1、第6章 參數估計1，設總體未知，是來自的樣本。求的矩估計量。今測得一個樣本值0.5，0.6，0.1，1.3，0.9，1.6，0.7，0.9，1.0，求的矩估計值。解：因為總體，所以總體矩。根據容量為9的樣本得到的樣本矩。令總體矩等于相應的樣本矩：，得到的矩估計量為。把樣本值代入得到的矩估計值為。2，設總體具有概率密度，參數未知，是來自的樣本，求的矩估計量。解：總體的數學期望為，令可得的矩估計量為。3，設總體參數未知，是來自的樣本，求的矩估計量（對于具體樣本值，若求得的不是整數，則取與最接近的整數作為的估計值）。解：總體的數學期望為， 二階原點矩為。令總體矩等于相應的樣本矩：，得到，。4，（1）

2、設總體未知，是來自的樣本，是相應的樣本值。求的矩估計量，求的最大似然估計值。（2）元素碳-14在半分鐘內放射出到達計數器的粒子數，下面是的一個樣本：6 4 9 6 10 11 6 3 7 10求的最大似然估計值。解：（1）因為總體的數學期望為，所以矩估計量為。似然函數為，相應的對數似然函數為。令對數似然函數對的一階導數為零，得到的最大似然估計值為。（2）根據（1）中結論，的最大似然估計值為。5，（1）設服從參數為的幾何分布，其分布律為。參數未知。設是一個樣本值，求的最大似然估計值。（2）一個運動員，投籃的命中率為，以表示他投籃直至投中為止所需的次數。他共投籃5次得到的觀察值為5 1 7 4 9

3、求的最大似然估計值。解：（1）似然函數為 ，相應的對數似然函數為。令對數似然函數對的一階導數為零，得到的最大似然估計值為。（2）根據（1）中結論，的最大似然估計值為。6，（1）設總體，參數已知，未知，是來自一個樣本值。求的最大似然估計值。（2）設總體，參數已知，（>0）未知，為一相應的樣本值。求的最大似然估計值。解：（1）似然函數為 ，相應的對數似然函數為。令對數似然函數對的一階導數為零，得到的最大似然估計值為。（2）似然函數為 ，相應的對數似然函數為。令對數似然函數對的一階導數為零，得到的最大似然估計值為。7，設是總體的一個樣本，為一相應的樣本值。（1） 總體的概率密度函數為，求參數的

4、最大似然估計量和估計值。（2） 總體的概率密度函數為，求參數的最大似然估計值。（3） 設已知，未知，求的最大似然估計值。解：（1）似然函數為 ，相應的對數似然函數為。令對數似然函數對的一階導數為零，得到的最大似然估計值為。相應的最大似然估計量為。（2）似然函數為 ，相應的對數似然函數為。令對數似然函數對的一階導數為零，得到的最大似然估計值為。（3）因為其分布律為所以，似然函數為 ，相應的對數似然函數為。令對數似然函數對的一階導數為零，得到的最大似然估計值為。8，設總體具有分布律1 2 3其中參數未知。已知取得樣本值，試求的最大似然估計值。解：根據題意，可寫出似然函數為，相應的對數似然函數為。令

5、對數似然函數對的一階導數為零，得到的最大似然估計值為。9，設總體，未知，已知，和分別是總體和的樣本，設兩樣本獨立。試求最大似然估計量。解：根據題意，寫出對應于總體和的似然函數分別為 ，相應的對數似然函數為，令對數似然函數分別對和的一階導數為零，得到，算出最大似然估計量分別為，。10，（1）驗證均勻分布中的未知參數的矩估計量是無偏估計量。（2）設某種小型計算機一星期中的故障次數，設是來自總體的樣本。驗證是的無偏估計量。設一星期中故障維修費用為，求。（3）驗證是的無偏估計量。解：（1）均勻分布中的未知參數的矩估計量為。由于，所以是的無偏估計量。（2）因為，所以是的無偏估計量。（3）因為，所以，是的

6、無偏估計量。11，已知是來自均值為的指數分布總體的樣本，其中未知。設有估計量，。 （1） 指出中哪幾個是的無偏估計量。（2） 在上述的無偏估計量中哪一個較為有效？解：（1）因為，。所以，是的無偏估計量。（2）根據簡單隨機樣本的獨立同分布性質，可以計算出，所以，是比更有效的無偏估計量。12，以X表示某一工廠制造的某種器件的壽命（以小時計），設，今取得一容量為的樣本，測得其樣本均值為，求（1）的置信水平為0.95的置信區間，（2）的置信水平為0.90的置信區間。解：這是一個方差已知的正態總體均值的區間估計問題。根據標準的結論，的置信水平為的置信區間為。（1）的置信水平為0.95的置信區間為。（2）

