1、7-7-2.容斥原理之重疊問題（二）7-7-2.容斥原理之重疊問題（二）.題庫page 1 of 7教師版且M任 教學目標1 . 了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內容；2 .掌握容斥原理的在組合計數等各個方面的應用.目雄生知識要點一、兩量重疊問題在一些計數問題中，經常遇到有關集合元素個數的計算.求兩個集合并集的元素的個數， 不能簡單地把兩個集合的元素個數相加，而要從兩個集合個數之和中減去重復計算的元素個數，即減去交集的元素個數，用式子可表示成：AUB=A+B_Ap|B （其中符號“ U ”讀作“并”，相當于中文“和”或者“或”的意思；符號“ p ”讀作“交”，相當于中文“且”的 意思.）則稱這

2、一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理.圖示如下：A表示小圓部分，B表示大圓部分，C表示大圓與小圓的公共部分，記為：ARB,即陰影面積.圖示如下：A表示小圓部分，B表示大圓部分，C表示大圓與小圓的公共部分， 記為：AB,即陰影面積.廠，包含一一A + B重疊部分AR B計算了 2次，多加了 1次;2.再排除一一A+B-AP B把多加了 i次的重疊部分ad b減去.包含與排除原理告訴我們，要計算兩個集合A、B的并集AUB的元素的個數，可分以下兩步進行：第一步：分別計算集合 A B的元素個數，然后加起來，即先求A + B （意思是把A B的一切元素都“包含”進來，加在一起）；第二步：從上面的和中減去

3、交集的元素個數，即減去c=aDb （意思是“排除” 了重復計算的元素個數）.二、三量重疊問題A類、B類與C類元素個數的總和 =A類元素的個數 +B類元素個數+C類元素個數- 既是A類又是B類的元素個數 -既是B類又是C類的元素個數 -既是A類又是C類的元素 個數十同時是A類、B類、C類的元素個數.用符號表示為： a UB Uc =a+b +c aPIb bDc -aPIc +AnBDc .圖示如下：圖中小圓表示 A的元素的個數，中圓表示 B的元素的個數, 大圓表示C的元素的個數._含:a+b+c重疊部分AP1B、BRC、CA重疊了 2次，多加了 1次.2.再排除：A + B+C-APB-BPC

4、-APC重疊部分ABriC重疊了 3次，但是在進行 A+B + C- aDbbPIc aCc計算時都被減掉了.3 再包含： A + B+C A：BB：C Ar|C+AH BR C一在解答有關包含排除問題時，我們常常利用圓圈圖（韋恩圖）來幫助分析思考.日班蚱 例題精講模塊一、三量重疊問題【例1】一棟居民樓里的住戶每戶都訂了2份不同的報紙。如果該居民樓的住戶只訂了甲、乙、丙三種報紙，其中甲報 30份，乙報34份，丙報40份，那么既訂乙報又訂 丙報的有 戶。【考點】三量重疊問題【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】希望杯，4年級，1試【解析】 總共有（30+34+40） +2=52戶居民，訂丙和乙的有

5、52 30=22戶。【答案】22戶【例2】 某班學生手中分別拿紅、黃、藍三種顏色的小旗，已知手中有紅旗的共有34人,手中有黃旗的共有 26人，手中有藍旗的共有 18人.其中手中有紅、黃、藍三種 小旗的有6人.而手中只有紅、黃兩種小旗的有9人，手中只有黃、藍兩種小旗的有4人，手中只有紅、藍兩種小旗的有3人，那么這個班共有多少人？【考點】三量重疊問題【難度】3星【題型】解答【解析】如圖，用A圓表示手中有紅旗的，B圓表示手中有黃旗的，C圓表示手中有藍旗的.如果用手中有紅旗的、有黃旗的與有藍旗的相加，發現手中只有紅、黃兩種小旗的各重復計算了一次，應減去，手中有三種顏色小旗的重復計算了二次，也應減去，那

6、么，全班人數為：（34+26+18）（9+4+3） 6M2=50（人）.【答案】50人【鞏固】 某班有42人，其中26人愛打籃球，17人愛打排球，19人愛踢足球，9人既愛打 籃球又愛踢足球，4人既愛打排球又愛踢足球，沒有一個人三種球都愛好，也沒有一個人三種球都不愛好.問：既愛打籃球又愛打排球的有幾人？【考點】三量重疊問題【難度】3星【題型】解答【解析】由于全班42人沒有一個人三種球都不愛好，所以全班至少愛好一種球的有42人.根據包含排除法，42 = （26+17+19）-（9+4 +既愛打籃球又愛打排球的人數）+0,得到既愛打籃球又愛打排球的人數為：4942=7 （人）.【答案】7人例3四年級

