1、第十八屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初賽試題C（小學(xué)高年級(jí)組）（時(shí)間: 2013 年3月23日）一、選擇題 (每小題 10 分, 滿(mǎn)分60分. 以下每題的四個(gè)選項(xiàng)中, 僅有一個(gè)是正確的, 請(qǐng)將表示正確答案的英文字母寫(xiě)在每題的圓括號(hào)內(nèi).)1. 如果（其中m與n為互質(zhì)的自然數(shù)）, 那么m+n的值是（ ）. （A）1243 （B）1343 （C）4025 （D）4029解答：B。 在考試中，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ê苤匾＿@道題，看到這道題后，我第一個(gè)想法就是歸納。、寫(xiě)完前三個(gè)，發(fā)現(xiàn)第二個(gè)算式很不和諧，又寫(xiě)出了第四個(gè)，仔細(xì)一想，原來(lái)第二個(gè)可以寫(xiě)成，規(guī)律找到了，分子是原式中分子部分的一個(gè)因數(shù)，分母比分子大3！答案一

2、定是，很簡(jiǎn)單，第一題是很容易的年份題，等等，年份2013這個(gè)數(shù)是我們非常熟悉的，2013=3×11×61，是3的倍數(shù)，那么加3不還是3的倍數(shù)么？可以約分，所以最后的答案是所以選B！如果本題需要詳細(xì)的過(guò)程，那么用規(guī)納的方法是不合適的，因?yàn)檫@是不完全歸納法，你這么知道前幾個(gè)適用的情況下，最后的2013也適用呢，所以最正確的方法是這樣思考：如果這道題直接計(jì)算，分別算出分子分母，然后必然需要一個(gè)約分的過(guò)程（從選項(xiàng)可以看出），那么就太麻煩了，如果不計(jì)算出最后結(jié)果就可以約分，是件好事兒，那么轉(zhuǎn)化分子還是轉(zhuǎn)化分母呢？我們都知道，當(dāng)分子分母都是乘法的形式，是比較好約分的，所以要轉(zhuǎn)化分母，要

3、在分母中“湊”出2013.具體過(guò)程是這樣的：這個(gè)題做完了，很容易得分的一道題，也是容易馬虎的一個(gè)題，如果不仔細(xì)讀題，忽略了“m與n為互質(zhì)的自然數(shù)”，那么就容易把答案寫(xiě)成D。2. 甲、乙、丙三位同學(xué)都把25克糖放入100克水中混合成糖水, 然后他們又分別做了以下事情:再加入50克含糖率20%的糖水. 再加入20克糖和30克水.再加入100克糖與水的比是2:3的糖水.最終,（ ）得到的糖水最甜.（A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）乙和丙解答：C。根據(jù)題意和我們所學(xué)過(guò)的公式，可以分別求出三人得到的糖水的最終濃度！(1) 甲配得的糖水含糖率：;(2) 乙配得的糖水含糖率：;(3) 丙配得的糖水含糖率：

4、.所以，丙最甜！其實(shí)我們還可以用另一種方法來(lái)解答，如果對(duì)概念理解的比較清晰的話(huà)，我們可以知道，向共同的糖水中加另一種糖水，加的糖水的濃度越大，糖水質(zhì)量越多就越甜。甲又加入的是濃度為：20%的糖水50克乙又加入的是濃度為20÷（20+30）=40%的糖水50克丙又加入的是濃度為2÷（2+3）=40%的糖水100克很明顯，丙往里面加的糖水更甜，更多，所以最甜的一定是丙。3. 一只青蛙8點(diǎn)從深為12米的井底向上爬, 它每向上爬3米, 因?yàn)榫诖蚧? 就會(huì)下滑1米, 下滑1米的時(shí)間是向上爬3米所用時(shí)間的三分之一. 8點(diǎn)17分時(shí), 青蛙第二次爬至離井口3米之處, 那么青蛙從井底爬到井

5、口時(shí)所花的時(shí)間為（ ）分鐘. （A）22 （B）20 （C）17 （D）16解答：A。無(wú)論上還是下，每一米所用的時(shí)間都是一樣的，根據(jù)題意，每向上爬3米會(huì)下降1米，我們列一個(gè)表格。青蛙實(shí)際高度325476989111012向上爬303030301202向下滑010101010010從上表可以看出，當(dāng)?shù)诙蔚竭_(dá)了離井口3的地方的時(shí)候，青蛙運(yùn)動(dòng)了，3×4+1+1×4=17米。而當(dāng)這只青蛙跳出井口的時(shí)候共走了3×5+2+1×5=22米。根據(jù)題意17÷17×22=22分鐘。4. 已知正整數(shù)A分解質(zhì)因數(shù)可以寫(xiě)成, 其中、 是自然數(shù). 如果A的二分

