1、1一個方程的情形一個方程的情形方程組的情形方程組的情形小結小結 思考題思考題 作業作業( implicit function )第五節第五節 隱函數的求導公式隱函數的求導公式第八章第八章 多元函數微分法及其應用多元函數微分法及其應用2 隱函數在實際問題中是常見的隱函數在實際問題中是常見的.平面曲線方程平面曲線方程空間曲面方程空間曲面方程空間曲線方程空間曲線方程下面討論如何由下面討論如何由隱函數方程隱函數方程0),( yxF0),( zyxF 0),(0),(zyxGzyxF如如求偏導數求偏導數.隱函數的求導公式隱函數的求導公式3一、一個方程的情形一、一個方程的情形 在一元函數微分學中在一元函數

2、微分學中, 現在利用復合函數的現在利用復合函數的鏈導法鏈導法給出隱函數給出隱函數(1)0),(. 1 yxF)1(0),( yxF的求導法的求導法.并指出并指出:曾介紹過隱函數曾介紹過隱函數的求導公式的求導公式,隱函數存在的一個充分條件隱函數存在的一個充分條件. .隱函數的求導公式隱函數的求導公式4隱函數存在定理隱函數存在定理1 1),(yxF),(00yxP隱函數的求導公式隱函數的求導公式設二元函數設二元函數的某一鄰域內滿足的某一鄰域內滿足:在點在點, 0),(00 yxFy則方程則方程; 0),(00 yxF),(xfy ),(00 xfy 的某一鄰域內的某一鄰域內并有并有),(),(dd

3、yxFyxFxyyx (1) 具有連續偏導數具有連續偏導數;0),( yxF),(00yxP它滿足條件它滿足條件在點在點隱函數的求導公式隱函數的求導公式(2) (3) 恒能唯一確定一個連續且具有連續導數的函數恒能唯一確定一個連續且具有連續導數的函數(證明從略證明從略)僅推導公式僅推導公式.將恒等式將恒等式兩邊關于兩邊關于x求導求導,),(xF由由全導數公式全導數公式,得得)(xf0 5連續，連續，由于由于),(yxFy，且且0),(00 yxFy, 0),( yxFy),(),(ddyxFyxFxyyx 或簡寫或簡寫:.ddyxFFxy ),(00yx于是得于是得隱函數的求導公式隱函數的求導公

4、式所以存在所以存在的一個鄰域的一個鄰域, 在這個鄰域內在這個鄰域內),(yxFx),(yxFy xydd 0 ),(xF)(xf0 6如如, , 方程方程, 0 yxeexy記記,),(yxeexyyxF ; 0)0 , 0( F(1)xxeyyxF ),(yyexyxF ),(與與)0 , 0(在點在點的鄰域內連續的鄰域內連續;, 01)0 , 0( yF所以方程在點所以方程在點)0, 0(附近確定一個有連續導數、附近確定一個有連續導數、且且yxFFxy dd.yxexey 隱函數的求導公式隱函數的求導公式隱函數存在定理隱函數存在定理1 1的隱函數的隱函數00 yx時時當當),(xfy 則則

5、(2)(3)7解解 令令則則,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFxy dd.xyyx 隱函數的求導公式隱函數的求導公式例例.dd,arctanln22xyxyyx求求已知已知 8),(zyxF),(000zyxP, 0),(000 zyxFz則方程則方程; 0),(000 zyxF),(yxfz ),(000yxfz 內恒能唯一確定一個連續且具有連續偏導數的內恒能唯一確定一個連續且具有連續偏導數的并有并有具有連續偏導數具有連續偏導數;若三元函數若三元函數的某鄰域內的某鄰域內0),( zyxF),(000zyx函數函數它

