1、冪零變換的注記莆田學(xué)院 復(fù)數(shù)域上n維空間：一個(gè)線性變換可以看成是一個(gè)可逆變換與一個(gè)冪零變換的和。 Jordan-chevalley (約旦-謝瓦萊定理） 比如林老師：高等代數(shù) 229頁 在高等代數(shù)與線性代數(shù)的很多教材中都有看到關(guān)于冪零變換的相關(guān)試題。 比如林老師：高等代數(shù) 132頁習(xí)題6 設(shè)f是n維線性空間V上的線性變換，若存在正整數(shù)k,滿足fk=0,fk-10, f稱為k-冪零變換。 在高等代數(shù)如132頁習(xí)題6 設(shè)f是m維線性空間V上的線性變換，滿足fm=0,fm-10,則存在V的一個(gè)基，使得f在這個(gè)基下的矩陣是01(0,)10m mJm J(0,m)的秩=m-112(,)mAdiag J

2、JJ0110jjjnnJ 121,mjm nnn1mjjnn1nk 其中 ；且n維空間上k-冪零變換：若存在正整數(shù)k,滿足fk=0,fk-10,則存在V的一個(gè)基，使得f在這個(gè)基下的矩陣是A稱為Jordan規(guī)范型矩陣冪零變換在相似等價(jià)的情形下，我們來查看冪零變換類別(0, )Jk(0,2)J(0,1)J(0, )Jk，拼成的首個(gè)為且可重復(fù)排列的Jordan規(guī)范型矩陣由kx2x00101x表示的個(gè)數(shù)，表示的個(gè)數(shù)，表示0的個(gè)數(shù)01(0, )10k kJk k-冪零變換在相似等價(jià)的情形下： xk , xk-1 , , x1不同，看成不同的k-冪零變換1kx 120kxx1xnkmin1rk當(dāng)，時(shí)，秩r

3、最小，即n維線性空間V上，不同的k-冪零變換所對應(yīng)的象的維數(shù)，即k-冪零變換下矩陣A的秩(mod )ntk0,1,1tk001110tnkAkttk 秩( ) ()00110tnkAntk 秩( )，其中秩的取值范圍為： 或 knxkr當(dāng)時(shí)，秩可取到最大 0(mod )nkmax(1) nnrknkkJordan若，最大秩且秩最大的規(guī)范型只有一個(gè) knxkr時(shí)，秩可取到最大 7n 3723x ( (0,3), (0,3),0)Jdiag JJ( (0,3), (0,2), (0,2)Jdiag JJJ當(dāng)，3-冪零變換時(shí)，此時(shí)：秩為4。但是，秩也為4。(mod )ntk0t Jordan當(dāng)，時(shí)，

4、秩最大的規(guī)范型并不唯一. 2-冪零變換：12nA 秩( )對任意的秩，2-冪零變換的Jordan規(guī)范型矩陣都是唯一的。3-冪零變換12(,)mdiag J JJ0110jjjnnJ 1mjjnn 其中 ， ，3-冪零變換：若存在正整數(shù)3,滿足f3=0,f20,則存在V的一個(gè)基，使得f在這個(gè)基下的矩陣是121,3mjmnnn(0,3)J(0,2)J(0,1)J(0,3)J、，拼成的首個(gè)為且可重復(fù)排列的Jordan規(guī)范型矩陣由3x0001000102x00101x表示的個(gè)數(shù)，表示的個(gè)數(shù)，表示0的個(gè)數(shù)2r32nn 23nn2r31x 20 x 13xnmin2r當(dāng)時(shí)，秩的范圍： 在象的維數(shù)給定的情況

5、下，冪零變換在相似等價(jià)的前提下，有多少種可能呢？12nC2C當(dāng)秩為C的所有n階3-冪零變換的Jordan規(guī)范型的個(gè)數(shù)為時(shí)，令C為A的秩，3-冪零變換：A為一個(gè)基下的Jordan規(guī)范型。12nC112CnC1312CCnC為偶數(shù)為奇數(shù)11322CCnC為偶數(shù)為奇數(shù)當(dāng)時(shí)， 或或34n22r5n 23r當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，而且不同的秩的Jordan規(guī)范型的個(gè)數(shù)為1。6n12n0(mod3)n 2(mod3)n maxr1(mod3)n maxr當(dāng)時(shí)，時(shí)，的Jordan規(guī)范型的個(gè)數(shù)為1。時(shí)，的Jordan規(guī)范型的個(gè)數(shù)為2。當(dāng)當(dāng)max32nnr 在相似等價(jià)的情形下，關(guān)于2-冪零變換與3-冪零變換我們有一定的了解， 那么不考慮相似等價(jià)，冪零變換？平面二維空間1、f是2維平面到2維平面的線性變換，即為可逆變換2、g是2維平面到平面上直線的線性變換，2-冪零變換：在x軸單位向量和y軸單