1、向量知識(shí)點(diǎn)歸納與常見題型總結(jié) 高三理科數(shù)學(xué)組全體成員 2006年11月一、向量知識(shí)點(diǎn)歸納1與向量概念有關(guān)的問題向量不同于數(shù)量，數(shù)量是只有大小的量（稱標(biāo)量），而向量既有大小又有方向；數(shù)量可以比較大小，而向量不能比較大小，只有它的模才能比較大小.記號(hào)“”錯(cuò)了，而|才有意義.有些向量與起點(diǎn)有關(guān)，有些向量與起點(diǎn)無關(guān).由于一切向量有其共性（大小和方向），故我們只研究與起點(diǎn)無關(guān)的向量（既自由向量）.當(dāng)遇到與起點(diǎn)有關(guān)向量時(shí)，可平移向量.平行向量（既共線向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要條件.單位向量是模為1的向量，其坐標(biāo)表示為（）,其中、滿足 1（可用（cos,sin）（

2、02）表示）.特別：表示與同向的單位向量。例如：向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)；例1、O是平面上一個(gè)定點(diǎn)，A、B、C不共線，P滿足則點(diǎn)P的軌跡一定通過三角形的內(nèi)心。(變式)已知非零向量與滿足(+)·=0且·= , 則ABC為( )A.三邊均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等邊三角形 D.等邊三角形 (06陜西)的長(zhǎng)度為0，是有方向的，并且方向是任意的，實(shí)數(shù)0僅僅是一個(gè)無方向的實(shí)數(shù).有向線段是向量的一種表示方法，并不是說向量就是有向線段. （7）相反向量(長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。)2與向量運(yùn)算有關(guān)的問題向量與向量相加，其和仍是一

3、個(gè)向量.（三角形法則和平行四邊形法則）當(dāng)兩個(gè)向量和不共線時(shí)，的方向與、都不相同，且|；當(dāng)兩個(gè)向量和共線且同向時(shí)，、的方向都相同，且；當(dāng)向量和反向時(shí)，若|，與 方向相同 ，且|=|-|；若|時(shí),與 方向相同，且|=|-|.向量與向量相減，其差仍是一個(gè)向量.向量減法的實(shí)質(zhì)是加法的逆運(yùn)算.三角形法則適用于首尾相接的向量求和；平行四邊形法則適用于共起點(diǎn)的向量求和。;例2：P是三角形ABC內(nèi)任一點(diǎn)，若，則P一定在（ ）A、內(nèi)部 B、AC邊所在的直線上 C、AB邊上 D、BC邊上例3、若，則ABC是：A.Rt B.銳角 C.鈍角 D.等腰Rt特別的：,例4、已知向量，求的最大值。分析：通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算，

4、轉(zhuǎn)化為函數(shù)（這里是三角）的最值問題，是通法。解：原式=。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值評(píng)析：其實(shí)此類問題運(yùn)用一個(gè)重要的向量不等式“”就顯得簡(jiǎn)潔明快。原式=，但要注意等號(hào)成立的條件（向量同向）。圍成一周（首尾相接）的向量（有向線段表示）的和為零向量.如，,（在ABC中） .(ABCD中)判定兩向量共線的注意事項(xiàng)：共線向量定理 對(duì)空間任意兩個(gè)向量a、b(b0 )，ab存在實(shí)數(shù)使a=b如果兩個(gè)非零向量，使=（R），那么；反之，如，且0，那么=.這里在“反之”中，沒有指出是非零向量，其原因?yàn)?0時(shí)，與的方向規(guī)定為平行. 數(shù)量積的8個(gè)重要性質(zhì)兩向量的夾角為0.由于向量數(shù)量積的幾何意義是一個(gè)向量的長(zhǎng)度乘以另一向量在

5、其上的射影值，其射影值可正、可負(fù)、可以為零，故向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù).設(shè)、都是非零向量，是單位向量，是與的夾角，則（=90°，在實(shí)數(shù)運(yùn)算中=0=0或b=0.而在向量運(yùn)算中=或=是錯(cuò)誤的，故或是=0的充分而不必要條件.當(dāng)與同向時(shí)=(=0,cos=1);當(dāng)與反向時(shí)，=-(=,cos=-1)，即的另一個(gè)充要條件是.當(dāng)為銳角時(shí)，0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時(shí)，0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；例5.如已知，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是_（答：或且）；例6、已知,為相互垂直的單位向量，。且與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析：由數(shù)量積的定義易得“”，但要注意問