7、一班有46名學生參加3項課外活動.其中有24人參加了數學小組，20人 參加了語文小組，參加文藝小組的人數是既參加數學小組也參加文藝小組人數的 3. 5倍，又是3項活動都參加人數的 7倍，既參加文藝小組也參加語文小組的人 數相當于3項都參加的人數的2倍，既參加數學小組又參加語文小組的有10人.求參加文藝小組的人數.【考點】三量重疊問題【難度】3星【題型】解答【解析】 設參加數學小組的學生組成集合A,參加語文小組的學生組成集合B,參加文藝小組的學生組成集合 G三者都參加的學生有 z人.有|A|J B|JC| =46,|A=24B=20， C=3.5" a nq =7 ah b nc &q

8、uot; b nc 卜2 ah b n ca n b| =10.因為 | AU BUC = A +| B + C - Ap B - AC B 口。+| AQB AC , 所以 46=24+20+7x-10-2 x-2x+x,解得 x=3, 即三者的都參加的有 3人.那么參加文藝小組的有 3M7=21人.【答案】21人【鞏固】五年級三班學生參加課外興趣小組，每人至少參加一項.其中有25人參加自然興趣小組，35人參加美術興趣小組，27人參加語文興趣小組， 參加語文同時又參加 美術興趣小組的有 12人，參加自然同時又參加美術興趣小組的有8人，參加自然同時又參加語文興趣小組的有9人，語文、美術、自然

9、3科興趣小組都參加的有4人.求這個班的學生人數.【考點】三量重疊問題【難度】3星【題型】解答【A自然|： B美術C語文.【解析】 設參加自然興趣小組的人組成集合 A,參加美術興趣小組的人組成集合日，參加語 文興趣小組的人組成集合 C.|A=25, |B=35, |C=27, |BpC|=12, |aQb| =8, |ApC|=9,| aQ bHC| =4.|aUbUc|= A + B + C - aHb| - ApC - BnC+|AnBnCi .所以，這個班中至少參加一項活動的人有25+35+27-12-8-9+4=62 ,而這個班每人至少參加一項.即這個班有 62人.【答案】62人【鞏固】

10、 光明小學組織棋類比賽，分成圍棋、中國象棋和國際象棋三個組進行，參加圍棋比賽的有42人，參加中國象棋比賽的有 55人，參加國際象棋比賽的有 33人，同 時參加了圍棋和中國象棋比賽的有 18人，同時參加了圍棋和國際象棋比賽的有 10 人，同時參加了中國象棋和國際象棋比賽的有9人，其中三種棋賽都參加的有 5人，問參加棋類比賽的共有多少人？【考點】三量重疊問題【難度】3星【題型】解答【解析】 根據包含排除法，先把參加圍棋比賽的42人，參加中國象棋比賽的 55人與參加國際象棋比賽的33人加起來，共是42+55 + 33 =130人.把重復加一遍同時參加圍棋 和中國象棋的18人，同時參加圍棋和國際象棋的

11、10人與同時參加中國象棋和國際象棋的9人減去，但是，同時參加了三種棋賽的5人被加了 3次，又被減了 3次，其實并未計算在內，應當補上，實際上參加棋類比賽的共有：130 （18+10 +9） +5 =98（人）.或者根據學過的公式：A IJB IC =A+B+C AP|BBI1C AnC+ABnC，參加棋類比賽的總人數為：42 +55 +33 18 10 9 +5 = 98 （人）.【答案】98人例4新年聯歡會上，共有 90人參加了跳舞、合唱、演奏三種節目的演出.如果只參 加跳舞的人數三倍于只參加合唱的人數；同時參加三種節目的人比只參加合唱的人少7人；只參加演奏的比同時參加演奏、跳舞但沒有參加合

12、唱的人多4人；50人沒有參加演奏；10人同時參加了跳舞和合唱但沒有參加演奏；40人參加了合唱；那么，同時參加了演奏、合唱但沒有參加跳舞的有 人.【考點】三量重疊問題【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】西城實驗【解析】設只參加合唱的有x人，那么只參加跳舞的人數為 3x,由50人沒有參加演奏、10 人同時參加了跳舞和合唱但沒有參加演奏，得到只參加合唱的和只參加跳舞的人數和為50 10=40人，即x+3x = 40,得x=10,所以只參加合唱的有10人，那么只 參加跳舞的人數為30人，又由“同時參加三種節目的人比只參加合唱的人少7人”，得到同時參加三項的有 3人，所以參加了合唱的人中“同時參加了演奏、

