1、學習必備歡迎下載計數原理課表要求1、會用兩個計數原理分析解決簡單的實際問題；2、理解排列概念，會推導排列數公式并能簡單應用；3、理解組合概念，會推導組合數公式并能解決簡單問題；4、綜合應用排列組合知識解決簡單的實際問題；5、會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題；6、會用二項式定理求某項的二項式系數或展開式系數， 會用賦值法求系數之和。突破方法1加強對基礎知識的復習，深刻理解分類計數原理、分步計數原理、排列組合 等基本概念，牢固掌握二項式定理、二項展開式的通項、二項式系數的性質。 2加強對數學方法的掌握和應用，特別是解決排列組合應用性問題時，注重方 法的選取。比如：直接法、間接法等；幾何

2、問題、涂色問題、數字問題、其他實 際問題等；把握每種方法使用特點及使用范圍等。3重視數學思維的訓練，注重數學思想的應用，在解題過程中注重化歸與轉化 思想的應用， 將不同背景的問題歸結為同一個數學模型求解； 注重數形結合、 分 類討論思想、整體思想等，使問題化難為易。知識點1、分類加法計數原理完成一件事， 有 n 類不同方案， 在第 1 類方案中有 種不同的方法， 在第 2類辦法中有 種不同的方法，在第 n 類辦法中有 種不同的方法。那么完 成這件事共有： N= + + + 種不同的方法。注意：（1 ）分類加法計數原理的使用關鍵是分類，分類必須明確標準， 要求每一種方法必須屬于某一類方法， 不同

3、類的任意兩種方法是不同的方法， 這時分類問題中所要求的“不重復” 、“不遺漏”。（2）完成一件事的 n 類辦法是相互獨立的。從集合角度看，完成一件事分A、B 兩類辦法，則 A B= ,A B=I（I 表示全集）。3）明確題目中所指的“完成一件事”是指什么事，完成這件事可以有哪 些辦法，怎樣才算是完成這件事。2、分步乘法計數原理完成一件事，需要n個步驟，做第1步有 種不同的方法，做第 2步有 種不同的方法，做第 n 步有 種不同的方法，那么完成這件事共有：N= · ·· 種不同的方法。注意：（1）明確題目中所指的“做一件事”是什么事，單獨用題中所給的某種方法是不是能

4、完成這件事，是不是要經過幾個步驟才能完成這件事。（2）完成這件事需要分成若干個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事，缺少哪一步，這件事都不可能完成。（3）根據題意正確分步，要求各步之間必須連續，只有按照這幾步逐步去做，才能完成這件事，各步之間不能重復也不能遺漏。3、分類加法計數原理與分步乘法計數原理的聯系與區別 聯系：兩個計數原理，都是關于完成一件事的不同方法種數的問題。 區別：分類計數原理與分類有關， 各種方法相互獨立， 用其中任何一種方法 都可以完成這件事； 分步計數原理與分步有關， 各個步驟相互依存， 只有各個步 驟都完成了，這件事才算完成。分類計數原理與分步計數原理體現了解決問題

5、時將其分解的兩種常用方法，即分步解決或分類解決，是推導排列數與組合數計算公式的依據。要注意“類”間互相獨立，“步”間互相聯系。4、解決基本計數原理問題所用的思想方法及技巧（1）建模法：建立數學模型，將排列組合問題轉化為數學問題，是計數方 法中的基本方法。（2）枚舉法：利用枚舉法（如樹狀圖）可以使問題的分析更直觀、清楚， 便于發現規律，從而形成恰當的分類或分步的設計思想。總之，對于一些較復雜的既要用分類加法計數原理又要用分步乘法計數原理 的問題，恰當地畫出表格， 合理建模或用樹狀圖枚舉全部結果是解決問題的基本 思想方法。5、兩個原理的綜合運用（1）必須分清楚兩個原理的條件和結論。 如果完成一件事

