x2+1)dx=-.2乙乙y與8、設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)=Iu,0:x：1,0:二y:2x;其它.求：(1)(X,Y)的邊緣概率密度fX(x),獨立.1fY(y)；概率P(X<-,Y<1)；(3)判斷X,丫是否相互2【解】(1)當0<x<1時，有二二2xfX(x)=f(x,y)dy=0dy=2x;當xW0或x占1時，顯然有fX(x)=0.于是X的邊緣概率密度為2x,fX(x)=u,0:二x：1;其它.當0&l

16、t;y<2時，有My)1二j-f(x,y)dx=ydx£10Q2當yW0或y之2時，顯然有于是Y的邊緣概率密度為fY(y)=0.10<y<2；fY(y)=X2,0y；0,其它.111/211/21P(x<-,Y<1)=晨dyL0f(x,y)dx=jdyj2dx=：-_uy/2(3)容易驗證f(x,y)豐fX(x)fY(y),故X與Y不獨立.9、設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，XU0,0.2,Y的概率密度函數為fY(y)=，5eo,-5y(2)求X和Y的聯合概率密度f(x,y);(2)求概率【解】(1)由題意知，X的概率密度函數為,y0,y<0.P

17、(Y<X).fX(x)=0:二x:二0.2;其它.因為X和Y相互獨立，故X和Y的聯合概率密度f(x,y)=fX(x)fY(y)=«25e。0:二x:二0.2,y0;其它.(2)P(Y三X)=0.2x50.251f(x,y)dxdy=0dx025e-ydy=50(1-e-x)dx=e-y<x【第三章】數字特征10、設隨機變量X的概率密度為(a-b)xbf(x)=a(2-x),0,0MxM1,1<x<2,其它，一一1.已知E(X)=，求：(1)a,b的值；(2)E(2X+3).2【解】(1)由概率密度的性質可知f(x)dx=0(a-b)xbdx，11a(2-x)d

18、x一a4=1-HeE(X)=xf(x)dx=°(a-b)xbxdx-ia(2-x)xdx工聯立方程組叱，b16一2,解得b-3'b-2(2)由數學期望的性質，有E(2X3)=2E(X)31=2十3=4.211、設隨機變量X的概率密度為Ae'x0，x0,x<0.求：(1)常數A;(2)E(X)和D(X).【解】(1)由概率密度的性質可知_.f(x)dx-由此得(2)由數學期望公式得-beE(X)=0x2x=t-2x.2edx二1二,1一tedt=r(2)20299_2vE(X2)=.°x22edx2x±14由于111tedt=r(3)=-,2!

19、=一,)442故利用方差計算公式得22112D(X)=E(X)-E(X)=2-(金)12、設(X,Y)的聯合概率分布如下:_Y0101/4011/41/2(1)求X,Y的數學期望E(X),E(Y),方差D(X),D(Y).(2)求X,Y的協方差cov(X,Y)與相關系數R(X,Y).【解】由(X,Y)的聯合概率分布知X,Y服從"0-1"分布：P(X=0)=1/4,P(X=1)=3/4,P(Y=0)=1/2,P(Y=1)=1/2,由"0-1"分布的期望與方差公式得E(X)=3/4,D(X)=3/4(1-1/4)=3/16,E(Y)=1/2,D(Y)=1/2

20、(1-1/2)=1/4,由(X,Y)的聯合概率分布知E(XY)=001/4010101/4111/4=1/2,從而cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=1/2-3/41/2=1/8,R(XY)_cov(X-1/8J'3，.D(X).D(Y).3/161/43【第四章】正態分布13、假設某大學學生在一次概率論與數理統計統考中的考試成績X(百分制)近似服從正態分布，已知滿分為100分平均成績為75分，95分以上的人數占考生總數的2.3%.(1)試估計本次考試的不及格率(低于60分為不及格)；(2)試估計本次考試成績在65分至85分之間的考生人數占考生總數的比例.已知(1)：0.8