13、合唱但沒 有參加跳舞的”有： 40-10-10-3=17人.【答案】17人【鞏固】 六年級100名同學，每人至少愛好體育、文藝和科學三項中的一項.其中，愛好 體育的55人，愛好文藝的56人，愛好科學的51人，三項都愛好的15人，只愛 好體育和科學的4人，只愛好體育和文藝的 17人.問：有多少人只愛好科學和文 藝兩項？只愛好體育的有多少人？【考點】三量重疊問題【難度】3星【題型】解答【解析】 只是A類和B類的元素個數，有別于容斥原理H中的既是A類又是B類的元數個數.依題意，畫圖如下.設只愛好科學和文藝兩項的有x人.由容斥原理，列方程得 55 56 51 -（17 15） -（4 15） -（x

14、15） 15=100即 55 56 51 -17 -4 -x-15 2 =100111 -x =100x=11只愛好體育的有：5517154 = 19（人）.【答案】11人只愛好科學和文藝，19人只愛好體育。例5在某個風和日麗的日子，10個同學相約去野餐，每個人都帶了吃的，其中 6個人帶了漢堡，6個人帶了雞腿，4個人帶了芝士蛋糕，有 3個人既帶了漢堡又帶了雞腿，1個人既帶了雞腿又帶了芝士蛋糕.2個人既帶了漢堡又帶了芝士蛋糕.問: 三種都帶了的有幾人?只帶了一種的有幾個?【考點】三量重疊問題【解析】 如圖，用A圓表示帶漢堡的人,B圓表示帶雞腿的人，C圓表示帶芝士蛋糕的人.根據包含排除法，總人數=

15、（帶漢堡的人數 +帶雞腿的人數+帶芝士蛋糕的人數）-（帶漢堡、雞腿的人數 +帶漢堡、芝士蛋糕的人數 +帶雞腿、芝土蛋糕的人數 ）十三種都帶了的 人數，即10 （6 + 6+ 4十3+2 +）1三種都帶了的人數，得三種都帶了的人數為：10-10 =0（人）. 求只帶一種的人數，只需從10人中減去帶了兩種的人數，即10-（3 + 2+1）=4（人）.只帶了一種的有4人.【答案】（1） 0人，（2） 4人【鞏固】 盛夏的一天，有10個同學去冷飲店，向服務員交了一份需要冷飲的統計表：要可樂、雪碧、橙汁的各有 5人；可樂、雪碧都要的有 3人；可樂、橙汁都要的有 2人; 雪碧、橙汁都要的有 2人；三樣都要

16、的只有1人，證明其中一定有 1人這三種飲料 都沒有要.【考點】三量重疊問題【難度】4星【題型】解答【解析】略【答案】根據根據包含排除法，至少要了一種飲料的人數 =（要可樂的人數+要雪碧的人數十 要橙汁白人數）_（要可樂、雪碧的人數 +要可樂、橙汁的人數 +要雪碧、橙汁的人 數）十三種都要的人數，即至少要了 一種飲料的人數為： （5+5+5） -（3+2+2） +1=9（人）. 109 =1（人），所以其中有1人這三種飲料都沒 有要.【例6】 全班有25個學生，其中17人會騎自行車，13人會游泳，8人會滑冰，這三個運 動項目沒有人全會，至少會這三項運動之一的學生數學成績都及格了，但又都不 是優秀

17、.若全班有 6個人數學不及格，那么，數學成績優秀的有幾個學生？ 有幾個人既會游泳，又會滑冰？【考點】三量重疊問題【難度】4星【題型】解答【解析】 有6個數學不及格，那么及格的有：25-6=19（人），即最多不會超過19人會這三項運動之一.而又因為沒人全會這三項運動，那么，最少也會有： （17+13+8） =2 =19（人）至少會這三項運動之一.于是，至少會三項運動之一的只 能是19人，而這19人又不是優秀，說明全班25人中除了 19人外，剩下的6名不及 格，所以沒有數學成績優秀的. 上面分析可知，及格的19人中，每人都會兩項運動：會騎車的一定有一部分會游泳，一 部分會滑冰；會游泳的人中若不會騎