6、情有兩類方案， 這兩類方案彼此之間是相互獨立的， 無論哪 一類方案中的哪一種方法都能單獨完成這件事情，求完成這件事情的方法種數，就用分類計數原理。如果完成一件事情需要分成幾個步驟， 各個步驟都是不可缺少的， 需要依次 完成所有步驟， 才能完成這件事情， 而完成每一個步驟有若干種不同的方法， 求 完成這件事情的方法種數就用分步計數原理。（2）在解決具體問題時，首先必須弄清楚是“分類”還是“分步” ，接著還 要清楚“分類”或者“分步”的具體標準是什么簡單地說“分類互斥” “分步互 依”，關鍵是看能否獨立完成這件事。與此同時還要注意分類、分步不能重復和 遺漏。（3）對于較為復雜的既要用分類計數原理，

7、又要用分步計數原理的問題， 我們可以根據題意恰當合理的畫出示意圖或列出表格， 使問題的實質直觀地顯現 出來，從而便于我們解題。（4）分類計數原理和分步計數原理是排列、組合問題的最基本的原理，同 時也是推導排列數、 組合數公式的理論依據， 還是求解排列、 組合問題的基本思 想方法。6、排列與排列數公式從n 個不同元素中，任取 m（mn）個元素（這里的被取元素各不相同） 按照一定的順序排成一列，叫做從 n個不同元素中取出 m 個元素的一個排列。注意：（ 1）排列定義包含兩個基本內容：一是“取出元素” ，二是“按照一 定順序”排列。（2）定義中“一定順序”就是說與位置有關，在實際問題中，要由具體問

8、題的性質和條件決定，這一點是與組合的根本區別。7、排列數從 n 個不同元素中取出 m（mn）個元素排成一列， 稱為從 n 個不同元素中取 出 m 個元素的一個排列 .從 n 個不同元素中取出 m 個元素的一個排列數， 用符號 Anm 表示。排列數公式：Am n（n 1） （n m 1） n! （m n, n,m N）（ n m）!注意：我們把正整數由 1 到 n 的連乘積，叫做 n 的階乘，用 n！表示。規定 0！=1。當 m=n 時， n 個不同元素全部取出的一個排列，叫做 n 個不同元素的一個 全排列，記為 Ann n（n 1）（n 2） 2 1 n!注意：（1）排列數公式 Am n（n

9、1） （n m 1）適（用n 于n!m具）!體（m計算n, n以, m及解N當 m 較小時含排列數的方程和不等式。 在運用該公式時要注意它的特點： 第一個因數是n ，最后一個因數是 n-m+1 ，共 m 個連續自然數的連乘積。（2）排列數公式 = ，適用于與排列數有關的證明、 解方程、 解不等式等，在具體運用時，則應注意先提取公因式，再計算，同時還要注意隱 含條件“ m n，m， n”的運用。8、排列的應用8.1 解排列應用題的基本思想：解簡單的排列應用題首先必須認真分析理解題意， 看能否把問題歸結為排列 問題，即是否有順序。如果是的話，再進一步分析，這里 n 個不同的元素指的是 什么，以及從

10、 n 個不同的元素中任取 m個元素的每一種排列對應的是什么事情， 然后才能運用排列數公式求解。8.2 對于有限制條件的排列應用題，要注意：（1）排列的有序性；（2）對受限制條件的位置與元素首先排列，并適當選用直接發或間接法；（3）從位置出發的“填空題”和不相鄰問題的“插空法”是解答排列應用 題中常用的方法。某些元素的相鄰問題，常用“捆綁法” ，先看成一個元素；（4）要注意通過排列應用題， 神話對分類計數原理和分步計數原理的理解， 培養“全局分類”和“局部分布”意識。8.3 在有些排列問題中，某些元素的前后順序是固定的（但不一定相鄰） 。 解決這類某些元素順序確定的問題的基本方法有兩種：一是整體

11、法，即若有 m+n 個元素排成一列， 其中有 m個元素之間的順序固定不變， 將這 m+n個元素任意排 成一列，共有 種不同的排法，然后任取一個排列，固定其他的 n 個元素的位置不動，把著 m 個元素交換順序，共有 種排法，其中只有一個排列是我們需要的，因而共有種不同的排法。二是插空法，即逐步插空法9、組合從 n 個不同的元素中任取 m（mn）個元素并成一組， 叫做從 n 個不同元素中 取出 m個元素的一個組合 .注意：（ 1）取出的 m 個元素不講究順序，也就是說元素沒有位置的要求， 無序性是組合的本質（2）組合與排列的異同：組合與排列的相同點是“從 n 個不同元素中任意 取出 m 個不同元素

