1、第一章 行列式線性方程組的求解是線性代數(shù)的一個(gè)重要課題。行列式是由研究線性方程組產(chǎn)生的，它是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)工具，它在數(shù)學(xué)及其他學(xué)科中都有著廣泛的應(yīng)用。本章的教學(xué)基本要求：了解行列式的定義和性質(zhì)，掌握利用行列式的性質(zhì)及按行（列）展開定理計(jì)算行列式的方法，會(huì)計(jì)算簡單的n階行列式。理解和掌握克拉默（Cramer）法則。本章的重點(diǎn)及難點(diǎn)：利用行列式的性質(zhì)及按行（列）展開定理計(jì)算行列式的值，主要是三階、四階行列式的計(jì)算；利用克拉默法則求解線性方程組。§ 1 二階、三階行列式一、內(nèi)容提要1二階行列式的定義 其中稱為行列式的元素，的兩個(gè)下標(biāo)表示該元素在行列式中的位置，第一個(gè)下標(biāo)稱為行標(biāo)，表明該元素

2、位于第i行；第二個(gè)下標(biāo)稱為列標(biāo)，表明該元素位于第j列。二階行列式中，等式右端的表達(dá)式又稱為行列式的展開式，二階行列式的展開式可以用所謂對角線法則得到，即： =其中，實(shí)線上兩個(gè)元素的乘積帶正號(hào)，虛線上兩個(gè)元素的乘積帶負(fù)號(hào)，所得兩項(xiàng)的代數(shù)和就是二階行列式的展開式。2三階行列式的定義 三階行列式的展開式也可以用對角線法則得到，三階行列式的對角線法則如下圖所示： 其中每一條實(shí)線上三個(gè)元素的乘積帶正號(hào)，每一條虛線上三個(gè)元素的乘積帶負(fù)號(hào)，所得六項(xiàng)的代數(shù)和就是三階行列式的展開式。二、例題分析例1 求解二元線性方程組 解： 由于系數(shù)行列式 ， 所以方程組有唯一解為： ， 。 例2 計(jì)算行列式 解 例3 計(jì)算行

3、列式； ； 解： 由對角線法則有： ； ；特別地: ； 三、小結(jié)對角線法則只適用與二階與三階行列式的計(jì)算。由例3得結(jié)論：（1）上（下）三角行列式等于主對角線上元素的乘積。（2）對角行列式等于主對角線上元素的乘積。§ 2 全排列及其逆序數(shù) 一、內(nèi)容提要 排列 把 n 個(gè)不同的元素排成一列，叫做這 n 個(gè)元素的全排列，簡稱排列.n 個(gè)不同元素的所有排列的種數(shù)，通常用表示.。逆序 在一個(gè)排列中，若，則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序.逆序數(shù) 排列中，所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)。記為。排列中，考慮元素，如果比大的且排在前面的元素有個(gè)，則稱元素的逆序數(shù)是。記為。奇排列 逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列

4、。偶排列 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列。特別地，標(biāo)準(zhǔn)排列1，2，···，n的逆序數(shù)。規(guī)定，標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列。二、例題分析排列中，考慮比大，且排在前面的元素的個(gè)數(shù)，就可以排列的逆序數(shù)。即（前面比大的數(shù)的個(gè)數(shù)）+（前面比大的數(shù)的個(gè)數(shù)）+ ······ + （前面比大的數(shù)的個(gè)數(shù)） ；同樣，考慮比小，且排在后面的元素的個(gè)數(shù)，就可以排列的逆序數(shù)。即（后面比小的數(shù)的個(gè)數(shù)）+（后面比小的數(shù)的個(gè)數(shù)）+ ······ + （后面比小的數(shù)的個(gè)數(shù)）。例4 求下列排列的

5、逆序數(shù)，并確定它們的奇偶性。（1）5 3 2 1 4； （2）n (n1) ···2 1； （3）(2k) 1 (2k1) 2 (2k2) 3 (2k3) ··· ( k+1) k。解：（1）5 3 2 1 4 ，。 因此，。此排列為奇排列。（2）n (n1) ···2 1 ，···，。因此，。當(dāng)時(shí)，排列為偶排列；當(dāng)時(shí)，排列為奇排列。（3）(2k) 1 (2k1) 2 (2k2) 3 (2k3) ··· ( k+1) k， ， ， ，·

