1、4一次函數的應用1確定一次函數表達式(1)借助圖象確定函數的表達式先觀察直線是否過坐標原點，若過原點，則為正比例函數，可設其關系式為ykx(k0)；若不過原點，則為一次函數，可設其關系式為ykxb(k0)；然后再觀察圖象上有沒有明確幾個點的坐標對于正比例函數，只要知道一個點的坐標即可；對于一次函數，則需要知道兩個點的坐標；最后將各點坐標分別代入ykx或ykxb中，求出其中的k，b，即可確定出其關系式(2)確定正比例函數、一次函數表達式需要的條件由于正比例函數ykx(k0)中只有一個未知系數k，故只要一個條件，即一對x，y的值或一個點的坐標，就可以求出k的值，確定正比例函數的表達式一次函數ykx

2、b(k0)有兩個未知系數k，b，需要兩個獨立的關于k，b的條件，求得k，b的值，這兩個條件通常是兩個點的坐標或兩對x，y的值【例1】 如圖，直線AB對應的函數表達式是()Ayx3Byx3Cyx3Dyx3解析：設直線AB對應的函數表達式是ykxb(k0)，當x0時，y3，代入得b3，當x2時，y0，則2k30，k，故yx3.答案：A點技巧 用待定系數法求直線解析式由圖象觀察可知該函數為一次函數，故應設成ykxb(k0)的形式，再將A，B兩點坐標代入該關系式，即可求出k，b，從而確定出具體的關系式2待定系數法(1)定義：先設出式子中的未知系數，再根據條件求出未知系數，從而寫出這個式子的方法，叫做待

3、定系數法，其中的未知數也稱為待定系數(2)用待定系數法求解析式的一般步驟：根據已知條件寫出含有待定系數的解析式；將x，y的幾對值或圖象上幾個點的坐標代入上述的解析式中，得到以待定系數為未知數的方程或方程組；解方程(組)，得到待定系數的值；將求出的待定系數代回所求的函數解析式中，得到所求函數的解析式【例21】 一次函數圖象如圖所示，求其解析式分析：利用圖象所給的信息，即直線與坐標軸交點的坐標，再用待定系數法求出k，b的值，從而確定表達式解：設一次函數解析式為ykxb，一次函數圖象過點(0，2)，2k×0b，b2.一次函數圖象過點(1,0)，0k×1b，k2.一次函數解析式為y

4、2x2.【例22】 在直角坐標系中，一次函數ykxb的圖象經過三點A(2,0)，B(0,2)，C(m,3)，求這個函數的表達式，并求m的值解：根據題意，得2kb0，b2, kmb3，把b2代入，得2k20，即k1；把b2，k1代入，得m1.故函數的表達式為yx2.3一次函數的實際應用(1)通過圖象獲取信息通過觀察一次函數的圖象獲取有用的信息是我們在日常生活中經常遇到的問題，要掌握這個重點在于對函數圖象的觀察和分析，觀察函數圖象時，首先要看橫軸、縱軸分別代表的是什么，也就是觀察圖象反映的是哪兩個變量之間的關系釋疑點 函數圖象中的特殊點觀察圖象獲取信息時，一定要注意圖象上的特殊點，這些特殊點對我們

5、解決問題有很大的幫助(2)一次函數圖象的應用一次函數和正比例函數是我們接觸到的最簡單的函數，它們的圖象和性質在現實生活中有著廣泛的應用利用一次函數和正比例函數的圖象解決問題是本節的一個重點，這部分內容在中考中占有重要的地位談重點 函數ykxb圖象的變化形式在實際問題中，當自變量的取值范圍受到一定的限制時，函數ykxb(k0)的圖象就不再是一條直線要根據實際情況進行分析，其圖象可能是射線、線段或折線等等【例31】 甲、乙兩個工程隊分別同時開挖兩段河渠，所挖河渠的長度y(m)與挖掘時間x(h)之間的關系如圖所示，請根據圖象所提供的信息解答下列問題：(1)乙隊開挖到30 m時，用了_ h開挖6 h時

6、甲隊比乙隊多挖了_ m.(2)請你求出：甲隊在0x6的時段內，y與x之間的函數關系式；乙隊在2x6的時段內，y與x之間的函數關系式(3)當x為何值時，甲、乙兩隊在施工過程中所挖河渠的長度相等？分析：(1)由圖象可以直接看出乙隊開挖到30 m時，用了2 h開挖6 h時甲隊比乙隊多挖了10 m；(2)設甲隊在0x6的時段內y與x之間的函數關系式為yk1x(k10)，由圖可知，函數圖象過點(6,60)，6k160，解得k110，y10x.設乙隊在2x6的時段內y與x之間的函數關系式為yk2xb(k20)，由圖可知，函數圖象過點(2,30)，(6,50)，代入yk2xb，求出k25，b20，y5x20