12、”；不同點是組合“不管元素的順序并成一組” ，而排列要求 元素“按照一定的順序排成一列” ，因此區分某一問題是組合還是排列，關鍵是 看取出的元素有無順序。10、組合數與組合數公式從 n 個不同元素中取出 m（ m n）個元素的所有組合的個數，叫做從 n 個不 同元素中取出 m個元素的組合數，用符號表示。組合數公式：Cnm Anm n（n 1）（n 2） （n m 1） 或 Cmnn! （n,m N ,且m n）Ammm! m!（n m）!規定： =1。注意：（1）組合與組合數是兩個不同的概念。（2）在公式 中，我們規定 0！=1 ，因而有 = 1，同樣 =1.11、組合數的兩個性質性質 1：

13、Cnm Cnn m一般地，從 n 個不同元素中取出 m個元素后，剩下 n m個元素因為從 n 個不同元素中取出 m個元素的每一個組合，與剩下的 n m個元素的每一個組合 一一對應，所以從 n個不同元素中取出 m個元素的組合數， 等于從這 n個元素中 取出 n m個元素的組合數， 即：Cnm Cnn m 在這里，主要體現：“取法”與“剩 法”是“一一對應”的思想注意：（1）該性質反映了組合數的對稱性。（2）若 m > ，通常不直接計算，而改為計算 。性質 2：Cnm1Cnm+Cnm 1一般地，從 a1, a2, , an 1這 n+1 個不同元素中取出 m 個元素的組合數是Cnm 1 ，這

14、些組合可以分為兩類：一類含有元素 a1，一類不含有 a1含有 a1的組 合是從a2,a3, ,an 1這n個元素中取出 m 1個元素與 a1組成的，共有 Cnm1個；不含有 a1的組合是從 a2,a3, , an 1這 n 個元素中取出 m個元素組成的，共有 Cnm 個根據分類計數原理，可以得到組合數的另一個性質在這里，主要體現從特 殊到一般的歸納思想， “含與不含其元素”的分類思想注意：（1）左端下標為 n+1 ，右端下標都為 n ，相差 1 ；上標左端與右端的 一個一樣，右端的另一個比它們少 1.（2）要注意性質 Cnm1 Cnm+Cnm 1的順用、逆用、變形應用，順用是將一個組合數拆成兩

15、個，逆用則是“合二為一”m 1 m m（3）變形： Cnm 1Cnm1- Cnm。12、幾個常用組合數公式Cn0 C n1 Cn2C nn 2nC0n C2n C4nCn1 Cn3 C5n2n 1m1mn1kCkn nCk1n1m m m m C n Cm 1 Cm 2Cm n Cn1k1n11k113、組合的應用13.1 有限制條件的組合應用題（1）有限制條件的組合問題的限制條件主要表現在取出的元素中“含”或 “不含”某些元素，通常用直接法或間接法。解決該類問題用“直接法”時，要 注意合理分類，用“間接法”時，要注意“至少” “最多”“恰好”等詞語的含義， 做到既不重復又不遺漏。（2）有關排

16、列、組合的混合問題，應遵循先選后排的原則。（3）解答排列組合應用題的總體思路是：整體分類；局部分布；辯 證地看待元素的位置；一些具體問題有時需要把它抽象成組合模型。13.2 幾何中的組合應用問題（1）解決幾何圖形中的組合問題，首先應注意運用處理組合問題的常規方 法分析、解決問題， 其次要從不同類型的幾何問題中抽象出組合問題， 往往尋找 一個組合的模型加以處理。（2）圖形多少的問題通常是組合問題，要注意共點、共線、共面、異面等 情形，防止多算。常用直接法，也可采用排除法。（3）在處理幾何問題中的組合問題時，應將幾何問題抽象成組合問題來解 決。13.3 分組、分配問題分組問題和分配問題是有區別的：