6、之一是完全平方數(shù), A的三分之一是完全立方數(shù), A的五分之一是某個(gè)自然數(shù)的五次方, 那么 的最小值是（ ）.（A）10 （B）17 （C）23 （D）31解答：D。根據(jù)“A的二分之一是完全平方數(shù)”可以知道，（-1）、都是2的倍數(shù)。根據(jù)“A的三分之一是完全立方數(shù)”可以知道，、（-1）、都是3的倍數(shù)。根據(jù)“A的五分之一是某個(gè)自然數(shù)的五次方”可以知道，、（-1）都是5的倍數(shù)。同時(shí)滿(mǎn)足三個(gè)條件的的最小值恰好是3,5=15；的最小值恰好是2,5=10；的最小值恰好是2,3=6。所以， 的最小值是15+10+6=31。5. 今有甲、乙兩個(gè)大小相同的正三角形, 各畫(huà)出了一條兩邊中點(diǎn)的連線(xiàn). 如圖, 甲、乙位

7、置左右對(duì)稱(chēng), 但甲、乙內(nèi)部所畫(huà)線(xiàn)段的位置不對(duì)稱(chēng). 從圖中所示的位置開(kāi)始, 甲向右水平移動(dòng), 直至兩個(gè)三角形重疊后再離開(kāi). 在移動(dòng)過(guò)程中的每個(gè)位置, 甲與乙所組成的圖形中都有若干個(gè)三角形. 那么在三角形個(gè)數(shù)最多的位置, 圖形中有（ ）個(gè)三角形.（A）9 （B）10 （C）11 （D）12解答：C。可以把所有的情況都畫(huà)出來(lái)然后通過(guò)比較找出三角形最多的圖形，再仔細(xì)的數(shù)一下，發(fā)現(xiàn)有11個(gè)，所有的圖如下：還有一種辦法，如果沒(méi)有三角形內(nèi)部的兩條線(xiàn)搗亂的話(huà)，那么這個(gè)題就簡(jiǎn)單多了，我們從簡(jiǎn)單的情況入手！當(dāng)沒(méi)有三角形內(nèi)部的兩條線(xiàn)時(shí)，這兩個(gè)三角形在移動(dòng)的過(guò)程中，最多可以有8個(gè)三角形（如圖1），在這種情況下再按照題

8、中條件，再填兩條線(xiàn)，在不與已有邊重合的情況下，至少多2個(gè)三角形（如圖2），而最多只能多3個(gè)（如圖3）。6. 從111這11個(gè)整數(shù)中任意取出6個(gè)數(shù), 則下列結(jié)論正確的有（ ）個(gè). 其中必有兩個(gè)數(shù)互質(zhì); 其中必有一個(gè)數(shù)是其中另一個(gè)數(shù)的倍數(shù); 其中必有一個(gè)數(shù)的2倍是其中另一個(gè)數(shù)的倍數(shù).（A）3 （B）2 （C）1 （D）0解答：B。對(duì)于“任意必有”這樣的語(yǔ)句，應(yīng)該考慮到“抽屜原理”。如果需要證明結(jié)論正確的話(huà)，那就要構(gòu)造抽屜，而抽屜的個(gè)數(shù)，應(yīng)該是小于6的！看題：第一句說(shuō)必有兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，如果這是正確的話(huà)，那么就要構(gòu)造出小于6的抽屜，且每一組抽屜中的數(shù)一定是兩兩互質(zhì)的，而很容易想到，每相鄰的兩個(gè)數(shù)都是互質(zhì)