7、.(3)由題意，得10x5x20，解得x4(h)解：(1)210(2)y10x.y5x20.(3)由題意，得10x5x20，解得x4(h)故當x為4 h時，甲、乙兩隊所挖的河渠長度相等【例32】 某單位急需用車，但又不準備買車，他們準備和一個體車主或一國有出租車公司簽訂月租車合同設汽車每月行駛x km，應付給個體車主的月費用為y1元，應付給國有出租車公司的月費用是y2元，y1，y2分別與x之間的函數關系圖象(兩條射線)如圖，觀察圖象回答下列問題：(1)每月行駛的路程在什么范圍內時，租國有出租車公司的車合算？(2)每月行駛的路程等于多少時，租兩家車的費用相同？(3)如果這個單位估計每月行駛的路程

8、為2 600 km，那么這個單位租哪家車合算？分析：本題從給出的兩個函數圖象中可獲取以下信息：都是一次函數，一個是正比例函數；兩條直線交點的橫坐標為1 500；表明當x1 500時，兩個函數值相等；根據圖象可知：x1 500時，y2y1；0x1 500時，y2y1.解：觀察圖象，得：(1)每月行駛的路程小于1 500 km時，租國有出租車公司的車合算；(2)每月行駛的路程為1 500 km時，租兩家車的費用相同；(3)如果每月行駛的路程為2 600 km，那么這個單位租個體車主的車合算析規律 函數圖象交點規律兩函數圖象在同一坐標系中，當取相同的自變量時，下方圖象對應的函數的函數值小；交點處的函

9、數值相等4一次函數和一元一次方程的關系當一次函數ykxb(k0)中的函數值為0時，可得0kxb即kxb0，這在形式上變成了求關于x的一元一次方程，也就是說，當一次函數ykxb的函數值為0時，相應的自變量的值即為方程kxb0的解；若從圖象上來看，則可看做函數ykxb的圖象與x軸的交點的橫坐標，即為方程kxb0的解由此可見，方程與函數是密不可分的【例4】 某汽車生產廠對其生產的A型汽車進行耗油量實驗，實驗中汽車視為勻速行駛已知油箱中的余油量y(L)與行駛時間t(h)的關系如下表，與行駛路程x(km)的關系如下圖請你根據這些信息求A型車在實驗中的速度.行駛時間t(h)0123油箱余油量y(L)100

10、846852分析：考查綜合利用一次函數的相關知識解決問題的能力解法一：余油量y與行駛路程x的關系圖象是一條直線，可設關系式為ykxb(k0)由圖象可知ykxb經過兩點(0,100)和(500,20)，則有b100,20500kb.把b100代入20500kb，得20500k100，解得k.直線的解析式為yx100.當y100時，x0；當y84時，x100.由圖表可知，油箱中的余油量從100 L到84 L，行駛時間是1 h，行駛路程是100 km.A型汽車的速度為100 km/h.解法二：由圖表可知：A型汽車每行駛1 h的路程耗油16 L.由圖象可知：A型汽車耗油80 L所行駛的路程為500 k

11、m.可設汽車耗油16 L所行駛的路程為x km，則50080x16，解得x100.A型汽車1 h行駛的路程為100 km.它的速度為100 km/h.點評：有時，我們利用一次函數的圖象求一元一次方程的近似解5一次函數圖象的平移一次函數ykxb(k0)的圖象可以看做由直線ykx平移|b|個單位長度而得到(當b0時，向上平移；當b0時，向下平移)實際上就是指一次函數ykxb的圖象沿y軸平移時，在b的位置上按照“上加下減”的規律進行如：一次函數l1：yx2的圖象可以看做是由正比例函數l：yx的圖象沿y軸向上平移2個單位長度得到的；一次函數l2：yx2的圖象可以看做是由正比例函數l：yx的圖象沿y軸向

12、下平移2個單位長度得到的【例5】 如圖所示，將直線OA向上平移1個單位長度，得到一個一次函數的圖象，那么這個一次函數的解析式是_解析：由圖象可知，直線經過原點，所以設直線的解析式為ykx(k0)因為直線經過點(2,4)，所以直線的解析式為y2x.根據“上加下減”的原則，可知所求的一次函數解析式為y2x1.答案：y2x1析規律 平移中的函數解析式解決平移問題可以對性質進行記憶直接運用，也可以找出平移后借助坐標系運用待定系數法求解平移前后k的值不變，改變的是b的值6.函數、方程和不等式的完美結合從“數”的角度看，由于任何一元一次方程都可以轉化為axb0(a，b為常數，且a0)的形式，所以解一元一次