17、 在分組問題中， 組與組之間只要元素個數相同即可；而在分配問題中，即使兩個組元素個數相同，但因人不同，仍然是可區分的。對于這類問題， 必須遵循先分組后排列， 若平均分 m組，則分法 =.13.4 若干集合中選取元素問題 對比較復雜的在若干集合中選取元素的問題， 一般需分類求解。 只要能運用 分類思想正確地對待所選法分類， 又能正確地根據題目要求合理地考察步驟， 就 可以順利地求得答案。在分類時，要注意做到既不重復又不遺漏。14、解決排列組合綜合題常用的方法與技巧14.1 關于排列組合問題的一些解題技巧： 特殊元素優先安排； 合理分類與準確分步； 排列、 組合混合問題先選 后排；相鄰問題捆綁處理

18、；不相鄰問題插空處理；定序問題除法處理； 分排問題直排處理；“小集團”排列問題先整體后局部；構造模型；正難 則反、等價轉化。對于無限制條件的排列組合問題應遵循兩個原則：一是按元素的性質分類， 二是按時間發生的過程進行分步。 對于有限制條件的排列組合問題， 通常從以下 三個途徑考慮： 以元素為主考慮， 即先滿足特殊元素的要求， 再考慮其他元素； 以位置為主考慮， 即先滿足特殊位置的要求， 再考慮其他位置； 先不考慮限 制條件，計算出排列或組合數，再減去不符合要求的排列或組合數。14.2 排列、組合問題幾大解題方法：（1）直接法；（2）排除法；（3）捆綁法： 在特定要求的條件下， 將幾個相關元素當

19、作一個元素來考慮， 待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列。它主要用于解決“元素相鄰問題”（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩 端的空檔中，此法主要解決“元素不相鄰問題” ；（5）占位法：從元素的特殊性上講，對問題中的特殊元素應優先排列，然 后再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對問題中的特殊位置應優先考慮， 然后再排其他剩余位置。即采用“先特殊后一般”的解題原則；（6）調序法：當某些元素次序一定時，可用此法；（ 7）平均法：若把 kn 個不同元素平均分成 k 組，每組 n 個，共有nkn(k 1)n8）隔板法：常用于解正整數解組數的問題；9）定位問題：從 n

20、個不同元素中每次取出 k 個不同元素作排列規定某 r個元素都包含在內，并且都排在某 r 個指定位置則有 ArrAkn rr ；10）指定元素排列組合問題：從 n 個不同元素中每次取出 k 個不同的元素作排列（或組合） ，規定某 r 個元素都包含在內。先 C后 A 策略，排列 CrrCnk rr Akk ；組合 CrrCkn rr ；從 n 個不同元素中每次取出 k 個不同元素作排列（或組合） ，規定某 r 個 k k k 元素都不包含在內。先 C后 A 策略，排列 Cn rkAkk ；組合 Cn kr ； 從 n 個不同元素中每次取出 k 個不同元素作排列（或組合） ，規定每個排 列（或組合）

21、都只包含某 r個元素中的 s個元素。先 C后 A策略，排列 CrsCnk rsAkk ； s k s組合 C r C n r 。15. 二項式定理一般地，對于任意正整數 n，都有（a b）n Cn0an Cn1anbCnr an r brCnnbn（n N ）這個公式就叫做二項式定理，右邊的多項式叫做 （a b）n 的二項展開式。其中各項的系數 Cnr （r 0,1,2, ,n） 叫做二項式系數 。注意：（ 1）二項展開式有 n+1 項；（2）二項式系數與二項展開式系數是兩個不同的概念；（3）每一項的次數是一樣的，即為 n 次，展開式依 a 的降幕排列， b 的升 幕排列展開；（4）二項式定理

22、通常有如下變形：（a b）n Cn0an C1nan 1b（ 1）r Cnran rbr（ 1）nCnnbn；（1 x）n 1 Cn1x1 Cn2x2Cnr xrxn；（5）要注意逆用二項式定理來分析問題、解決問題。16、二項展開式的通項公式r n r r r二項展開式的第 n+1 項Tr 1 Cnran r bCrnr （r 0,1,2, , n）叫做二項展開式的通項公式。它體現了二項展開式的項數、系數、次數的變化規律，是二項式定理 的核心，它在求展開式的某些特定的項及其系數方面有著廣泛的應用。注意：（1 ）通項公式表示二項展開式的第 r+1 項，該項的二項式系數是 ，而不是 ；（2）字母 b 的次數和組合數的上標相同；（3）a 與 b 的次數之和為 n 。17、二項式系數的