6、題的等價(jià)性。解：由與的夾角為銳角，得有而當(dāng)即兩向量同向共線時(shí)，有得此時(shí)其夾角不為銳角。故.評(píng)析：特別提醒的是：是銳角與不等價(jià)；同樣是鈍角與不等價(jià)。極易疏忽特例“共線”。特殊情況有=。或=.如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(,),(,),則=。（因）數(shù)量積不適合乘法結(jié)合律.如（因?yàn)榕c共線，而與共線）數(shù)量積的消去律不成立.若、是非零向量且并不能得到這是因?yàn)橄蛄坎荒茏鞒龜?shù)，即是無意義的.(6)向量b在方向上的投影bcos(7) 和是平面一組基底,則該平面任一向量(唯一)特別：. 則是三點(diǎn)P、A、B共線的充要條件.注意：起點(diǎn)相同，系數(shù)和是1。基底一定不共線例7、已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和

7、為，若，且A、B、C三點(diǎn)共線（該直線不過點(diǎn)O），則S200（ ）A50 B. 51 C.100 D.101例8、平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn),若點(diǎn)滿足,其中且,則點(diǎn)的軌跡是_（直線AB）例9、已知點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別是.若存在實(shí)數(shù),使,則的值是:A. 0 B. 1 C. 0或1 D.不確定例10下列條件中，能確定三點(diǎn)不共線的是：ABC D分析：本題應(yīng)知：“共線，等價(jià)于存在使且”。(8)在中，為的重心，特別地為的重心；則過三角形的重心；例11、設(shè)平面向量、的和。如果向量、，滿足，且順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與同向，其中，則（D）（06河南高考）A BC D為的垂心； 向量所在直線過的內(nèi)心(的角分線

8、所在直線)；的內(nèi)心；(選)SAOB;例12、若O是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則的形狀為_（答：直角三角形）；例13、若為的邊的中點(diǎn)，所在平面內(nèi)有一點(diǎn)，滿足，設(shè)，則的值為_（答：2）；例14、若點(diǎn)是的外心，且，則內(nèi)角為_（答：）；(9)、 P分的比為,則=,0內(nèi)分;0且-1外分.;若1 則(+);設(shè)P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2)則;中點(diǎn)重心說明：特別注意各點(diǎn)的順序，分子是起點(diǎn)至分點(diǎn)，分母是分點(diǎn)至終點(diǎn)，不能改變順序和 分子分母的位置。例15、已知A（4，-3），B（-2，6），點(diǎn)P在直線AB上，且，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）（2，0），（6，-6）(10)、點(diǎn)按平移得,則 或 函數(shù)按

9、平移得函數(shù)方程為：說明：（1）向量按向量平移，前后不變；（2）曲線按向量平移，分兩步：確定平移方向-與坐標(biāo)軸的方向一致；按左加右減，上加下減（上減下加）例16、把函數(shù)的圖象按向量平移后得到的解析式是_。例17、函數(shù)的圖象按向量平移后，所得函數(shù)的解析式是，則_（答：）結(jié)論：已知,過的直線與交于點(diǎn),則分所成的比是,若用此結(jié)論,以下兩題將變得很簡(jiǎn)單.例18、已知有向線段的起點(diǎn)P和終點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別是，若直線的方程是，直線與的延長(zhǎng)線相交,則的取值范圍是_.解:由得,因?yàn)橹本€與的延長(zhǎng)線相交,故,解得變式:已知點(diǎn)A(2,-1),B(5,3).若直線與線段相交,求的范圍.提示: 由 得:及直線過端點(diǎn)得（11）

10、對(duì)空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A、B、C，滿足，則四點(diǎn)P、A、B、C是共面注意：（1）起點(diǎn)相同 （2）系數(shù)和是1。（12） 空間兩個(gè)向量的夾角公式 cosa，b=（a，b）.（13）空間兩點(diǎn)間的距離公式 若A，B，則 =.（14）點(diǎn)到直線距離(點(diǎn)在直線上，直線的方向向量a=，向量b=).（15）正弦定理 （R是三角形的外接圓半徑）說明：正弦定理可直接進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換；例15：在中，分別是角的對(duì)邊，且，求B的大小。提示：例16：在中，若，則此三角形必是_三角形（等腰）提示：（16）余弦定理; .（17）面積定理（分別表示a、b、c邊上的高）.=(為的夾角)（18）三角形內(nèi)角和定理 在ABC中

