1、高等代數(shù)I考試大綱一、課程教學(xué)基本要求1課程重點(diǎn)：高等代數(shù)主要分為以下部分:矩陣,線性空間，線性變換, 多項(xiàng)式理論，線性方程組理論，行列式.矩陣?yán)碚摰闹攸c(diǎn)在矩陣的運(yùn)算、分塊矩陣.線性空間理論的重點(diǎn)在線性空間的概念、向量的線性關(guān)系、基、維數(shù)、坐標(biāo)以及線性空間的直和分解. 線性變換的重點(diǎn)是線性變換的像、核求法以及不變子空間的判定.多項(xiàng)式理論的重點(diǎn)在多項(xiàng)式的整除性，及多項(xiàng)式的因式分解理論.線性方程組理論的重點(diǎn)在線性方程組的解的結(jié)構(gòu)和求解的算法.行列式的重點(diǎn)在行列式的計(jì)算.歐氏空間、二次型等內(nèi)容上.矩陣與行列式是研究線性關(guān)系的重要工具，也是課程的重點(diǎn)內(nèi)容之一，矩陣的方法貫穿課程的始終.2課程難點(diǎn)：本課

2、程的難點(diǎn)很多，從知識(shí)上講，線性空間的概念、向量的線性相關(guān)性、線性映射，多項(xiàng)式在有理數(shù)域的分解、方程組解的判定、二次型正定的判定等等；從方法上講，高等代數(shù)課程解決問題的方法比較靈活，技巧性比較強(qiáng)，是不易學(xué)習(xí)和掌握的.3能力培養(yǎng)要求：要求學(xué)生熟練掌握線性空間和線性變換的基本理論，熟練掌握矩陣的初等變換、行列式這種重要的數(shù)學(xué)工具，掌握多項(xiàng)式的因式分解理論、向量組線性相關(guān)及線性無關(guān)理論.初步掌握線性代數(shù)的方法和技巧.二、課程教學(xué)內(nèi)容與學(xué)時(shí)1預(yù)備知識(shí)熟悉基本的概念：集合及運(yùn)算，等價(jià)關(guān)系，映射、數(shù)域；2多項(xiàng)式2.1 多項(xiàng)式，帶余除法，整除性掌握帶余除法，多項(xiàng)式的整除性.2.2 最大公因式了解公因式的概念，

3、掌握最大公因式的定義、性質(zhì)、算法.2.3 因式分解了解多項(xiàng)式的唯一分解定理，了解重因式及其判斷方法、掌握不可約多項(xiàng)式及性質(zhì).2.4多項(xiàng)式的根熟練掌握余式定理及其應(yīng)用.2.5復(fù)系數(shù)、實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式掌握代數(shù)學(xué)基本定理，了解復(fù)系數(shù)、實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式在相應(yīng)數(shù)域中的分解形式，掌握根與系數(shù)的關(guān)系定理.2.6整系數(shù)多項(xiàng)式了解本原多項(xiàng)式的概念及Gauss引理，掌握Eisenstein判別法.3矩陣 3.1 矩陣的概念及運(yùn)算了解矩陣的背景，熟練掌握矩陣的和、差、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置運(yùn)算.3.2 矩陣的初等變換熟練掌握矩陣的初等變換，掌握初等方陣與初等變換的關(guān)系.3.3 矩陣的相抵了解掌握矩陣相抵的概念、相抵的標(biāo)準(zhǔn)形、矩陣

4、的逆及其計(jì)算方法.3.4分塊矩陣了解分塊矩陣的概念及矩陣的分塊運(yùn)算.3.5矩陣的秩熟練掌握運(yùn)用矩陣的秩的定義，以及秩的基本性質(zhì).4. 線性空間 4.1 線性空間掌握線性空間的概念及重要的線性空間實(shí)例.4.2 向量的線性相關(guān)性理解向量的線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念，并能熟練掌握和使用線性相關(guān)性的重要結(jié)果.4.3 基、維數(shù)、坐標(biāo)、坐標(biāo)變換理解和掌握基、維數(shù)的概念，掌握坐標(biāo)變換及過渡矩陣的計(jì)算.4.4線性子空間了解構(gòu)成線性子空間的條件.4.5子空間的和與交、直和掌握子空間的和與交的運(yùn)算，掌握直和的概念及直和的等價(jià)條件.4.6線性空間的同構(gòu)了解線性空間同構(gòu)的概念，掌握線性空間由其維數(shù)決定的結(jié)論.5.線性變

5、換5.1 線性映射掌握線性映射的定義及矩陣表示，理解掌握線性映射的象與核的概念及相關(guān)結(jié)果.5.2 線性映射的像與核掌握線性映射的像與核的概念，以及與基和維數(shù)的關(guān)系.5.3 線性變換掌握線性變換的定義及矩陣表示，掌握線性變換的運(yùn)算.5.4 不變子空間掌握不變子空間的定義及相關(guān)結(jié)論.5.5 特征值與特征向量掌握線性變換的特征值與特征向量的定義與性質(zhì)，并可以根據(jù)線性變換的特點(diǎn)計(jì)算該變換的特征值與特征向量，掌握矩陣對(duì)角化的條件.6 歐氏空間 6.1 內(nèi)積熟練掌握內(nèi)積的定義及性質(zhì).6.2 標(biāo)準(zhǔn)正交基掌握度量矩陣、標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義，以及正交化方法.6.3 正交子空間6.4 正交變換了解正交變換的概念與意義

6、.6.5 對(duì)稱變換掌握對(duì)稱變換的定義及相關(guān)結(jié)論.7 二次型 7.1 二次型的定義7.2 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形掌握慣性定理，了解和掌握在實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域中二次型的規(guī)范型.7.3 正定二次型掌握二次型的定性，及正定、半正定的充要條件.8 線性方程組 8.1 Gauss消元法熟練掌握Gauss消元法，了解線性方程組的解的形式.8.2 線性方程組熟練掌握線性方程組的解的結(jié)構(gòu)及求解方法.9 行列式 9.1 行列式的定義了解逆序的概念，掌握行列式的定義.9.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算熟練掌握行列式的性質(zhì)，掌握行列式按行列展開的方法，能夠熟練計(jì)算行列式的值.9.3 行列式理論的應(yīng)用掌握Crame法則，能夠利用行列式解決

7、以前各章出現(xiàn)的相關(guān)問題.10 相似標(biāo)準(zhǔn)形 10.1 特征值與特征向量的計(jì)算熟練掌握特征值與特征向量的計(jì)算.10.2 對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形的計(jì)算熟練計(jì)算對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形10.3 特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式了解特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式的概念及性質(zhì)，矩陣對(duì)角化的條件.10.4 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形掌握J(rèn)ordan標(biāo)準(zhǔn)形的定義、推導(dǎo)、計(jì)算.10.5 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的又一推導(dǎo)了解-矩陣、初等因子、不變因子的概念，了解利用-矩陣計(jì)算矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的方法.三、教材與參考書教材1. 申亞男、李為東編著，高等代數(shù)，機(jī)械工業(yè)出版社，2015年9月第1版2北京大學(xué)幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組編，高等代數(shù)，高等教育出版社1991，第