9、的，所以可以這樣構(gòu)造（1,2,3）（4,5）（6,7）（8,9）（10,11）其實(shí)構(gòu)造的方法不是唯一的，還有很多構(gòu)造方法如：【（1,3,4）（2,9）（8，11）（5，6）（7,10）】；第二句很容易舉出反例，（6、7、8、9、10、11）最大的六個(gè)數(shù)就沒(méi)有倍數(shù)關(guān)系，同樣的還有：（4、5、6、7、9、11）；第三句，根據(jù)第二句話(huà)的反例，可以看出，第三句話(huà)是成立的，那么就要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明一下，還是要構(gòu)造抽屜，按照什么構(gòu)造呢，可以按照1到11中的5個(gè)質(zhì)因數(shù)來(lái)構(gòu)造5個(gè)抽屜，1放在哪個(gè)抽屜里都可以,（1,2,4,8）（3,6,9）（5,10）（7）（11）這五個(gè)抽屜中，要任意取6個(gè)數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽

10、屜中，就必滿(mǎn)足其中一個(gè)數(shù)的2倍是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)。所以有兩句是正確的，最后的答案是B。二、填空題 (每小題 10 分, 滿(mǎn)分40分)7. 有四個(gè)人去書(shū)店買(mǎi)書(shū), 每人買(mǎi)了4本不同的書(shū), 且每?jī)蓚€(gè)人恰有2本書(shū)相同, 那么這4個(gè)人至少買(mǎi)了_種書(shū).解答：7。從簡(jiǎn)單的情況思考，若只有兩個(gè)人，那么為了符合題意，一定有6本不同的書(shū)，我們可以給這6本數(shù)編號(hào)為1、2、3、4、5、6，那么設(shè)甲買(mǎi)的是1、2、3、4，乙買(mǎi)的是1、2、5、6.這時(shí)候又來(lái)了第三個(gè)人，我們稱(chēng)呼他為丙，這是丙為了符合題意，他可以選擇不買(mǎi)其他的書(shū)，他買(mǎi)編號(hào)為3、4、5、6也符合題意，這時(shí)要注意的是，當(dāng)三個(gè)人，只買(mǎi)6本書(shū)的時(shí)候，當(dāng)甲、乙買(mǎi)的書(shū)確定

11、之后，丙購(gòu)買(mǎi)的編號(hào)是唯一的，就是丙不能買(mǎi)甲、乙都買(mǎi)的書(shū)，如果他買(mǎi)了一本甲乙都買(mǎi)的書(shū)，那么他就必須再買(mǎi)一本他自己“獨(dú)有”的書(shū)！列一個(gè)表格讓我剛才說(shuō)的更清晰：123456甲乙丙把3個(gè)人的情況弄明白之后，看四個(gè)人的，這時(shí)丁來(lái)了，站在剛才丙的角度思考，他至少要有一本“獨(dú)有”的書(shū)了，所以4個(gè)人的時(shí)候至少是7本，可以給出構(gòu)造如下：1234567甲乙丙丁即甲買(mǎi)的書(shū)編號(hào)為（1, 2, 3, 4）, 那么乙買(mǎi)的書(shū)的編號(hào)為（1, 2, 5, 6）, 為使種數(shù)最少, 丙買(mǎi)的書(shū)的編號(hào)為（3, 4, 5, 6）, 此時(shí)丁可以買(mǎi)（1, 3, 5, 7）.8. 每天, 小明上學(xué)都要經(jīng)過(guò)一段平路AB、一段上坡路BC 和一段下

12、坡路 CD （如右圖）. 已知AB:BC:CD = 1:2:1, 并且小明在平路、上坡路、下坡路上的速度比為3:2:4. 那么小明上學(xué)與放學(xué)回家所用的時(shí)間比是 .解答：。簡(jiǎn)單的賦值法可以計(jì)算出結(jié)果，設(shè)AB是100米，那么BC的路程就是200米，CD的路程就是100米；設(shè)小明平路的速度是3米/秒，那么他上坡路、下坡路上的速度就分別是2米/秒、4米/秒.根據(jù)賦值來(lái)計(jì)算，小明上學(xué)的時(shí)間是：小明放學(xué)回家的時(shí)間是：所以時(shí)間比為！如果覺(jué)得賦值法不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)脑?huà)，那么可以設(shè), 則, ; 設(shè) , 則 , . 可以計(jì)算這些算式得：,所以.9. 黑板上有11個(gè)1, 22個(gè)2, 33個(gè)3, 44個(gè)4. 做以下操作: 每