7、的置信水平為0.90的置信區間為。13，以X表示某種小包裝糖果的重量（以g計），設，今取得樣本（容量為）：55.95, 56.54, 57.58, 55.13, 57.48, 56.06, 59.93, 58.30, 52.57, 58.46（1） 求的最大似然估計值。（2） 求的置信水平為0.95的置信區間。解：（1）根據已知結論，正態分布均值的最大似然估計量和矩估計量相同：。所以的最大似然估計值為。（2）的置信水平為0.95的置信區間為。14，一農場種植生產果凍的葡萄，以下數據是從30車葡萄中采樣測得的糖含量（以某種單位計）16.0, 15.2, 12.0, 16.9, 14.4, 16.

8、3, 15.6, 12.9, 15.3, 15.115.8, 15.5, 12.5, 14.5, 14.9, 15.1, 16.0, 12.5, 14.3, 15.415.4, 13.0, 12.6, 14.9, 15.1, 15.3, 12.4, 17.2, 14.7, 14.8設樣本來自正態總體，均未知。（1） 求的無偏估計值。（2） 求的置信水平為90%的置信區間。解：（1）的無偏估計值為， 。（2）的置信水平為90%的置信區間為15，一油漆商希望知道某種新的內墻油漆的干燥時間。在面積相同的12塊內墻上做試驗，記錄干燥時間（以分計），得樣本均值分，樣本標準差分。設樣本來自正態總體，均未知

9、。求干燥時間的數學期望的置信水平為0.95的置信區間。解：這是一個方差未知的正態總體均值的區間估計問題。根據已知結論，干燥時間的數學期望的置信水平為0.95的置信區間為。16，Macatawa湖（位于密歇根湖的東側）分為東、西兩個區域。下面的數據是取自西區的水的樣本，測得其中的鈉含量（以ppm計）如下：13.0, 18.5, 16.4, 14.8, 19.4, 17.3, 23.2, 24.9, 20.8, 19.3, 18.8, 23.1, 15.2, 19.9, 19.1, 18.1, 25.1, 16.8, 20.4, 17.4, 25.2, 23.1, 15.3, 19.4, 16.0

10、, 21.7, 15.2, 21.3, 21.5, 16.8, 15.6, 17.6設樣本來自正態總體，均未知。求的置信水平為0.95的置信區間。解：根據題中數據，計算可得樣本均值，樣本方差。的置信水平為0.95的置信區間為17，設X是春天捕到的某種魚的長度（以cm計），設，均未知。下面是X的一個容量為13的樣本：13.1, 5.1, 18.0, 8.7, 16.5, 9.8, 6.8, 12.0, 17.8, 25.4, 19.2, 15.8, 23.0（1） 求的無偏估計；（2） 求的置信水平為0.95的置信區間。解：根據題中數據計算可得。（1） 方差的無偏估計即為樣本方差。（2） 的置信

11、水平為0.95的置信區間為，所以的置信水平為0.95的置信區間為。18，為比較兩個學校同一年級學生數學課程的成績，隨機地抽取學校A的9個學生，得分數的平均值為，方差為；隨機地抽取學校B的15個學生，得分數的平均值為，方差為。設樣本均來自正態總體且方差相等，參數均未知，兩樣本獨立。求均值差的置信水平為0.95的置信區間。解：根據兩個正態總體均值差的區間估計的標準結論，均值差的置信水平為0.95的置信區間為19，設以X,Y分別表示有過濾嘴和無過濾嘴的香煙含煤焦油的量（以mg計），設，均未知。下面是兩個樣本X: 0.9, 1.1, 0.1, 0.7, 0.3, 0.9, 0.8, 1.0, 0.4Y

12、: 1.5, 0.9, 1.6, 0.5, 1.4, 1.9, 1.0, 1.2, 1.3, 1.6, 2.1兩樣本獨立。求的置信水平為0.95的置信區間。解：根據題中數據計算可得，。（未完）根據兩個正態總體方差比的區間估計的標準結論，的置信水平為0.95的置信區間為。20，設以X,Y分別表示健康人與懷疑有病的人的血液中鉻的含量（以10億份中的份數計），設，均未知。下面是分別來自X和Y的兩個獨立樣本：X: 15, 23, 12, 18, 9, 28, 11, 10Y: 25, 20, 35, 15, 40, 16, 10, 22, 18, 32求的置信水平為0.95的單側置信上限，以及的置信水平為0.95的單側置信上限。解：根據題中數據計算得到，。的置信水平為0.95的單