6、滿足條件它滿足條件在點在點在點在點0),( zyxF2. 由三元方程由三元方程確定二元隱函數確定二元隱函數),(yxfz .,yzxz 求求隱函數存在定理隱函數存在定理2 2隱函數的求導公式隱函數的求導公式的某一鄰域的某一鄰域,zxFFxz .zyFFyz (1)(2)(3)滿足滿足:9隱函數的求導公式隱函數的求導公式(證明從略證明從略)僅推導公式僅推導公式.將恒等式將恒等式兩邊分別關于兩邊分別關于x和和y求導求導,),(yxF應用應用復合函數求導復合函數求導法法得得),(yxf0 xFzF xz , 0 ,zxFFxz .zyFFyz ),(yxfz 是方程是方程0),( zyxF所確定的隱

7、所確定的隱設設函數函數, ,則則yFzF yz . 0 zF，且且0),(000 zyxFz, 0 zF),(000zyx點點所以存在所以存在的一個鄰域的一個鄰域,在這個鄰域內在這個鄰域內因為因為連續連續,于是得于是得10例例 , 1222222 czbyax已知已知.,2yxzyzxz 及及求求解解 ),(zyxF1222222 czbyax則則,22axFx ,22byFy 22czFz xzzaxc22 yzzbyc22 令令)0( z,zxFFxz zyFFyz 看看作作是是將將時時、在在求求),(,zyxFFFFzyx的的zyx,.三個自變量的函數三個自變量的函數隱函數的求導公式隱函

8、數的求導公式11將將 xzzaxc22 yxz222axc 22222)(zazbycxc 3224zbaxyc yzzbyc22 注注再一次對再一次對y求偏導數求偏導數,得得對復合函數求高階偏導數時對復合函數求高階偏導數時,需注意需注意:導函數仍是復合函數導函數仍是復合函數.故對導函數再求偏導數時故對導函數再求偏導數時,仍需用復合函數求導的方法仍需用復合函數求導的方法.2z 隱函數的求導公式隱函數的求導公式zy12確定了隱函數確定了隱函數設方程設方程1 zxyzxy.,2222yzxz 試求試求分析分析在某函數在某函數(或方程或方程)表達式中表達式中,自變量自變量互換后互換后,仍是原來的函數

9、仍是原來的函數 (或方程或方程),稱函數稱函數(或方程或方程)用對稱性可簡化計算用對稱性可簡化計算.解解 將方程兩邊對將方程兩邊對x求偏導求偏導,得得關于自變量對稱關于自變量對稱,yyxzyxz ),(yxzz 將任意兩個將任意兩個y xz z x xz 0 隱函數的求導公式隱函數的求導公式13再將上式兩邊對再將上式兩邊對x求偏導求偏導,yxzyxz 得得 22xz2)()(2yxzy 由由x, y的對稱性的對稱性知知, 22yz2)()(2yxzx 確確定定了了隱隱函函數數設設方方程程1 zxyzxy.,2222yzxz 試求試求),(yxzz 2)(yx xz )(yx )(zy 1 隱函

10、數的求導公式隱函數的求導公式14例例 設有隱函數設有隱函數 ,其中其中F的偏導數連續的偏導數連續,0),( zyzxF 求求 ,xz .yz 解解令令),(),(zyzxFzyxG xG yG zG zxGGxz zyGGyz用復合函數求導法用復合函數求導法)(22 yzF法一法一由公式由公式.zxGGxz 1F1 z2F1 z)(21 xzF,211yFxFzF 212yFxFzF , 0 0隱函數的求導公式隱函數的求導公式15將隱函數方程兩邊取全微分將隱函數方程兩邊取全微分, zxF d1即即1F故故2121dddyFxFyzFxzFz 從而從而,211yFxFzFxz 此法步驟清楚此法步

11、驟清楚法二法二 利用全微分利用全微分.212yFxFzFyz 2F , 0),( zyzxF 求求 ,xz .yz zyF d20 2ddzzxxz 2ddzzyyz 0 得得隱函數的求導公式隱函數的求導公式16將方程兩邊求導將方程兩邊求導.對對x求偏導求偏導:u vuF 即即 zuF 1vFyuFxuFzxz 自己練習自己練習z是是 x,y 的函數的函數!0),( zyzxF法三法三212yFxFzFyz 012 xzzyvFvF 0 xu xv xz 21zx 隱函數的求導公式隱函數的求導公式171991年研究生考題年研究生考題,填空填空,3分分2),(222 zyxxyzyxf是由方程是