11、，有.說明：（1）三角形具有豐富的內(nèi)涵（隱含條件）：兩邊之和大于第三邊；：斜邊大于直角邊；：正（余）弦定理；：面積公式；：內(nèi)角和是；：大角對(duì)大邊：正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性；銳角三角形中有：鈍角三角形中有（C是鈍角）：例17：定義在R上的偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，是銳角三角形的兩個(gè)角，則（ ）A、 B、C、 D、（19）平面兩點(diǎn)間的距離公式=(A，B).（20）向量的平行與垂直 設(shè)a=,b=，且b0，則abb=a .ab(a0)a·b=0.（21）線段的定比分公式  設(shè)，是線段的分點(diǎn),是實(shí)數(shù)，且，則（）.（22）平面向量的綜合問題 向量的“雙重身份”注定了它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)

12、重要交匯點(diǎn)，擔(dān)當(dāng)多項(xiàng)內(nèi)容的媒介也就成了理所當(dāng)然的事情，數(shù)的特性使得它與“函數(shù)，三角，數(shù)列，不等式，導(dǎo)數(shù)”有眾多的聯(lián)系，成為高考中一個(gè)新的亮點(diǎn)。形的特性又使它必然與“平面幾何，解析幾何，立體幾何”緊密相關(guān)，以體現(xiàn)它的工具作用。我們應(yīng)該首先做到的是具有向量語(yǔ)言的“翻譯”能力。即把抽象的向量語(yǔ)言，轉(zhuǎn)換成直觀的“圖形語(yǔ)言”或者可操作的“運(yùn)算形式”。一般來說，夾角問題總是從數(shù)量積入手，長(zhǎng)度問題則從模的運(yùn)算性質(zhì)開始（一般需先平方），而共線，共點(diǎn)問題多由數(shù)乘向量處理。例19設(shè)平面向量，若存在不同時(shí)為0的兩個(gè)實(shí)數(shù)及實(shí)數(shù)，使。（1）求函數(shù)關(guān)系式；（2）若函數(shù)在是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍。分析：由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，

13、不難得出的解析式，含參數(shù)必引起討論，運(yùn)用“整體思想”可簡(jiǎn)化計(jì)算；在是單調(diào)函數(shù)，等價(jià)于“或在上恒成立”。解：（1），又即由此得：（2），又是單調(diào)函數(shù)，若是增函數(shù)，則，恒有，若是減函數(shù)，則，恒有，這樣的不存在綜上.評(píng)析：本題覆蓋了許多重要的知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)思想方法，與“在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題”的高考命題思想相吻合。例20、在ABC中， ，又E點(diǎn)在BC邊上，且滿足3，以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過C、E兩點(diǎn).求此雙曲線的方程.分析：遇到的首要問題即“建系”和“向量語(yǔ)言”的解讀。深刻理解向量運(yùn)算的幾何意義，就顯得萬(wàn)分重要了。解:以線段AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，A（-1，0），B（1，0） 作CDAB于D，由已知， |cosA=，即|=，同理又 ，|=，設(shè)雙曲線的方程為 (a>0,b>0),C(-,h), E(x1,y1)又 3， 又E、C兩點(diǎn)在雙曲線上，,解答：a2=,b2=, 雙曲線的方程為：7x2-=1. 評(píng)析：解析幾何與向量的綜合，主要表現(xiàn)為用向量的語(yǔ)言來表述題意（如共線，垂直常表現(xiàn)為向量等式，有時(shí)也涉及向量的坐標(biāo)形式），其實(shí)其本質(zhì)內(nèi)容仍是本章節(jié)的知識(shí)的整合。本題中關(guān)鍵在理解兩個(gè)向量等式（也即“向量的投影”）的幾何意義，我們只要具備數(shù)學(xué)語(yǔ)言的“翻譯”能力和簡(jiǎn)單的向量坐標(biāo)運(yùn)算的基礎(chǔ)知識(shí)就可以了。例21設(shè)