21、413,中(1.5)：0.9332,中(2)=0.97722.【解】由題意，可設X近似服從正態分布N(75,。).已知P(X至95)=2.3%,即.95-75.20P(X>95)=1-P(X<95)=19()=1中()=2.3%,(J0一2020由此得6(-0)=0.977，于是-0定2,仃定10,從而近似有XN(75,102).acr(1)P(X<60)=G(60-75)=6(-1.5)=1-G(1.5)定1-0.9332=0.0668,10由此可知，本次考試的不及格率約為6.68%.(2)P(65<X三85)=：，(8575)-：，(6575)1010=6(1)-6

22、(-1)=2(1)-1%2M0.8413-1=0.6826,由此可知，成績在65分至85分之間的考生人數約占考生總數的68.26%.14、兩臺機床分別加工生產軸與軸襯.設隨機變量X(單位：mm)表示軸的直徑，隨機變量Y(單位：mm)表示軸襯的內徑，已知XN(50,0.32),YN(52,0.42),顯然X與Y是獨立的.如果軸襯的內徑與軸的直徑之差在13mm之間，則軸與軸襯可以配套使用.求任取一軸與一軸襯可以配套使用的概率.已知中(2)之0.9772【解】設Z=Y_X,由X與Y的獨立性及獨立正態變量的線性組合的性質可知,_2、Z=YXN(52-50,0.3+0.4),即ZN(2,0.52),于是

23、所求概率為3-21-2P(1<Z<3)=：1()一中()=中(2)-中(一2)0.50.5=2。(2)-1：20.9772一1=0.9544.【第五章】數理統計基本知識15、設總體XN(0,1),X-X2，X5是來自該總體的簡單隨機樣本，求常數k>0使亍t(3).5日k(X12X2)I二,X3X4X【解】由XN(0,1)知Xi+2X2N(0,5),于X12X212-N(0,1),、5又由72分布的定義知所以X3x4x52_2(3),(X12X2)/.5,(X；X：X；)/3X12X2比較可得k二2、16、設總體XN(40,5),從該總體中抽取容量為64的樣本，求概率P(|X-

24、40|<1).從而【解】由題設N=40,仃=5,n=64,于X-X-40N(0,1)X-408P(|X-40|<1)(|-|<8)5/85二P(|u|：二8)=2。(1.6)-1:20.9452-1=0.8904.5【第六章】參數估計17、設總體X的概率密度為f(x;')='e-yX-2,I0,其它,OX2,，Xn為樣本觀測值.其中參數(1)(2)九>0.設Xi,X2，Xn是取自該總體的一組簡單隨機樣本,求參數九的矩估計量.(1)E(X)=J-xf(x,')dx=12_'(x-12)xedxX-2=t=九0(t+2)e-Adt=1求參數九

25、的最大似然估計量.1令X=E(X)，即X=丁+2,解得參數九的矩估計量為X-2(2)樣本似然函數為L(7J=口f(X,K)=n，"'"n_CxiNn)ni1二1e一,上式兩邊取對數得nlnL(-)=nln>Xii1-2n),上式兩邊對九求導并令導數為零得dlnL()n、c(xi-2n)=0,d.in27yxi二1，(2)E(X)=l3x'T/'dx：cX1-11E(?=E(!)=2E(X)=2E(X)=22=n1一一解得九=一，從而參數九的最大似然估計量為Zx-2nx-2i4X-218、設總體X的概率密度為f(x；-)-I；Jxe0，x<0,其中參數(1)(2)人0.設X1,X2，Xn是取自該總體的一組簡單隨機樣本求參數兒的最大似然估計量.你得到的估計量是不是參數九的無偏估計，請說明理由.,%x2，xn為樣本觀測值.【解】(1)樣本似然函數為xiexin1-、Xi,i-1xie一上式兩邊取對數得nlnL(1)=-2nIn2：Ini1求導數得dln2nL(1):令lnL(K)=0解得九d,于是參數人的極大似然估計量為【第七章】假設檢驗19、矩形的寬與長之比為0.618（黃金分割）時將給人們視覺上的和諧美感.某工藝品廠生產矩形裱畫專用框