6、·····， ······， ， 。因此，。當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，排列為偶排列；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，排列為奇排列。例5 設(shè)的逆序數(shù)為k，問排列的逆序數(shù)是多少？解：若在排列中，后面比小的數(shù)共有個(gè)，則在排列中，前面的數(shù)共有個(gè)，前面比大的數(shù)共有個(gè)。由已知有 。所以排列的逆序數(shù)為。 三、小結(jié)求排列的逆序數(shù)的方法：（1）（前面比大的數(shù)的個(gè)數(shù)）+（前面比大的數(shù)的個(gè)數(shù)）+ ······ + （前面比大的數(shù)的個(gè)數(shù)） ；（2）（后面比小的數(shù)的個(gè)數(shù)）+（后面比

7、小的數(shù)的個(gè)數(shù)）+ ······ + （后面比小的數(shù)的個(gè)數(shù)）。 § 3 n階行列式的定義一、內(nèi)容提要由n2個(gè)元素組成的記號(hào)稱為n階行列式。其值等于所有取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積的代數(shù)和，各項(xiàng)的符號(hào)是：當(dāng)這一項(xiàng)中的n個(gè)元素的行標(biāo)排成標(biāo)準(zhǔn)排列后，若對應(yīng)的列標(biāo)構(gòu)成的排列為偶數(shù)，則取正號(hào)；若對應(yīng)的列標(biāo)構(gòu)成的排列為奇數(shù)，則取負(fù)號(hào)，即。行列式簡記為。一階行列式為。n階行列式中，等式右端的表達(dá)式又稱為行列式的展開式，二、例題分析例6 判別和是否為六階行列式中的項(xiàng)。分析：判別是否為n階行列式中的項(xiàng)，要考慮：（1）n個(gè)元素是否位于不同行，

8、不同列；（2）確定其符號(hào)。解： 不是六階行列式中的項(xiàng)。這是因?yàn)?，與都位于第6列。是六階行列式中的項(xiàng)。首先，中的6個(gè)元素位于不同行，不同列；再有，。確定其符號(hào)：，因此，應(yīng)帶負(fù)號(hào)。N階行列式的展開式是n!項(xiàng)的代數(shù)和，每項(xiàng)都是位于不同行不同列的n個(gè)元素的乘積。因此，對于含零元素較多的行列式，可直接用定義計(jì)算。但對于一般性的行列式，常用后面將要學(xué)到的性質(zhì)與定理進(jìn)行簡化計(jì)算。對于含零元素較多的行列式，用定義計(jì)算時(shí)，只需求出所有非零項(xiàng)，并進(jìn)行代數(shù)和即可。例7 計(jì)算行列式 。解：這是一個(gè)4階行列式。其展開式中項(xiàng)的一般形式為。若，則，從而。所以，只有才可能不為零。同理，要使，必須，。即行列式的展開式中不為零的

9、項(xiàng)僅為。因此，。例8 計(jì)算行列式 。解：這是一個(gè)1998階行列式。顯然，在所有取自不同行不同列的1998個(gè)元素乘積中，只有因此， 。例9 利用行列式定義，證明。證：由行列式定義知其值是n!項(xiàng)的代數(shù)和，每項(xiàng)是不同行不同列的n個(gè)元素的積。上述行列式中，除主對角元素乘積一項(xiàng)是奇數(shù)1外，其余各項(xiàng)（共n! -1項(xiàng)）的每項(xiàng)中至少有一個(gè)2，故均是偶數(shù)。n! 1個(gè)偶數(shù)之代數(shù)和仍是偶數(shù)。再和1相加，不可能是零。因此 。三、小結(jié)1行列式的實(shí)質(zhì)是一種特定的算式，計(jì)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)；2n階行列式的展開式是n!項(xiàng)的代數(shù)和，每項(xiàng)都是位于不同行不同列的n個(gè)元素的乘積；3項(xiàng)前面的符號(hào)為；4對角線法則不適用于四階及四階以上的行列

10、式展開式；5幾個(gè)常用行列式結(jié)果：（1），（2），（3）。§ 4 對 換一、內(nèi)容提要在排列中，將任意兩個(gè)元素對調(diào)，其余的元素不動(dòng)，這種作出新排列的手續(xù)叫做對換。將相鄰兩個(gè)元素對換，叫做相鄰對換。定理1 一個(gè)排列中任意兩個(gè)元素對換，排列改變奇偶性。推論 奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為偶數(shù)。定理2 n 階行列式也可定義為。 二、小結(jié)行列式的兩種定義，。行列式更一般的定義為 。其中 。§ 5 行列式的性質(zhì)一、 內(nèi)容提要1性質(zhì)性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即。性質(zhì)2 互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)。以表示行列式的第i行，以表示第i列?；Q