12、由方程設函數設函數yxd2d 解解 法一法一 用公式用公式2),(222 zyxxyzzyxF設設,22222zyxxyzxF ,22222zyxyxzyF .22222zyxzxyzF 隱函數的求導公式隱函數的求導公式, 1)1,0, 1( xz,2)1,0, 1( yz,(1,0, 1)d()zz確定的 則 在點處的全微分(1,0, 1)dd2dzxy18法二法二 用全微分用全微分xyzd得得2222 zyxxyzyxzd zxyd 2222d2d2d2zyxzzyyxx 0 ,)1, 0 , 1(代入上式代入上式將點將點 yxzd2dd)1,0, 1( 隱函數的求導公式隱函數的求導公式1

13、9解解令令, zyxu ,xyzv 則則).,(vufz .,),(zyyxxzxyzzyxfz 求求設設,xz xzvf 整理得整理得xz vuvuxyffyzff 11.2.,yx ),(yxyzxzfv )1(0 yxfuuf)1(xz ),(xzxyyz 隱函數的求導公式隱函數的求導公式把把z看成看成x, y的函數的函數對對x求偏導數求偏導數,得得把把x看成看成y, z的函數的函數對對y求偏導數求偏導數,得得20),(xyzzyxfz 整理得整理得,vuvuyzffxzff yx )1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff 3.,zy 隱函

14、數的求導公式隱函數的求導公式把把y看成看成x, z的函數的函數對對z求偏導數求偏導數,得得21隱函數的求導公式隱函數的求導公式2002年在職攻讀碩士學位全國聯考年在職攻讀碩士學位全國聯考(6分分)zyxzeyexeyxzzzzu 由由方方程程且且設設),(,22.d,)1(uz求求所所確確定定 解解 法一法一 利用全微分利用全微分.zzzud2d2d zzd)1(2 xxexxedd yyeyyedd zzezzedd xxex)d(1 yyey)d(1 xxexexxdd yyeyeyydd zzezezzdd zzezd)(1 )1(d)1(d)1(dzeyyexxezzyx .d)1(d

15、)1(2dyeyxexeuyxz 222002年在職攻讀碩士學位全國聯考年在職攻讀碩士學位全國聯考zyxzeyexeyxzzzzu 由由方方程程且且設設),(,22.d,)1(uz求求所所確確定定 隱函數的求導公式隱函數的求導公式解解 法二法二 利用隱函數求導公式利用隱函數求導公式.令令 ),(zyxFzyxzeyexe ,)1(xxexF ,)1(yyeyF ,)1(zzezF 故故,11zxezxxz ,11zyezyyz ).1( z xu yuyyuxxuuddd ,)1(2zxex xzz)22( yzz)22(.)1(2zyey 23二、方程組的情形二、方程組的情形(隱函數組隱函數

16、組) 下面討論由聯立方程組所確定的隱函數的下面討論由聯立方程組所確定的隱函數的 0),(0),(vuyxGvuyxF確定兩個確定兩個二元函數二元函數,xu ,yu ),(yxuu 求求隱函數存在定理隱函數存在定理3.3.請看課本第請看課本第34頁頁,故由方程組故由方程組求導方法求導方法.).,(yxvv ,xv .yv 隱函數的求導公式隱函數的求導公式24將恒等式將恒等式 0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF兩邊關于兩邊關于x求偏導求偏導,xu 0),(0),(vuyxGvuyxF解這個以解這個以,xu xv 為未知量的線性方程組為未知量的線性方程組,由由鏈