13、次擦掉3個(gè)不同的數(shù)字,并且把沒(méi)擦掉的第四種數(shù)字多寫(xiě)2個(gè). 例如: 某次操作擦掉1個(gè)1, 1個(gè)2, 1個(gè)3, 那就再寫(xiě)上2個(gè)4. 經(jīng)過(guò)若干次操作后, 黑板上只剩下3個(gè)數(shù)字, 而且無(wú)法繼續(xù)進(jìn)行操作, 那么最后剩下的三個(gè)數(shù)字的乘積是 .解答：12。仔細(xì)閱讀題中所說(shuō)的操作，會(huì)發(fā)現(xiàn)無(wú)論如何操作，任意兩種數(shù)的個(gè)數(shù)的差只有不變，加3和減3三種情況！（比如說(shuō)1和2的個(gè)數(shù)，無(wú)論怎樣操作，對(duì)于這兩個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)只有3類(lèi)情況，要么同時(shí)減少一個(gè)；要么1的個(gè)數(shù)加2個(gè)，2的個(gè)數(shù)少一個(gè)；要么1的個(gè)數(shù)少1個(gè)，2的個(gè)數(shù)加2個(gè)）。那么繼續(xù)，看1的個(gè)數(shù)和2的個(gè)數(shù)，用2的個(gè)數(shù)減去1的個(gè)數(shù)，他們的差是22-11=11，11除以3的余數(shù)是2

14、，那就是說(shuō)當(dāng)數(shù)字2的個(gè)數(shù)比1的個(gè)數(shù)多時(shí)，他們的差一定是除以3余2的；但如果數(shù)字1的個(gè)數(shù)比2多的話(huà)，那么這個(gè)差除以3的余數(shù)一定是1，（可以試著操作幾次，讓1的個(gè)數(shù)多與2的個(gè)數(shù)）。這樣都算下來(lái)比較麻煩，觀(guān)察一些特殊的，不用分類(lèi)討論的，可以發(fā)現(xiàn)1的個(gè)數(shù)和4的個(gè)數(shù)，它們的差是33，正好是3的倍數(shù)，也就是說(shuō)，操作到最后，剩下的1的個(gè)數(shù)和4的個(gè)數(shù)要么一樣多，要么個(gè)數(shù)差3。再根據(jù)題意，最后只剩下3個(gè)數(shù)，如果1的個(gè)數(shù)為3，那么2的個(gè)數(shù)必然為2，不合題意。如果的個(gè)數(shù)為3，而1和2不可能都為0個(gè)，所以操作到最后時(shí)1的個(gè)數(shù)和4的個(gè)數(shù)都只能為0，而2的個(gè)數(shù)一定是2，那么3的個(gè)數(shù)就是1，所以剩下的三個(gè)數(shù)是2個(gè)2和1個(gè)3

15、，他們乘積是12.這個(gè)題，說(shuō)了好多，其實(shí)就是考察模3同余的問(wèn)題。同余是數(shù)論問(wèn)題中比較難的一部分，而華杯中的數(shù)論問(wèn)題是不可缺少的，看完答案的同學(xué)，如果你可以走進(jìn)決賽，那就一定要在數(shù)論中再下一番功夫，功夫的重點(diǎn)在用代數(shù)式的形式解決數(shù)論問(wèn)題，還有就是同余的應(yīng)用等。10. 如右圖, 正方形ABCD被分成了面積相同的8個(gè)三角形, 如果DG = 5, 那么正方形ABCD面積是 .解答：64。題中只給出了一個(gè)具體數(shù)據(jù)DG=5，要求出正方形的面積，我們可以用一個(gè)未知數(shù)x作為過(guò)渡，找到DG和正方形邊長(zhǎng)的關(guān)系，關(guān)系有了，就可以求出邊長(zhǎng)，進(jìn)而求出面積。設(shè)邊長(zhǎng)是8x。 所以BI=AH，若整個(gè)正方形的面積是8份的話(huà)，ADH的面積是1份，AH是AB的，即AH=BI=2x，HI=4x，如果連接CH，那么CHI的面積是CBI的2倍，就是2份，而FHI的面積是1份，所以CF=FI，進(jìn)行不下去了，要向DG靠攏，所以做條輔助線(xiàn)：延長(zhǎng)FG交DH于N, DA于M（如右圖） 根據(jù)燕尾模型，DN=NH，在梯形CDHI中，CF=FI,DN=NH，所以FN與CD、HI平行（平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例），所以DM=MA平行后，F(xiàn)G與HI之間的距離相等，而所以FG=HI=4x又因?yàn)槿切蜦DG的面積是三角形DGN面積的2倍, 所以GN=2x根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知, NM = (8x