18、車就一定會滑冰，而會滑冰的人中若不會騎車就一 定會游泳，但既會游泳又會滑冰的人一定不會騎自行車.所以，全班有19-17 = 2（人）既會游泳又會滑冰.【答案】（1） 0人，（2） 2人【鞏固】 五年級一班共有 36人，每人參加一個興趣小組，共有A、B、C、D、E五個小組，若參加 A組的有15人，參加B組的人數僅次于 A組，參加C組、D組的人 數相同，參加E組的人數最少，只有 4人.那么，參加 B組的有 人.【考點】三量重疊問題【難度】4星【題型】填空【解析】 參加B, C, D三組的總人數是36 154 =17（人），C, D每組至少5人，當C, D每組6人時，B組為5人，不符合題意，所以參加

19、 B組的有17-5-5 = 7（人）.【答案】7人【例7】 五一班有28位同學，每人至少參加數學、語文、自然課外小組中的一個.其中僅參加數學與語文小組的人數等于僅參加數學小組的人數，沒有同學僅參加語文或僅參加自然小組，恰有 6個同學參加數學與自然小組但不參加語文小組，僅參 加語文與自然小組的人數是3個小組全參加的人數的 5倍，并且知道3個小組全參加的人數是一個不為 0的偶數，那么僅參加數學和語文小組的人有多少人？【考點】三量重疊問題【難度】4星【題型】解答【解析】 參加3個小組的人數是一個不為 0的偶數，如果該數大于或等于 4,那么僅參加語 文與自然小組的人數則大于等于20,而僅參加數學與自然

20、小組的人有6個，這樣至少應有30人，與題意矛盾，所以參加 3個小組的人數為 2.僅參加語文與自然 小組的人數為10,于是僅參加語文與自然、僅參加數學與自然和參加3個小組的人數一共是18人，剩下的10人是僅參加數學與語文以及僅參加數學的.由于這兩個人數相等，所以僅參加數學和語文小組的有5人.有有有有有【答案】5人 【例8】 在一個自助果園里，只摘山莓者兩倍于只摘李子者；摘了草莓、山莓和李子的人數比只摘李子的人數多 3個；只摘草莓者比摘了山莓和草莓但沒有摘李子者多4人；50個人沒有摘草莓；11個人摘了山莓和李子但沒有摘草莓；總共有 60人摘 了李子.如果參與采摘水果的總人數是 100,你能回答下列

21、問題嗎？人摘了山莓；人同時摘了三種水果； 人只摘了山莓;人摘了李子和草莓，而沒有摘山莓； 人只摘了草莓.7-7-2.教師版page 5 0f 7【考點】三量重疊問題【難度】3星【題型】填空【解析】如圖，根據題意有A =2CG -C =3B -E =4A D C =50D =11C D F G =60A B E =40代入求解：A =26, B=9, C=13, D=11, E =5 , F =20, G=16所以有 A + D + E +G =26+11+5 + 16 =58（人）摘了山莓；有16人同時摘了三種水果；有26人只摘了山莓；有20人摘了李子和草莓，而沒有摘山莓；有9人只摘了草莓.【

22、答案】有58（人）摘了山莓；有16人同時摘了三種水果；有26人只摘了山莓；有20人摘了李子和草莓，而沒有摘山莓;有9人只摘了草莓.【例9】 某學校派出若干名學生參加體育競技比賽，比賽一共只有三個項目，已知參加長跑、跳高、標槍三個項目的人數分別為10、15、20人，長跑、跳高、標槍每一項的的參加選手中人中都有五分之一的人還參加了別的比賽項目，求這所學校一共派出多少人參加比賽？【考點】三量重疊問題【難度】4星【題型】解答【解析】由條件可知，參加長跑的人中有2人參加其它項目，參加跳高的人中有 3人參加其它項目，參加標槍的人中有 4人還參加別的項目， 假設只參加長跑和跳高的人數為x,只參加長跑和標槍的人數為 y,只參加標槍和跳高的有 z人，三項都參加的有 n 人.那么有以下方程組：由條件可知，參加長跑的人中有2人參加其它項目，參加跳高的人中有3人參加其它項目，參加標槍的人中有 4人還參加別的項目，假設只參加長跑和跳高的人數為x,只參加長跑和標槍的人數為y,只參加標槍和跳高的有 z人，三項都參加的有n人.那么有以下方程組：x y n = 2x-z-n =3z y n = 4將3條等式相加則有2 (x+y+z) +3n=9,由這個等式可以得到， n必須是奇數，所以，n只 能是1或3、5、7,如果n>3時x