17、導法則鏈導法則得得:xG xF uF vF xv 0 uG xu vG xv 0 隱函數的求導公式隱函數的求導公式,xu ,yu 求求,xv .yv 25解得解得 00 xvvGxuuGxGxvvFxuuFxF當系數行列式不為零時當系數行列式不為零時,即即vGuGvFuF ),(),(vuGFJ雅可比行列式雅可比行列式. 0 Jacobi,C.G.j.(德德)1804-1851 xuvGuGvFuFvGxGvFxF xvvGuGvFuFxGuGxFuF ,),(),(1vxGFJ .),(),(1xuGFJ 隱函數的求導公式隱函數的求導公式26同理同理, vGuGvFuFvGyGvFyFyu

18、vGuGvFuFyGuGyFuFyv ,),(),(1vyGFJ .),(),(1yuGFJ 0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF 00yvvGyuuGyGyvvFyuuFyF兩邊關于兩邊關于y求偏導求偏導,得得隱函數的求導公式隱函數的求導公式,xu ,yu 求求,xv .yv 27特特,0),(0),(時時 vuxGvuxF如果方程組如果方程組它可能確定兩個它可能確定兩個現假定它確定現假定它確定),(),(xvvxuu 且兩個函數都且兩個函數都則求則求xvxudddd與與的方法同前面求的方法同前面求與與xu xv 的方法相同的方法相同. 0),(0),(v

19、uyxGvuyxF為為可微可微,別別一元函數一元函數,隱函數的求導公式隱函數的求導公式28例例)0, 0( ,212222 zyzyxzyx設設及及求求xzxydd,dd.dd,dd11 xxxzxy解解分析分析),(xyy ).(xzz 直接代入公式；直接代入公式；法一法一令令, 2),( zyxzyxF.21),(222zyxzyxG 0),(0),(zyxGzyxF),(),(),(),(ddzyGFzxGFxy ),(),(),(),(ddzyGFxyGFxz , 1 xF, 1 yF, 1 zF,2xxG ,2yyG , zzG 隱函數的求導公式隱函數的求導公式29 ),(),(zy

20、GFJ, 1 xF, 1 yF, 1 zF,2xxG ,2yyG , zzG zy 211yz2 zGyGzFyF ),(),(zxGFzGxGzFxF zx 211xz2 zyzxxy 22dd1 x1 x0 隱函數的求導公式隱函數的求導公式 0),(0),(zyxGzyxF),(),(),(),(ddzyGFzxGFxy ),(),(),(),(ddzyGFxyGFxz 30, 1 xF, 1 yF, 1 zF,2xxG ,2yyG , zzG ),(),(xyGFxGyGxFyF xy2211 yx22 zyyxxz 222dd1 x1 x1 隱函數的求導公式隱函數的求導公式 0),(0

21、),(zyxGzyxF),(),(),(),(ddzyGFzxGFxy ),(),(),(),(ddzyGFxyGFxz 31)0, 0(,212222 zyzyxzyx設設及及求求xzxydd,dd.dd,dd11 xxxzxy),(xyy ).(xzz 方程組兩邊對方程組兩邊對x求導求導1得得zyzxxy 22ddzyyxxz 222dd1 x1 x0 1 x1 x1 運用公式推導的方法運用公式推導的方法.法二法二注意注意 x2xydd xzdd 0 y2 xzdd xydd z 隱函數的求導公式隱函數的求導公式32例例設方程組設方程組,0022222 vuxyuvyx確定函數確定函數和和

22、),(yxuu ),(yxvv .,yvxvyuxu 求求解解直接代入公式；直接代入公式；運用公式推導的方法運用公式推導的方法.原方程組兩邊分別對原方程組兩邊分別對法二法二法一法一x2x求偏導數：求偏導數： 2yv u 0 xu xv u2 v2 0 xu xv 0 隱函數的求導公式隱函數的求導公式u與與v都視為都視為x,y的的二元函數二元函數33解方程組得解方程組得,2222 yxvvxuuxxvuxuv移項得：移項得：,022022 xvvxuuyxvuxuvx.)(24222vuvyxvxv ,0的條件下的條件下在在 J xu,)(24222vuuxu vuuv22 vu2x22y 隱函

