1、運用簡單線性規劃思想理解求最值問題華東師范大學2003級（數學）教育碩士江蘇省溧陽市戴埠高級中學（213331）潘曉春簡單線性規劃是高中數學教學的新內容之一，是解決一些在線性約束條件下的線性目標函數的最值（最大值或最小值）的問題。它是運籌學的一個重要內容，對于形成最優化思想有著重要的作用，并且在實際生產活動中也有著廣泛的應用，可以實現對資源的最佳利用。簡單線性規劃只能解決一些二元線性約束下條件下的二元函數的最值問題，但它的思想可以延伸到其他的數學最值問題的求解過程中。簡單線性規劃的基本思想即在一定的約束條件下，通過數形結合求函數的最值。解決問題時主要是借助平面圖形，運用這一思想能夠比較有效地解

2、決一些二元函數的最值問題。本文將從規劃思想出發來探討一些高中數學中一些常見的函數最值問題。一、 線性約束條件下線性函數的最值問題線性約束條件下線性函數的最值問題即簡單線性規劃問題，它的線性約束條件是一個二元一次不等式組，目標函數是一個二元一次函數，可行域就是線性約束條件中不等式所對應的方程所表示的直線所圍成的區域，區域內的各點的點坐標即簡單線性規劃的可行解，在可行解中的使得目標函數取得最大值和最小值的點的坐標即簡單線性規劃的最優解。例1 已知，求的最大值和最小值約束條件： ，是關于的一個二元一次不等式組；目標函數：，是關于的一個二元一次函數；可行域：是指由直線，和所圍成的一個三角形區域（包括邊

3、界）（如圖1）；可行解：所有滿足（即三角形區域內（包括邊界）的點的坐標）實數都是可行解；最優解：，即可行域內一點，使得一組平行線（為參數）中的取得最大值和最小值時，所對應的點的坐標就是線性規劃的最優解。當線性約束條件中的二元一次不等式組中出現一個二元一次方程（或一元一次方程）時，則可行域就轉變成一條線段（或一條直線，或一條射線）。例2 已知滿足，求的最大值和最小值約束條件：，是關于的一個二元一次不等式組；目標函數：，是關于的一個二元一次函數；可行域：是指由直線被直線和所夾的一條線段（如圖1）；可行解：所有滿足（即線段上的點的坐標）實數都是可行解；最優解：，即可行域內一點，使得一組平行線（為參數

4、）中的取得最大值和最小值時，所對應的點的坐標就是線性規劃的最優解。這類問題的解決，關鍵在于能夠正確理解線性約束條件所表示的幾何意義，并畫出其圖形，利用簡單線性規劃求最優解方法求出最優解及目標函數的最大值或最小值。二、 非線性約束條件下線性函數的最值問題高中數學中的最值問題很多可以轉化為非線性約束條件下線性函數的最值問題。它們的約束條件是一個二元不等式組，目標函數是一個二元一次函數，可行域是直線或曲線所圍成的圖形（或一條曲線段），區域內的各點的點坐標即可行解，在可行解中的使得目標函數取得最大值和最小值的點的坐標即最優解。例3 已知滿足，求的最大值和最小值Oxy2圖 3約束條件：，是關于的一個二元

5、二次方程；目標函數：，是關于的一個二元一次函數；可行域：是圓上的圓周（如圖3）可行解：所有滿足（即圓周上的點的坐標）實數都是可行解；最優解：，即可行域內一點，使得一組平行線（為參數）中的取得最大值和最小值時，所對應的點的坐標就是線性規劃的最優解。給定區間內的函數最值問題也可以看作是這類問題。例4求函數的最大值和最小值。約束條件：是關于的一個二元不等式組；目標函數：是關于的一個二元一次函數；可行域：函數的圖象在直線和之間（包括端點）的部分曲線（如圖4）可行解：所有滿足（即曲線段上的點的坐標）實數都是可行解；最優解：，即可行域內一點，使得一組平行線（為參數）中的取得最大值和最小值時，所對應的點的坐

6、標就是線性規劃的最優解。這類問題的解決，關鍵在于能夠正確理解非線性約束條件所表達的幾何意義，并畫出其圖形，利用簡單線性規劃求最優解方法求出最優解及目標函數的最大值或最小值。三、 線性約束條件下非線性函數的最值問題這類問題也是高中數學中常見的問題，它也可以用線性規劃的思想來進行解決。它的約束條件是一個二元一次不等式組，目標函數是一個二元函數，可行域是直線所圍成的圖形（或一條線段），區域內的各點的點坐標即可行解，在可行解中的使得目標函數取得最大值和最小值的點的坐標即最優解。例5 已知實數滿足不等式組，求的最小值。約束條件：是一個關于的一個二元一次不等式組；目標函數：是一個關于的一個二元二次函數，可

7、以看作是一點到點的距離的平方；可行域：是指由直線，和所圍成的一個三角形區域（包括邊界）（如圖5）；可行解：所有滿足（即三角形區域（包括邊界）內的點的坐標）實數都是可行解；最優解：，即可行域內一點，使得它到點的距離最小，則其距離的平方也取得最小值，此時所對應的點的坐標就是最優解。例6 實數滿足不等式組，求的最小值約束條件：是一個關于的一個二元一次不等式組；目標函數：是一個關于的一個二元函數，可以看作是一點與點的斜率；可行域：是指由直線，和所圍成的一個三角形區域（包括邊界）（如圖6）；可行解：所有滿足（即三角形區域（包括邊界）內的點的坐標）實數都是可行解；最優解：，即可行域內一點，使得它與點的斜率

8、取得最小值，此時所對應的點的坐標就是最優解。這類問題的解決，關鍵在于能夠正確理解非線性目標函數所表示的幾何意義，并利用圖形及非線性目標函數所表示的幾何意義求出最優解及目標函數的最大值或最小值。四、 非線性約束條件下非線性函數的最值問題在高中數學中還有一些常見的問題也可以用線性規劃的思想來解決，它的約束條件是一個二元不等式組，目標函數也是一個二元函數，可行域是由曲線或直線所圍成的圖形（或一條曲線段），區域內的各點的點坐標即可行解，在可行解中的使得目標函數取得最大值和最小值的點的坐標即最優解。例7 已知滿足，求的最大值和最小值約束條件：是一個關于的一個二元方程；目標函數：是一個關于的一個二元函數，可以看作是一點與點的斜率；可行域：以原點為圓心，1為半徑的在軸上方的半圓及與軸的交點（如圖7）；可行解：所有滿足（即半圓（包括交點）上的點的坐標）實數都是可行解；最優解：，即可行域內一點，使得它與點的斜率取得最大值和最小值，此時所對應的點的坐標就是最優解。這類問題的解決，關鍵在于能夠正確理解非線性約束條件與非線性目標函數所表示的幾何意義，利用非線性約束條件作出圖形并利用非線