11、第i行與第j行，記作；互換第i列與第j列，記作。推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則行列式為零。性質(zhì)3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘以此行列式。即 ，或 。第i行乘以k，記作；第i列乘以k，記作。推論 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面。第i行提出公因子k，記作；第i列提出公因子k，記作。性質(zhì)4 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零。性質(zhì)5 如果行列式的某一列（行）元素都是兩數(shù)之和，例如第i列的元素都是兩數(shù)之和：，則D等于下列兩個(gè)行列式之和。如果第i行的元素都是兩數(shù)之和：，則D等于下列兩個(gè)行列式之和。性質(zhì)6 把行列式

12、的某一列（行）各元素乘以同一數(shù)，然后加到另一列（行）對應(yīng)的元素上去，行列式不變。例如，以數(shù)k乘第i列加到第j列（記作）有以數(shù)k乘第i行加到第j行（記作）有。2常用結(jié)論：如果 ， ， 。則， 常記為 。二、例題分析例10 計(jì)算上三角行列式（主對角線以下元素全為0） 解： 利用性質(zhì)1，得。例11 計(jì)算 。解 。 （第二、三行元素成比例）例12 計(jì)算 。解：由性質(zhì)5有 右邊第一個(gè)行列式中，第一列乘加到第2、3列；在第二個(gè)行列式的第一列中提出得 。例13 計(jì)算 。分析：首先，利用性質(zhì)將行列式化為型，再利用求出結(jié)果。解： 。三、小結(jié)（1）行列式的六個(gè)性質(zhì)、兩個(gè)推論是計(jì)算行列式的理論保證，要盡快熟練掌握它

13、們。（2）。§ 6 行列式按行（列）展開一、內(nèi)容提要在n階行列式中，劃去所在的第i行和第j列的元素，剩余的元素按原有次序構(gòu)成的階行列式，稱為元素的余子式，記為。稱為的代數(shù)余子式。定理3 n 階行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即 ； 或 。 推論 行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素代數(shù)余子式乘積之和等于零。即 ，或 。綜合定理及推論，有展開式 或 其中 二、例題分析在實(shí)際計(jì)算時(shí)，直接用定理展開行列式，通常并不能減少計(jì)算量，除非行列式中某一行（列）含有較多的0元素。因此，在具體計(jì)算時(shí)，我們總是先運(yùn)用行列式的性質(zhì)，將某一行（列）元素盡可能多地化

14、為0，然后再利用定理，按該行（列）展開。例14 計(jì)算行列式 。解：.下面通過例題介紹利用性質(zhì)、定理計(jì)算行列式的幾種常用方法。1化為上三角行列式法利用性質(zhì)，把行列式化為上三角行列式，是計(jì)算行列式的基本方法。例15 計(jì)算行列式 解： 在化為上三角行列式時(shí)，要從第一列開始，一列一列進(jìn)行。在化第i列時(shí)，利用性質(zhì)2選擇好，以便化（）為0時(shí)，盡量避免出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，減少計(jì)算量。例16 計(jì)算 解： = 4觀察行列式，抓住其特點(diǎn)，是快速準(zhǔn)確計(jì)算行列式的第一保證。例17 計(jì)算 分析： 這個(gè)行列式有一個(gè)特點(diǎn)，各列4個(gè)數(shù)之和都是6。因此，把第2、3、4行都加到第一行，提出公因子6，然后再化簡：解： = 48。例18 計(jì)算

15、 ，其中。解：從第1行到第n行，依次提出公因子，得。2拆分法根據(jù)行列式的特點(diǎn)，利用性質(zhì)5將行列式進(jìn)行拆分計(jì)算。例19 證明：。證：左邊 .例20 計(jì)算行列式 。解：按第1列拆分，。3遞推公式法有時(shí)，根據(jù)行列式的特點(diǎn)，得到遞推公式，計(jì)算出行列式。例21 計(jì)算 解： 按第一列展開，得 將右端第二項(xiàng)的行列式按第一行展開，得 即 由此遞推得 于是 從而 4數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法也是計(jì)算行列式的常用方法。例22 證明行列式。證：對階數(shù)n使用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)時(shí)，故結(jié)論成立。假設(shè)結(jié)論對的自然數(shù)都成立，下面要證對n也成立。為此將按第1列展開，得上式右端的第1個(gè)行列式為，而第2個(gè)行列式按第1行展開其值為，所以有 。