23、數的求導公式隱函數的求導公式34原方程組兩邊分別對原方程組兩邊分別對,022202 yvvyuuxyyvuyuvy,222vuxyvyvyu .222vuxyvyuyv 解方程組得解方程組得yvyu ,求求 0022222vuxyuvyxy求偏導數：求偏導數：隱函數的求導公式隱函數的求導公式35書上第書上第36頁例頁例4中對中對0),(),(),(),( vuyxvuGFJ即即 ),(),(vuGF因為因為 0),(),(0),(),(vuyyvuyxGvuxxvuyxF的的解釋解釋.vuvuGGFF 注注),(),(vuyx ux vx uy vy 隱函數的求導公式隱函數的求導公式0 已知已

24、知36求求例例,xr ,x ,yr y 解解 法一法一 sincosryrx對對 x求偏導：求偏導：),(),(yxyxrr cossinsincosrrxr cos0sin1rr cos xr 0 sin cos r x 隱函數的求導公式隱函數的求導公式1cosx xr sinr 37對對 y求偏導求偏導,r sin ry cos ,sin yr同理，同理， xrxrxrxr cossin0sincos1 cossinsincosrrx 0sin1cos 自己練自己練.隱函數的求導公式隱函數的求導公式38法二法二 用全微分形式不變性用全微分形式不變性 xd,xr ,x ,yr y sinco

25、sryrx求求 cossinsincosdrrr cosdsindryrx cos xr sin yr yd cosrd r d)sin( sinrd r dcos 隱函數的求導公式隱函數的求導公式cos dsindxy39 dcosdsindd)sin(dcosdrryrrxyxdsindcos rx sin ry cos 隱函數的求導公式隱函數的求導公式dcossinsincosrrsincosddxyrr401995年研究生考題年研究生考題,計算計算,5分分,sin, 0),(),(2xyzexzyxfuy 設設解解 ud 0 0),(2 zexy 將將zxxexxyddcosd2321

26、 法一法一得得得得xfxdyfyd zfzd xxd21 yeyd2 zd3 xfxdyf xxdcos zfzd 隱函數的求導公式隱函數的求導公式兩邊兩邊求全微分求全微分,兩邊兩邊求全微分求全微分,( , , )uf x y z將d,0,.dufzx其中均一階連續可導且求1232cosddyxexzx41 xuddxxfxfuyxdcosdd xfxexzydcos2321 xffyxcos zyfxex321cos2 42法二法二由由2sin,(, ),0,xG x zx ezz且用公式用公式:GxGz122cosddyxzzGxexzxG xuddxxfxdd xzfzdd .dd, 0

27、,xuzf求求均一階連續可導且均一階連續可導且其中其中 x21 xeycos2 , 03 01 02 13 隱函數的求導公式隱函數的求導公式xyfydd xffxzyxcosdd zyfxex321cos2 ,sin, 0),(),(2xyzexzyxfuy 設設( , , ),uf x y z由得431999年研究生考題年研究生考題,計算計算,5分分和和是是由由方方程程設設)()(),(yxxfzxzzxyy 分分別別具具有有和和其其中中所所確確定定的的函函數數FfzyxF,0),( .ddxz求求解解)(yxxfz xyfxfxzdd1dd隱函數的求導公式隱函數的求導公式一階連續導數和一階

28、連續偏導數一階連續導數和一階連續偏導數,分別將分別將的兩端對的兩端對x求導求導,得得0dddd xzFxyFFzyx xzyFxzFxyFfxfxzxyfxdddddddd)0()(dd zyzyxyxFFFfxFFfxFfxfxz( , , )0F x y z 和44隱函數的求導公式隱函數的求導公式2002年考研數學年考研數學(四四),7分分),(zyxfu 設設函函數數有連續偏導數有連續偏導數,且且.d,),(uzeyexeyxzzzyx求求所所確確定定由由方方程程 解解 法一法一,),(zyxzeyexezyxF 設設則則用公式用公式,11zxzxezxFFxz .11zyzyezyFFyz ,)1(xxexF ,)1(yyeyF .)1(zzezF 故故而而,11zxzxzxe