13、方程可以看做：當一次函數yaxb的值為0時，求相應的自變量的值；反之，求自變量x為何值時，一次函數yaxb的值為0，只要求出方程axb0的解即可由于任何一元一次不等式都可以轉化為類似axb0或axb0的形式，所以解一元一次不等式可以看做：當一次函數yaxb的值大(小)于0時，求自變量相應的取值范圍；反之，求一次函數yaxb的值何時大(小)于0時，只要求出不等式axb0或axb0的解集即可從一元一次方程、一元一次不等式與一次函數的關系可以看出，三者最終能用函數觀點統一起來，并且達到一種完美的結合，這種結合，又常常在一些考題中得以體現【例6】 已知一次函數yaxb(a，b是常數，且a0)x與y的部

14、分對應值如下表：x210123y642024那么方程axb0的解是_，不等式axb0的解集是_解析：本題先以表格的形式向我們提供了一次函數yaxb的信息按一般解法，我們完全可以利用這些對應值，通過待定系數法求出未知系數a和b，然后再去解方程或不等式，于是得解果真那樣去做的話，說明你沒有真正領會到本題的用意事實上，本題是想考查你對一元一次方程、一元一次不等式和一次函數之間關系的掌握情況由三者之間的關系可知，求方程axb0的解，實質上就是求一次函數yaxb的函數值為0時，對應的自變量x的取值，從表中可直接看出x1；同理，求不等式axb0的解集，實質上就是求當一次函數yaxb的函數值大于0時，對應的

15、自變量x的取值范圍，這時也可以從表中直接看出為x1.答案：x1x17如何確定一次函數的表達式確定正比例函數和一次函數的解析式是一次函數這部分內容考查的一個重要知識點那么應該怎樣確定正比例函數和一次函數的解析式呢？因為正比例函數的解析式ykx中，只有一個待定系數k，確定了k的值，也就確定了正比例函數的解析式而一次函數的解析式ykxb中，有兩個待定系數k和b，因此需要兩個條件，此條件可以是直線上的兩個點的坐標，也可以是兩對變量與函數的對應值但在實際求正比例函數和一次函數的解析式時，應該具體問題具體分析(1)定義型若兩個量y與x成正比例，可設為正比例函數形式：ykx(其中k是常數，k0)，再用待定系

16、數法求比例系數k.(2)兩(或一)點型把點的坐標代入所設的關系式中，根據點的坐標求解(3)圖象型解決看圖獲取信息的問題，不僅要注意坐標軸所表示的量是什么，還要抓住圖中一些關鍵的點(如：起點、終點、折線中的折點)所反映出的信息通過觀察圖象，發掘圖象經過坐標軸上的兩點，根據兩點的坐標構造待定系數的方程組，求出k，b；它體現了數與形的完美結合，是解題的重要思想方法之一點在函數圖象上，就是說點的坐標滿足該圖象的函數解析式只需把點的坐標代入函數解析式，然后求方程(組)的解即可(4)平移型平移不改變k的大小，只改變b的大小(5)實際應用型解這類題的方法是對問題的審讀和理解，掌握用一個變量的代數式表示另一個

17、變量，建立兩個變量間的等量關系，同時從題中確定自變量的取值范圍這是求實際應用型問題的函數關系式的至關重要的一點【例71】 求一次函數y(m2)xm23m3的關系式解：由一次函數的定義，得m231，且m20.解得m2.故所求關系式為y4x5.【例72】 直線ykxb經過點A(3,0)和點B(0,2)，求這條直線的表達式分析：把點A和點B的橫、縱坐標分別當做x，y的值代入ykxb中，求出k，b即可解：把點A和點B的橫、縱坐標分別當做x，y的值代入ykxb中，得03kb,2b，得出k，b2，從而得出這條直線的表達式為yx2.【例73】 已知某個一次函數的圖象如圖所示，則該函數的解析式為_解析：設一次

18、函數解析式為ykxb(k0)，由圖可知一次函數ykxb的圖象過點(0,2)，(1,0)，2k×0b,0k×1b，解得b2，k2.一次函數的解析式為y2x2.答案：y2x2【例74】 將直線y2x向上平移兩個單位長度，所得的直線是()Ay2x2By2x2Cy2(x2) Dy2(x2)解析：由于直線ykxb可以看做由直線ykx平移|b|個單位長度而得到(當b0時，向上平移；當b0時，向下平移)，所以將直線y2x向上平移兩個單位長度，所得的直線是y2x2.答案：A【例75】 大拇指盡量伸開時，拇指與食指的距離稱為指距，某研究表明，一般情況下，人的身高h是指距d的一次函數，下表是測得指距與身高的一組數據：指距d(cm)20212223身高h(cm)160169178187(1)求出h與d之間的函數關系式(2)某人身高196 cm，一般情況下他的指距是多少？解：(1)設一次函數的解析式為hkdb(k，b為常數，且k0)由題意，得16020kb，16921kb.，得k9，代入，得b20.故一次函數的解析式為h9d20.(2)當h196時，1969d20，得d24.因此某人身高196 cm，一般情況下他