16、計(jì)算行列式要充分利用已知結(jié)果。例23 計(jì)算行列式解：從第行開始，第行經(jīng)過次相鄰對換，換到第1行，第行經(jīng)次對換換到第2行，經(jīng)次行交換，得此行列式為范德蒙德行列式計(jì)算行列式，還應(yīng)多進(jìn)行一題多解。例24 證明：。解法1：用數(shù)學(xué)歸納法證明假設(shè)對于階行列式命題成立.即 所以，對于階行列式命題成立.解法2：用遞推法。將按第1列展開，得由此得遞推公式： 。于是，。解法3： .解法4：將行列式按第n行展開也可以，讀者自己試一試。三、小結(jié)行列式的計(jì)算方法靈活多樣，技巧性強(qiáng)，前面所舉例子的解法只是眾多方法中的幾種。讀者可以想象并總結(jié)出另一些方法和技巧進(jìn)行計(jì)算，并比較各種作法的繁簡，逐步提高計(jì)算能力。*補(bǔ)充 拉普拉

17、斯（Laplace）定理§6中的按行（列）展開定理只是把行列式按某一行（列）展開，下面再把它推廣到按k行（k列）展開。首先應(yīng)把元素的余子式和代數(shù)余子式的概念加以推廣。定義 在n階行列式中，任取k行與k列，將這些行與列相交處的元素按原來相對位置構(gòu)成的k階行列式 ,稱為該行列式的一個(gè)k階子式，記為N。劃去這些行和列后所剩下的元素依原次序構(gòu)成的一個(gè)階子式，稱為N的余子式，記為M。稱為N的代數(shù)余子式。例如，對四階行列式 取第2、第3行與第2、第4列，得到一個(gè)二階子式 。N的余子式為。N的代數(shù)余子式為。 一般在n階行列式中取定k行，就有個(gè)k階子式。 定理（Laplace定理） 在n階行列式D中

18、，任取k行（列），則由這k行（列）元素所有的k階子式與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式D。設(shè)取定的k行的所有子式為N1，N2，Nt，其所對應(yīng)的代數(shù)余子式分別為A1，A2，At，則 例1 用拉普拉斯定理計(jì)算 解： 選取第1、2行，只有3個(gè)非零二階子式 ， ， ，其對應(yīng)的代數(shù)余子式為， ，。故 。 例2 計(jì)算2n階行列式 解： 選取第n，n+1行應(yīng)用拉普拉斯定理，只有一個(gè)非零二階子式 ，其代數(shù)余子式為 故 利用這個(gè)遞推公式及 ，得 。§ 7 克拉默法則一、內(nèi)容提要克拉默法則 如果n元線性方程組 （*) 的系數(shù)行列式不等于零，即 則方程組（*）有唯一解，且其解為 ， 其中是把的第j列

19、各元素依次換成方程組的常數(shù)項(xiàng)所得到的n階行列式，即 ， ( j=1, 2 , , n ) 定理4 如果n元線性方程組（*）的系數(shù)行列式，則方程組（*）一定有解，且解是唯一的。定理4如果n元線性方程組（*）無解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零。定理5 如果齊次線性方程組 （*）的系數(shù)行列式，則齊次方程組（*）只有零解。定理5如果齊次線性方程組（*）有非零解，則它的系數(shù)行列式必為零。二、例題分析例25 求下列線性方程組的解解：該方程組的系數(shù)行列式為范德蒙德行列式 。方程組有唯一解。容易看出，也是范德蒙德行列式： ； ；。故方程組的解為 ，。例26 討論為何值時(shí)，齊次線性方程組有唯一零解。 解：方程組的系數(shù)行列式 由此可知，當(dāng)且時(shí)，D 0。此時(shí)，方程組有唯一零解。 例27 給定平面上三個(gè)點(diǎn)（1，1），（2，1），（3，1），求過這三個(gè)點(diǎn)且對稱軸與Y軸平行的拋物線方程。解： 因?yàn)閽佄锞€的對稱軸與Y軸平行，因此可設(shè)所求拋物線